7.3线性变换的应用
Functions of one complex variable
湖南第一师范学院数理系
第七章 共形变换
§1.解析变换的特性 解析变换的特性 §2.线性变换 线性变换 §3.某些初等函数构成的共形变换 某些初等函数构成的共形变换 §4.关于共形变换的黎曼存在定理 关于共形变换的黎曼存在定理 和边界对应定理
分式线性变换的保对称点性图解
γ
z1
δ
z2
Γ= L(γ )
∆= L(δ )
w2 = Lz2பைடு நூலகம் (
w1 = L(z1)
→
w = L( z )
分式线性变换的保对称点性图解
γ
z1
δ
∆= L(δ )
z2
w2 = Lz2) (
Γ= L(γ )
→
w = L( z )
w1 = L(z1)
6.分式线性变换的应用 分式线性变换的应用
所以 | ζ − a |= R 在圆周γ上 圆周δ与圆周 必正交. 与圆周γ必正交 故ζ在圆周 上，圆周 与圆周 必正交 在圆周
充分性： 设过z1 及 z2 任一个圆周 δ 与圆周 γ 充分性 ： 设过 正交 ，交点是ζ .圆周δ在点ζ的切线通过圆周 γ 圆周 的圆心 a .
ζ
又过z1及 z2作一直线 L， 由条件 与 γ 直交 ， ， 由条件L与 直交， 它通过圆心a 故 它通过圆心 .故
证明： 是直线(半径为无穷大的圆 证明 ： 如果 γ 是直线 半径为无穷大的圆 是半径为有限的圆， 周 )； 或者 γ 是半径为有限的圆 ， z1 及 z2 之中 ； 有一个是无穷远点，则结论显然成立. 有一个是无穷远点，则结论显然成立 现在考虑γ是圆周， z1及 z2都是有限的情形. 圆周， 都是有限的情形 必要性： 的对称， 必要性：设z1及z2关于圆周γ的对称，那么 通过 z1及 z2的直线（半径为无穷大的圆）显然 的直线（半径为无穷大的圆） 直交. 和圆周γ直交
0
| ξ |< 1 ← Im z > 0且z = i ↔ ξ = 0 →
0
3.
| w − w0 |< R ← Im z > 0且z = i ↔ w = w0 →
共形映射
w−w = eiθ z−i 即 w = Reiθ z−i + w R z+i z+i 0
iθ
4. L′(i) = w′(i) > 0 ⇒ e = i
2
2
w平面的分式线性变换，使符合条件： 平 1 + i = L(i ), 0 = L(0) 0 z 方法一:由 →0,i →1+ i， i →1− i， → w得 − (0,1 + i ,1 − i , w ) = (0, i , − i , z ) az+b (ad − bc > 0), : 方法二 设 w = cz+d z ( f > 0, e ∈ R), 由0 = L(0) ⇒ b = 0 ⇒ w = ez+ f 1 + i = L(i ), ⇒ 1 + i = i ⇒ e = f = 1 ei + f 2
试求把单位圆|z|<1共形映射成单 例7.8 试求把单位圆 共形映射成单 位 圆 |w|<1 的 分 式 线 性 变 换 ， 并 使 z=a (|a|<1)变为 变为w=0. 变为
y
v
a
O
1
x
1
O
w=L( z )
u
→
解：首先，这种变换应当把 |z|<1 内某一点 首先， z=a 映射成 w=0，并且把 |z|=1 映射成 |w|=1。 ， 。
z2
a
z1
R
由定义知， 由定义知，z1, z2关于圆周 γ: |z-a|=R 对称 必须且只须 对称,
R z2 − a = z1 − a A z
2
2
A
z1
a
z1
R
a
z2
R
定理7.11 扩充 平面上两点z1, 扩充z平面上两点 定理
z2关于圆周
γ对称的充要条件是 通过z1, z2的任意圆周 都 对称的充要条件是, 的任意圆周δ都 正交. 与γ正交
2 2
δ
γ
a z 1
z2
R =| ζ − a | =| z1 − a || z2 − a |
因此z1，z2 关于圆周 对称 关于圆周γ对称 对称.
分式线性变换的保对称点性定理
定理7.12 设扩充z平面上两点 z1, z2 关于 定理 对称, 为一线性变换,则 圆周γ对称 w=L (z)为一线性变换 则w1=L(z1) 为一线性变换 w2=L(z2)两点关于圆周 Γ=L(γ) 对称 对称. 两点关于圆周 证 设∆是扩充z平面上经过w1, w2的任意圆 是扩充 此时,必然存在一个圆周 周. 此时 必然存在一个圆周δ, 它经过z1, z2,并使 并使 ∆=L(δ).因为z1, z2关于γ对称 故由定理 对称, 故由定理 定理7.11, δ与γ 正交. 正交 由于w=L(z)的保角性知 ，Γ=L(γ) 与 的保角性知 ∆=L(δ)亦正交 ，这样 再由定理 这样, 再由定理 定理7.11即知 w1, w2 即知 对称. 关于Γ=L(γ)对称
1 不难看出， 关于圆 关于圆|z|=1的对称点是 不难看出，与a关于圆 的对称点是 1 a 这种函数还应当把 z = 映射成 w = ∞
因此这种函数的形状是： 因此这种函数的形状是：
a
，
z−a z−a w=k , = k1 z −1/ a 1 − az
其中k、 是一个复常数. 其中 、k1 是一个复常数
w = 2ti
z −i 结论：w = Ri + w0 , z+i
z+i
+ w0 ,| w(0) − w0 |= R ⇒ 2t = R
w−w 下: 方法二 1. 在变换ξ = R 共形映射 | w − w0 |< R ← | ξ |< 1且w = w0 ↔ ξ = 0 → iθ z−i 2. 在变换ξ = e 下: z+i 共形 映 射
本讲结束
作
业
Page 318 习题: 7(2);8(2). 习题
作过 z1及 z2的任何圆周 (半径为有限 半径为有限)δ. 过 a 作 半径为有限 圆周δ的切线 的切线， 圆周 的切线 ， 设其切 点是ζ. 点是 是由切割线定理 知 2
ζ
γ
δ
z2
2
a z 1
| ζ − a | =| z1 − a || z2 − a |
但
| z1 − a || z2 − a |= R
§2.线性变换 线性变换
1.分式线性变换及其分解 分式线性变换及其分解 2.分式线性变换的共形性 分式线性变换的共形性 3.分式线性变换的保交比性 3.分式线性变换的保交比性 4.分式线性变换的保圆周性 分式线性变换的保圆周性 5.分式线性变换的保对称性 分式线性变换的保对称性 6.分式线性变换的应用 分式线性变换的应用
其次，如果 其次，如果|z|=1时，那么 时 那么|w|=1，且 ，
|1 − za |=| zz − az |=| z( z − a ) |=| z − a |=| z − a |,
z−a ∴ 1 = | w |= | k 1 || |= | k 1 |= 1, 1 − za iβ 令k1 = e ( β ∈ R ), 故所求变换为
w = L( z )
O
x
解：首先，这种变换一方面把 Imz > 0 首先， 内某一点 a 映射成 w=0，一方面把 ，一方面把Imz = 0 映射 成 |w|=1。 由于线性变换把关于实轴Imz=0的对称 由于线性变换把关于实轴 的对称 点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函 的对称点， 点映射成为关于圆 的对称点 数不仅把z=a映射成 映射成w=0，而且把 a 映射 数不仅把 映射成 ，而且把z= 因此这种变换的形状是： 成 w = ∞ 。因此这种变换的形状是：
分式线性变换在处理边界为圆弧或直线 的区域变换中，具有重要作用. 的区域变换中，具有重要作用
例 ： 考 虑 扩 充 w 平 面 上 的 一 个 圆 |w|=R. z − z1 分式线性变换 映射成关于圆|w|=R的对称点 及∞ ， 的对称点0及 把z1及z2映射成关于圆 的对称点 z−z1 |= R, 把扩充z平面上的曲线 |
z−a w=e ,( β ∈ R,| a |< 1) 1 − za
iβ
注1. 圆|w|<1的直径是由通过 a 及 1 / a 的 的直径是由通过 圆周在|z|<1内的弧映射成的； 内的弧映射成的； 圆周在 内的弧映射成的 注2. 以w=0为心的圆周由以 a 及1 / a 为对称 为心的圆周由以 点的圆映射成的； 点的圆映射成的； 是由z=a 映射成的； 映射成的； 注3. w=0是由 是由 求解的方法具有一般性. 注4. 求解的方法具有一般性
z −a w=e (β ∈R,Ima > 0) z −a
iβ
注1. 圆|w|<1的直径是由通过 的直径是由通过 在上半平面的弧映射成的； 在上半平面的弧映射成的；
a 及 a 的圆周
注2. 以w=0为心的圆周由以 a 及 a 为对称点 为心的圆周由以 的圆周映射成的； 的圆周映射成的； 映射成的； 注3. w = 0 是由 z = a 映射成的； 求解的方法具有一般性. 注4. 求解的方法具有一般性
w = z − z2
z−z
2
映射成为圆|w|=R。由定理 。由定理7.10、7.12知，上式 映射成为圆 、 知 表示一个圆， 是关于它对称点. 表示一个圆， z1及z2是关于它对称点
7.6 把 半 平 共 映 成 半 例 上 z 面 形 射 上 w平 面 的 分 式 线 性 变 换 可 以 写 成 平 w = az+b cz + d 其中a, b, c, d 是实数，且满足ad − bc > 0.
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
7.3 线性变换的矩阵
第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。
学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。
建议大家多看书，认真理解概念与结论。
重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。
难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。
_________________________________________________________● 学习内容 一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。
即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。
命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。
命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
线性变换与基.
( i ) i , i 1, 2, , n
证： V ,设 x11 x2 2 xn n
定义 :V V , ＝x11 x22
xn
，nຫໍສະໝຸດ 易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
事实上，任意取定V的一组基 1, 2 , , n后， 对任意 L(V )，定义 ：
: L(V ) Pnn, ( ) A, 这里A为 在基 1, 2 , , n 下的矩阵. 则 就是L(V )到 Pnn的一个同构映射.
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
i 1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 0 i1 i 0 i1 ( i ) i , i 1, 2, , n
于逆矩阵.
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, 1,2, ,n 1,2,
,n A ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
1, 2 , , n A 1 2 n B
1,2, ,n A B
(1 ) 111 21 2
( 2
)
12 1
22 2
( n ) 1n1 2n 2
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
浅谈线性变换在中学数学中的应用
浅谈线性变换在中学数学中的应用线性变换是数学中的一个重要概念，它在数学的许多分支中都有广泛的应用，其中包括中学数学。
在数学的中学教育中，线性变换被广泛地运用在代数和几何中。
本文就浅谈线性变换在中学数学中的应用。
一、线性变换在代数中的应用线性变换在代数中的应用主要体现在线性方程组和矩阵中。
一般来说，我们可以用变量来表示一个未知量，因此一个线性方程组可以用一个矩阵表示。
在解线性方程组的过程中，我们需要通过矩阵变换将方程组转化为简单的形式，然后通过逆变换推导出解。
对于一个线性变换，我们可以用矩阵来表示。
这些矩阵的运算规则遵循线性变换的特点。
在矩阵运算中，我们可以用矩阵乘法将矩阵进行组合，以得到新的矩阵。
二、线性变换在几何中的应用线性变换在几何中的应用主要体现在二维和三维几何问题中。
例如，在平面上有两个点，我们可以通过线性变换将这两个点转化为一个向量，然后通过向量的运算进行计算。
在三维几何中，线性变换也有广泛的应用。
例如，在三维空间中，我们可以通过线性变换将一条直线或者平面进行变换。
这样，我们就可以在三维对空间中对许多重要的几何问题进行求解。
例如，在三维立体几何中，我们需要计算两个平面之间的夹角，这时我们可以通过线性变换将两个平面转化成两个向量，然后通过向量的运算求解出夹角。
线性变换还可以用于计算几何中的切线、曲线和超平面等问题。
例如，在椭圆曲线中，我们需要计算一些特殊的点和曲线之间的关系。
这时，我们可以通过线性变换将这些点和曲线转化成向量，然后通过向量的运算来求解关系。
三、总结线性变换在中学数学中的应用非常广泛，它涵盖了代数和几何的许多重要问题。
通过线性变换的技巧，我们可以将复杂的问题转化成更简单的形式，然后通过逆变换来求解出问题。
因此，在中学数学学习中，要牢固掌握线性变换的相关知识，以便在实际问题中运用自如。
高等代数课件 第七章
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
线性变换的应用实例
线性变换的应用实例线性变换(linear transformation)是一章从静态矩阵Ax=b转向动态变化的过程，因此我觉得把线性变换放在这里讲更加合适。
之前的内容从空间到行列式，都是静态的，而之后的内容，如特征值(eigenvalues)和特征向量(eigenvectors)、相似矩阵等，都是对向量做变换得到的。
线性变换线性变换包括两个部分：线性和变换。
首先，变换是把一个东西变成另一个东西，比如把一个向量变成另一个向量，进而也可以把一个空间变成另一个空间。
举个例子，常见的求导符号就是一种变换，d/dx把f(x)变成f′(x).而线性，就是要保加法&数乘。
所以，假设有一个对向量的线性变换叫做T,那么T(v+w)=T(v)+T(w),T(cv)=cT(v)对所有c都成立，所以有结论T(0)=0.且看以下三个线性变换的例子。
f(x,y)↦f(2x,3y)是一个R2到R2的线性变换，如果有一个长方形，变换后就被缩放&拉伸了。
f(x,y)↦f(x+y,2y)也是一个R2到R2的线性变换，它会把长方形拉成平行四边形。
f(x,y)↦f(x+y,2y,x+2y)就把R2投射到R3上。
一些二维平面上的线性变换这些平面上的特殊线性变换都有它们的几何意义。
1、伸缩A=[c00c]2、翻折A=[0110]3、投影把向量投影在θ角的直线上，我们用两个分量分别去看投影后的位置，又已知v=xi+yj，最后重新组合就行了。
我们可以发现(1,0)点投影后变成了(cos2θ,cosθsinθ),而(0,1)变成了(cosθsinθ,sin2θ).因此P[xy]=x[c2cs]+y[css2]=[c2cscss2][xy](c for cosθ,s for sinθ).P=[c2cscss2].投影矩阵有两个关键性质：首先，投影操作是不可逆的，投影矩阵也是不可逆的（detP=0）；其次，多次投影和一次投影得到的结果是完全相同的，因此Pn=P.（在投影部分已经接触）4、镜像镜像是先求一次在直线上的投影，得到e向量（垂直于投影直线）的坐标，在初始点加上2e就得到了。
线性变换在数学解题中的应用
x 9
2 2
15 1 ． 此时 ， λ 分别得到最小值 和最大值 2 5 ， 5 ． [1 5 ]
5， 故实数 λ 的取值范围为
% y D′ M′ A′ D MA N N′ O B B′
= 1， 消去
x2 ， 得 6 λ（ λ － 1 ） y2 = （ 13 λ － 5 ） （ λ － 1 ） ． λ = 1 时， M、 N 重合 ， 符合题意 ． λ ≠ 1 时， 有 y2 = 13 λ － 5 13 λ － 5 ， 而 C 中 | y | ≤ 2， 则 | y2 | = 6λ 6λ ≤ 2， 解得 ， 5 ． [1 5 ] 笔者自认为这个方法比较好 ， 当然也考 虑过学生所给的直觉方法 （ 由于没有找到能 充分说清的理由 ， 就没准备介绍 ） ， 估计会有 学生这样做的 ， 但没有想到会有这么多的学 1 ≤ λ ≤ 5， 故实数 λ 的取值范围为 5
， 笔者很 ， 5 ” [1 5 ]
(
) （ 如 图 6） ．
当 N（ N' ） 横 坐 标
| x M' | | xM | | D'M' | = = x N （ x N' ） 不为零时 ， | y N' | | yN | | D'N' | = | DM | → → → ， 由 DM = λ DN， 可 得 D'M' = | DN | 与 A' 或 B' 重 合 时，
第3 期
高中数学教与学
线性变换在数学解题中的应用
董培仁
（ 江苏省盱眙中学， 211700 ）