求数列极限的若干方法
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求极限的12种方法
求极限的方法
1、利用极限的四则运算和幂指数的运算法则
2、利用函数的连续性
3、利用变量替换
4、利用等价无穷小
5、利用洛必达法则
6、分别求左右极限
7、把数列极限转化为函数极限
8、利用夹逼定理（极限存在两定理之一）
1）利用简单的放大、缩小函数法
2）利用不等式的性质进行放大或缩小【根据定义不等式求极限】
3）对积分的极限可以利用积分的性质进行放大缩小
9、利用递归数列先证明极限的存在（常用单调数列必有界），
再利用递归关系求出极限。
10、利用定积分求和式求极限
11、利用泰勒公式
12、利用导数定义求极限
附加：
1、 利用函数极限求数列极限 Example:
(1) n n
n ln lim +∞
→ 解：记：x x
n n x n ln ln lim lim +∞→+∞→= =0。
求数列极限的方法
求数列极限的方法一、引言数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数学中，我们经常需要研究数列的性质，尤其是数列的极限。
数列的极限是指当数列中的数值逐渐接近一个固定的值时，这个固定值就是数列的极限。
本文将介绍几种常见的方法来求解数列的极限。
二、数列极限的定义数列的极限是指当数列的项无限接近某个固定的值时，这个固定的值就是数列的极限。
数列的极限可以是有限的实数，也可以是无穷大或无穷小。
三、数列极限的求解方法1. 递推法递推法是求解数列极限的一种常用方法。
当数列的每一项都可以通过前一项来递推得到时，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来求解数列的极限。
2. 收敛法收敛法是求解数列极限的另一种常用方法。
当数列的每一项都是有界的，并且数列的差值趋近于0时，我们可以通过数列的收敛性来求解数列的极限。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过证明数列的收敛性来求解数列的极限。
3. 夹逼法夹逼法是求解数列极限的一种重要方法。
当数列的每一项都被夹在两个已知的数列之间，并且这两个数列的极限相等时，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。
例如，对于数列an = sqrt(n)/n，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。
4. 递归法递归法是求解数列极限的一种常见方法。
当数列的每一项都可以通过前几项来递归得到时，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。
例如，对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。
四、案例分析现在，我们通过几个具体的数列来演示上述方法的应用。
1. 求解等差数列的极限考虑数列an = 2n + 3，首先我们可以使用递推法来求解数列的极限。
由递推关系式an = an-1 + 2，我们可以得到a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，以此类推。
数列极限方法
数列极限方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个数列当项数趋于无穷时的行为。
理解数列极限的概念是深入理解数学分析和其他数学领域的基础。
本文将介绍几种常用的数列极限的求解方法。
二、数列极限的基本概念一个数列 {an} 的极限定义为：对于任意小的正数ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - L| < ε恒成立，其中 L 为常数。
我们记作 lim(n→∞) an = L。
三、求解数列极限的方法1.直接观察法：对于一些简单的数列，我们可以通过观察它们的规律来直接得出极限。
例如，对于数列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，显然有 lim(n→∞) 1/n = 0。
2.夹逼法：对于一个数列 {an}，如果存在两个常数 M 和 m，使得 m ≤ an ≤M 对于所有的 n 都成立，那么 lim(n→∞) an = M（或 lim(n→∞) an = m）。
这是因为对于任意的ε > 0，存在一个 N，使得当 n > N 时，M - ε≤ an ≤M + ε。
由于 m ≤ an ≤ M，我们可以得到 |an - M| < ε，即 lim(n→∞) an = M。
3.收敛的级数法：如果一个级数Σan 收敛到 S，那么其部分和 Sn 必定趋近于S。
因此，对于任何的 n，我们有 lim(n→∞) Sn = S。
特别地，如果级数的每一项都非负（或都非正），且级数收敛，那么该数列必定有界且单调。
4.洛必达法则：洛必达法则是求解极限的一种有效方法，特别适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
如果 f 和 g 在某点 a 的某邻域内可导，且 g' (a)≠0，那么 lim(x→a) f'(x)/g'(x) = f'(a)/g'(a)。
在数列的情境下，这可以被应用于求和公式的展开。
5.斯特林公式：斯特林公式给出了一个非负整数 n 的正整数次幂的阶乘与 n!的近似比。
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
求极限的若干方法
求极限的若干方法一、数列极限的求解方法1、夹逼准则法（夹逼定理）：若数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn（n≥N0），且lim an=lim cn = L，则数列{bn}有极限且lim bn = L。
2、单调有界数列必有极限法：单调递增的数列有上确界、单调递减的数列有下确界，因此，单调有界数列必有极限。
3、数列按定义法：对于任何一个ε>0，只要找到一个正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，则该数列的极限为L。
二、函数极限的求解方法1、极限的定义法：通过定义式计算出函数在某一点的极限。
2、夹逼定理法：当x趋近于a时，若能找到两个函数f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x) = lim h(x) = L，则函数g(x)在x→a时有极限，且lim g(x) = L。
3、函数的分解法（分子分母有理化、公式替代、三角函数化合成、指数幂换底等方式）：通过对函数进行分解或替换等操作，将其转换为可以用其它非分数函数进行极限操作的形式。
4、洛必达求极限法：当函数f(x)和g(x)在某一点均为0或无穷大时，计算并求出函数f(x) / g(x) 的极限l。
如果极限l存在，则f(x) / g(x) 在该点处的极限也是l。
三、无穷级数的求极限方法1、比项法则法：若某一级数后一项于前一项同比变化的极限为L，则这个级数也有极限，且级数的极限为L。
2、积分判断法：对于大于1的自然数n，若函数f(x)在[1，n+1]上是单调递减的且非负，那么它可以累次积分，获得一个极限值；相反地，若g(x)在[1，∞)上是单调递增的和非负的，若及时积分比对之后的级数的部分和同比下减小，则极限l存在；否则若极限不存在，则级数发散。
3、柯西收敛定理法：当对于任意ε >0，存在自然数N>0，使得对于所有的n>m>N，都有|\sum_{k=m}^n a_k|<ε 成立，则此级数是收敛的；如果它不满足上述条件，则是发散的。
求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法求解数列极限是数学分析中一个重要的问题，常用的方法有以下几种：1.直接求解最简单的方法是直接计算数列的通项公式，然后逐渐增加项数，观察数列的变化趋势，看是否有收敛或发散的特性。
如果数列趋向于一个确定的数，即极限存在，则该数即为极限值。
这种方法适用于简单数列，例如等差数列、等比数列等。
2.夹逼定理夹逼定理是数学分析中的一个基本定理，可以用来求解一些复杂数列的极限。
夹逼定理的基本思想是将待求极限数列夹在两个已知极限数列之间。
如果两个已知极限数列的极限相同，那么待求极限就是它们的共同极限。
夹逼定理适用于求解一些无法通过直接求解得到极限的数列，例如级数、递推数列等。
3.利用数列性质数列具有一些基本性质，例如收敛数列的任意子列也收敛，并且极限相同；发散数列的一些子列无极限等。
可以通过这些性质来判断数列的极限是否存在，或者通过子列的极限值来确定数列的极限。
4.数列分解对于一些复杂的数列，可以将其分解成多个部分，然后分别求解每个部分的极限。
通过对各个部分的极限进行分析，再根据极限的性质进行组合，可以得到整个数列的极限。
这种方法常用于数列具有递推关系或递归定义的情况。
5.数列收敛性的判别数列收敛有一系列的判别法则，例如柯西收敛准则、单调有界准则、无穷大准则等。
这些准则可以用来判断一个数列是否收敛，或者一部分的数列是否收敛。
6.使用极限性质根据极限的性质，例如极限的四则运算性质、极限的保号性等，可以推导出一些数列的极限值。
通过运用这些性质，可以简化数列极限的求解过程。
总结起来，求解数列极限的方法是多种多样的。
我们可以根据数列的特点和性质，选择适合的方法进行求解。
常用的方法包括直接求解、夹逼定理、数列性质、数列分解、数列收敛性的判别和使用极限性质等。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。
故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用ε-N 方法求 nn n 1lim +∞→解：令 n n 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ΛΛ ∴ 12)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+1211n n n∴n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。
以下证明a 就是{n a }的极限。
事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，这就证得 a a n n =∞→lim 。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列ΛΛΛ,222,22,2+++ 收敛，并求其极限。
证：222Λ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。
现用数学归纳法来证明{n a }有上界。
显然 221<=a 。
假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,∑=∞→n k n k n 141lim ε即{n a }有上界。
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关键词：极限、数列、函数
Abstract
Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. Two kinds of limit in essence is the same, in the form of sequence limit is the special function limit. This paper mainly studies sequence limit. The process of sequence limit, with related concepts, theorem and basis and formula of some of the most important methods and techniques.
1 1 x2
则 S ( x)
X
0
1 1 x 1 1 dt dt 2 0 1 t 2 1 t 1 t
1 1 x = ln 2 1 x
因为
1 2
(1,1)
1 1 1 1 1 2 1 ln 所以 I S ln 1 2 2 2 2 2 1 2 1
1 lim 1 e n n
n
2.2 利用定积分求数列极限
通项中含有 n!的数列极限，由于 n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为 定积分来求救相对容易了。 例 解 求 lim x 将
1 n2
1 2 2 n n 1 arctan 2 arctan ... 2 arctan 2 n n n n n n
0
1
= exp(2 ln 2 1) 注1 结论 1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。
n i n 若 lnf(x)在 0,1 上可积，则 lim ( ) e n i 1 n
1
ln f ( x)dx
0
1
2.3 利用四则运算法则求数列极限
若{ an }与{ bn }为收敛数列，则{ an + bn }，{ an - bn }，{ an bn }也都是收 敛数列，且有
数列极限：
设是一数列，如果存在常数 a ，当 n 无限增大时， an 无限接近（或趋近） 于a， 则称数列收敛，a 称为数列的极限， 或称数列收敛于 a ， 记为 lim n 或： an → a ，当 n→∞。
an = a0
数列极限的ε-N 定义
设{ an }是一个数列， a 事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数 N 使得当 n＞N 时，就有│ an - a │＜ε，则称数列 an 收敛于 a ， a 称为它的极限，记作
1 提出，则原和式可改写为 n 1 1 1 2 2 n n arctan arctan ... arctan n n n n n n n
Xn
它可以看作是函数 x arctan x 在区间 0,1 上的积分和， 所采用的是 n 等分 0,1 区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。 因此
a A
即 A2 A a 0
所以 A 因为 A>0
1 1 4a ， 2所以 A 1 1 4a 2 1 1 4a 2
即 lim xn
n
2.6 利用幂级数求数列极限
利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的迈克劳林展式，常能求得一 些特殊形式的数列极限 例
2
解
n 2 2 2 2 lim 1 = lim 1 e 2 n n n n
2
2.5 单调有界数列法
这一方法是利用极限理论基本定理：单调 数列必有极限，其方法为： （1）判定数列是单调有界的，从而可设奇极限为 A； （2）建立数列相邻两项之间的关系； （3）在关系式两端取极限，得以关于 A 的方程，若能解出 A，问题得解。 例 求数列 a , a a , a a a a a a 其中（a>0） 的极限 解：设 x0 a , x1 a a a x0 x n 1 a x n （n=0,1,2 ） 则{ xn }是单调有界数列，它必有极限，设其极限为 A 在 xn 1 a xn 两边取极限得 A=
摘
要
极限论是数学分析的基础， 它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。 极限研究的 是变量在变化过程中的趋势问题。 数学分析中所讨论的极限大体上分为两类： 一类是数列的 极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特 例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依 据，并借助一些重要的方法和技巧。
1 1 1 求 I lim 2 n x 2 3 2 (2 n 1)2 x 2 n 1 设 S（x）= ，易求得收敛半径 R=1，在（-1，1）内逐项求导得 n 1 2 n 1
解
S(x) x
n1
2(n1)
x2n
n0
有 yn 单调递增， lim yn ，
n
则应用 Stolz 公式得
1 xn xn 1 I lim lim n a 1 n y y n 1 n n 1 n
2.8 几类特殊数列极限的球法
（1）公式型
若 an 是等比数列， 其前 n 项和为 S n ， 公比 q 满足│q│<1， 则 lim S n
lim an bn lim an lim bn
n n n
lim anbn lim an lim bn
n n n
例 解
求 lim n
n
n 1 n
n
n 1 n
n n 1 n 1 1 1 1 n
由1
1 2
x x cos x 1 o( x 2) 2! 4! x2 1 o( x 2 ) o( x 2 ) 2 2 lim 3 整理得 I lim x 0 x 0 1 2 1 2 2 2 x o( x ) x o( x ) 6 6
2
4
2.7 利用 O-Stolz 公式计算数列极限
Keywords: limit, sequence and function
1、预备知识
在高等数学中，极限是一个重要的概念。极限思想是许多科学领域的重要思 想之一，因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得特别重要。对于一些复杂极 限，直接按照极限定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出 结果。为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法。本文也介 绍了计算极限的几种方法。 极限可分为数列极限和函数极限，本文主要研究数列极限，定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计 算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为
2．数列极限的方法探求
2.1 几个常用数列的极限：
求解策略：熟记常见极限的结论，如
lim n
n
ak n k ak 1n k 1 a 0 ak bk n k bk 1n k 1 b0 bk
lim C C lim q n 0 （│q│<1）, n
n
lim xn
=
a
或 xn → a （n→∞） 读作：“当 n 趋于无穷大时， an 的极限等
于 a ”或“当 n 趋于无穷大时， an 趋于 a ”。lim 为拉丁文 limes 一词的前三个 字母，也有说成是英文 limit 一词的前三个字母的。若数列{ an }没有极限，则
称这个数列不收敛或称它为发散数列。
（n+1)(n+2) (2n) = lim n n nn 1 2 n n = lim (1 )(1 ) 1 n n n n
n 1 i = exp(lim ln(1 )) n n i 1 n 1
= exp( ln(1 x) dx)
21
例
求 I lim
n 0
ex 1 x 1 x cos x x x2 o x 2 ， 1! 2!
解
因为 e x 1
11 1 1 22 1 x (1 x) 1 x ( x 2) o( x 2) 2 2! ，
A1 ，再作内接正十二边形，其面积记为 A2 ，内接二十四边形的面积记为 A3 ，
如此将边数加倍，当 n 无限增大时， An 无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2 的 9 次方边形，利用不等式 An 1 < A < An 2 [( An 1 )- An ](n=1，2，3....)得到 圆周率=3927/1250 约等于 3.1416。
I lim X n X arctan dx
x 0 1
x2 1 1 x2 1 1 arctan│ dx 0 2 2 2 0 1 x 4 2
例
n ! n (2 n)! 求 lim