三角形内角和定理.ppt
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三角形的内角和.ppt
发现
1
2
3
发 1+ 2+ 3+ 4
2
4
= 90° ×4 = 360°
演示
中点
∠1+∠2+∠3= 180° 三角形的内角和是180°
演示
∠1+∠2+∠3= 180° 三角形的内角和是180°
能不能把长方形分 成两个直角三角形？
猜想
猜想
这两个三角形完全 一样吗？为什么？
直角三角形的内角和是180度
猜想
能不能做到把一个锐 角三角形，在它的内 部画一条线，把这个 锐角三角形分成两个 直角三角形呢？如果 是钝角三角形呢？
猜想
帕斯卡是法国著名的数学家、
物理学家。他4岁时母亲病故，由 父亲和两个姐姐负责对他进行教 育和培养。12岁独自发现了“三 角形的内角和等于180°”后，开 始师从父亲学习数学。主要贡献 是在物理学上，发现了帕斯卡定 律，并以其名字命名压强单位。
猜一猜
？ 50°
70°
60°
180°－ 70°－60°＝ 50°
50°
40° ？
180°－ 90°－50°＝40° 90°－ 50°＝ 40°
？ 100° 40° 40°
180°－ 40°－ 40°＝ 100°
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= 90° ×4 = 360°
演示
中点
∠1+∠2+∠3= 180° 三角形的内角和是180°
演示
∠1+∠2+∠3= 180° 三角形的内角和是180°
能不能把长方形分 成两个直角三角形？
猜想
猜想
这两个三角形完全 一样吗？为什么？
直角三角形的内角和是180度
猜想
能不能做到把一个锐 角三角形，在它的内 部画一条线，把这个 锐角三角形分成两个 直角三角形呢？如果 是钝角三角形呢？
猜想
帕斯卡是法国著名的数学家、
物理学家。他4岁时母亲病故，由 父亲和两个姐姐负责对他进行教 育和培养。12岁独自发现了“三 角形的内角和等于180°”后，开 始师从父亲学习数学。主要贡献 是在物理学上，发现了帕斯卡定 律，并以其名字命名压强单位。
猜一猜
？ 50°
70°
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180°－ 70°－60°＝ 50°
50°
40° ？
180°－ 90°－50°＝40° 90°－ 50°＝ 40°
？ 100° 40° 40°
180°－ 40°－ 40°＝ 100°
三角形内角和ppt课件完整版
度或边长。
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
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C
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三角形内角和说课ppt课件
感谢观看
THANKS
三角形内角和的基础知识
三角形的定义和分类
三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次 相接所组成的图形。根据边长特点，三角形可以 分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等腰三角形有两边长度相等，对应的两角也相等 ，另一个角为顶角。
等边三角形三边长度相等，三个内角相等，均为 60°。
普通三角形三边长度和三个内角均不相等。
电子工程
在电子工程中，三角形内角和定理可以用于计算电路中的 电阻、电容、电感等元件的参数，以及确定电路的性能和 稳定性。
05
三角形内角和定理的拓展和
深化理解
对称三角形内角和定理的拓展
总结词
揭示规律，拓展思维
详细描述
通过对称三角形的案例分析，揭示三角形内角和定理背后的规律，引导学生拓展 思维，探索不同证明方法的可能性。
三角形内角和说课 ppt课件
• 引言 • 三角形内角和的基础知识 • 三角形内角和的证明方法 • 三角形内角和的应用 • 三角形内角和定理的拓展和深化
理解 • 总结与回顾
目录
01
引言
主题和目的
主题
探究三角形的内角和
目的
通过多种方法证明三角形内角和为180度，并运用该结论解决实际问题
背景和重要性
03
这种证明方法较为抽象，但可以借助计算机软件进行计算 和验证。
04
三角形内角和的应用
在几何学中的应用
证明定理
三角形内角和定理是几何学中最 基本的定理之一，它可以应用于
证明其他定理和性质。
计算角度
通过三角形内角和定理，我们可以 快速计算出三角形的内角大小，以 及一个角度相对于其他角度的大小 。
三角形的内角和(PPT课件)2024新版
忽视三角形形状的多样性，认为只有某些特殊形状的三角 形才具有内角和为180度的性质。实际上，所有三角形的内 角和均为180度，与形状无关。
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2020年中考数学复习：三角形内角和定理 课件( 共13张PPT)
或∠A=900- ∠B，或∠B=900- ∠A
回顾练习 1、△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是 ＿600 2、△ABC中，∠A=50°，∠C=90°，则∠B的度数是 ＿400
3、如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分 ∠ACB，求∠ACD的度数．
解：在△ABC中 ∵∠A=70°，∠B=50°， ∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60° （三角形内角和定理）． ∵CD平分∠ACB，
在⊿ABD中，∠D=900 （已知） ∠ABD=400（已求）
∴∠A=900-400（直角三角形两锐角互余）
练习3:如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点
P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 125．°
解：∵△ABC中，∠A=70°（已知） ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°
（三角形内角和定理）
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线， ∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）
= ×110°=55°（角平分线性质）
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4） =180°﹣55°=125°
（三角形内角和定理）
今天作业： 《新课堂》33页中6题,11题 画图，写步骤，做纸上
今天自习课： 《新课堂》32页3题、 33页4题 画图，写步骤，做纸上
三角形内角和定理复习
知识回顾
1.三角形的内角和等于 1800
.
推理：∵∠A, ∠B, ∠C是⊿ABC的内角
∴ ∠A+∠B+∠C=1800
或∠A=1800- ∠B+∠C，……
或在⊿ABC中，∠A+∠B+∠C=1800
三角形内角和定理的证明一ppt
1 2 D
三角形内角和定理：三角形的三个内 角之和等于180゜ 已知：△ABC中, ∠A、∠B、∠C是三 个内角 求证：∠A+∠B+∠C=180゜
A
A E
1 B C
2 D
B
C
分析：可延长BC到D，过点C作射线 CE∥AB，得∠1、∠2， A 由于CE∥AB，可得 ∠A＝∠1，∠B＝ ∠2，这样就相当于 把∠A移到了∠1的 位置，∠B移到了 ∠2的位置。
四、简介其他的证明方法
上面的证明方法是通过平行线把∠A、 ∠B、∠C “凑”到点C处，也可以把 这三个角“凑”在别的位置上，有下 列三种方法：
E
1 A A A
F
E
G H D 12 3 E 4 O5 C
2
B C B
3 1 D
B F
L
C
五、实战场
part1：直角三角形的两锐角互余 已知：△ABC中，∠C＝ 90゜ B 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
E 1 2 B
A
C
E
D
1
2 D
证明：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB， ∵CE∥AB（作图） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∠1＝∠A ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等 ） 又∵∠ACB+∠1+∠2=180゜（平角定义 ） ∴∠A+∠B+∠C=180゜（等量代换） B
A
E 1 2 C D
A
C
证明：在△ABC中 ∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定 理） ∠C= 90゜（已知） ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜（等式 C 性质） 即∠A+∠B=90゜ 嘻嘻，你写对了吗？.
《三角形的内角和与外角和》课件
06
练习题及拓展思考题
基础知识巩固练习题
已知三角形的两个内角分别为30°和60° ，求第三个内角的大小。
已知等腰三角形的一个底角为40°，求其 顶角的大小。
一个三角形的内角和是多少度？请说明 理由。
在直角三角形中，已知一个锐角为35°， 求另一个锐角的大小。
提高能力拓展思考题
请用多种方法证明三角形的 内角和为180°。
外角和为360度。
实际应用举例
例子一
在几何图形中，利用三角形外角和定理求解角度问题。例如 ，在一个五角星中，可以通过三角形外角和定理计算出五角 星的内角和。
例子二
在实际生活中，利用三角形外角和定理解决一些与角度有关 的问题。例如，在建筑设计中，可以利用三角形外角和定理 来计算出建筑物的某些角度，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
连接三角形的一个 顶点和它所对边的 中点的线段。
三角形性质总结
三角形的两边之和大于第 三边，两边之差小于第三 边。
三角形的三个内角之和等 于180度。
等腰三角形的两腰相等， 两底角相等。
等边三角形的三边相等， 三个内角都相等且每个角 都是60度。
直角三角形的两个锐角互 余，且斜边的平方等于两 直角边的平方和（勾股定 理）。
已知四边形ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D，求证： 四边形ABCD是平行四边形
。
在一个五边形中，已知四个 内角的大小，求第五个内角
的大小。
已知一个多边形的边数增加 1，其内角和增加多少度？
请说明理由。
01
02
03
04
05
答案解析与讨论
01
基础知识巩固练习题答案解析
通过三角形内角和定理及等腰三角形、直角三角形的性质求解各题，强
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方 法 一
A
l 3 2 1
C
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。 在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
试一试
☞
三角形内角和定理:
“行家” 看“门道”
三角形内角和等于180°.
方 法 二
证明:作BC的延长线CD,过点C 作CE∥AB,则 ∠1=∠A (两直线平行,内错角相等),
数。 解：在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80° ∴∠B+∠C=100° A
∵∠B=∠C ∴∠B=∠C=50°
B C
考考自己?
2:已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三
个内角的度数。 解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x. 列出方程 x+3x+5x=180° x=20° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
还有其他方法解决这个问题吗？ 40°
B
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
在△ABC中，
？
80° 50°
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB
＝180°－60°－30°＝90°．
A
答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
考考自己?
1:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度
方 法 四
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思 考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内 角互补,或者两个直角之和,或者其它方法. 这种转化思想是数学中的常用方法.
试一试
☞
R Q C Q
S
“行家” 看“门道”
A
S
根据下面的图形,写出相应的证明. A Q B
P
N
R
P (1)
B
P
N
M
A R C
B
A E C D
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和180°.
证明；过顶点A作BC的平行线 AD ∴∠C=∠1(两直线平行,内错角 相等) ∠1+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等 量代换)
方 法 三
A 1
D
B
C
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过点A作 BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE. ∴∠BAF=∠ABD D A E ∠ECA=∠FAC (两条直线平行,内错角相等.) ∴ ⊿ABC的三个内角 B C F ∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC= =∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
32 44
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛 的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 解：∠CAB ＝ ∠BAD－∠CAD ＝ 80°－50°＝30°．
北
C
北 D
E
由AD∥BE，可得 ∠BAD＋∠ABE＝180°．
所以∠ABE＝180°－∠BAD ＝ 180°－80°＝100°
三角形的内角和
直观感受 取一张三角形纸片，把它的三个角剪 开，拼在一起，看看得到什么？
A A
B
C 图1
B
C
A
我们猜想,任意一个三角形的内角和等 于180°.怎么证明猜想是对的呢?
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
已知:⊿ABC(如图所示) 求证:∠A+∠B+∠C=180° 证明:过点C作AB的平行线l. ∵AB∥L ∴∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等) 同理,∠B=∠2. B ∵∠1+ ∠2+∠3=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠C=180° (等量代换)
(2)
T
C
M
B
T
(3)
你还能想出其它证法吗?
比比谁最快
求出下列图中x的值:
x =45
x° x°
2x° ┐
x =30
x°
x°
x =60
x°
150°
x° x°
x =60
我是最棒的
1、一个三角形最多有 1 个直角，最 多有 1 个钝角。 2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则 ∠C= 600 。 3、若一个三角形的三个内角之比为2：3： 4，则 α 这三个内角的度数 480 0 0 0 40 ，60 ，80 为 。 280 4、如图：∠α= 。0 0
说说你的
收获
1、三角形的内角和为1800 2、应用三角形内角和求角及检验合格性 3、认识了辅助线及其作用 4、数学中的转化思想
练习1.如图所示，求1的度数？
20° 1
45 °
30 °
练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。 A1
A4
1
A3
2
A2
A5