流体力学 难点分析

粘性切应力的计算

粘性切应力的计算常常很复杂。如果流体作一元运动，速度不太大，粘性系数比较大，

边界条件简单，则其速度分布可视为线性变化，这样由式就容易算出。例如，图（a）表示间隙为δ的两个同心圆柱体，外筒固定，内筒以角速度ω旋转。内柱表面的粘

性切应力为。图（b）表示两个同轴圆柱体，间隙为δ，内筒以速度U沿轴线

方向运动，内筒表面的粘性切应力为。

表面张力的计算

在一般工程实际问题中通常不考虑表面张力。但如果涉及到流体计量、物理化学变化等问题，则表面张力通常要加以考虑。

（1）空气中的液滴

如果不考虑重力影响，液体内部压强为常数，由式

可知

又根据对称性知，两个曲率半径相等，这时液滴必为球体，内外压强差为

如果考虑重力影响，则液滴不再是球体，越靠近下方，液滴的曲率半径越小。

（2）液体气泡

液体气泡有内表面和外表面，其半径分别为R1和R2，如图1所示。气泡内气体压强为p，外部空气压强为p0，液体的压强为p1，对于内表面和外表面分别应用式

有：

，

液膜很薄，内外半径可视为相等，即R1＝R2＝R，上面两式相加，得

上式也可以这样推证：过球心作一切面将液体球膜分成两部分。对于其中一个半球面，压强差p－p0产生的压力应等于张力，而张力在内外表面均存在，于是：

化简后就得到上式。

（3）毛细液柱

将一根细管插入液体中，由于表面张力的影响，管内液柱将上升h，如图2所示。设液柱表面最低处的液体压强为p，外部大气压强为p0，则

由流体静力学知

因此，毛细液体上升的高度为

（4）铅直固壁上的液面

如图所示，表面张力将使液面弯曲，其爬升的最大高度为h。在弯曲液面上的任一点应用式

有：

式中，R是该点的曲率半径，

设该点得高度为y，则

因此，

令

，它具有长度的量纲。上式化为

两边同乘，则有

，

因此

（*），

因此C＝1

，

所以爬升高度为

如果要求液面形状，则可将式（*）变成

为积分上式，作变量代换：

其积分结果为

因此，积分常数x0是

连通器内不同液体的压强传递

公式：

，

只适用于同一种液体，如果连通器里有若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

例如，计算如图所示的容器里面液体表面的压强

：

平面的压力中心

如图（a）所示，挡水平板伸至水面，如果被淹部分的板长为L，则压力中心距板底L/3。但如果平板淹没在水下，如图（b）所示，则压力中心到板底距离并不是L/3。压力中心的坐标可按下式计算：

面积惯性矩可查表，计算一般较为复杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分

法，计算往往还简便些。例如，求图（b）中的提升平板闸门所需的力T时，可按下面方法计算：

复杂曲面的压力体

压力体是物面与液面的延伸面所围的空间体积，压力体内不一定有液体。正确的识别压力体，可以使铅直方向的总压力的计算得到简化。

对于复杂物面，压力体应分段计算。总压力在铅直方向的投影值，以朝上为正，朝下为负。例如，对于如图所示的复杂曲面，有：

旋转容器内液体的相对静止

液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为

恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。

解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：

设抛物线方程为：

当r＝R时，z＝H，即，如图所示。

式中，正是同高圆柱体的体积。

牛顿迭代法

在实际问题中，常常要求方程式f(x)=0的根。如果是一元二次方程，则可直接利用求根公式。如果是超越方程，则它的解析解很难，甚至不可能求得，这时可使用迭代法，迭代法有很多种，这里介绍一种收敛较快的牛顿迭代法。

如下图表示一条曲线y=f(x)，现求该曲线与x轴的交点，即f(x)=0的解。设(x0,y0)是曲线上的一个点，y0＝f(x0)，如果∣y0∣比较小，则x0可视为方程f(x)=0的一个近似解。为了求出精度较高的解，可以过点(x0,y0)作曲线的切线，显然，该切线的斜率是f′(x0)，设这条切线与x轴交于点(x,0)，则

或

显然，x是方程f(x)的一个比x0更精确的根，重复以上计算就得到精度很高的根。这种求根的方法称为牛顿迭代法。

伯努利方程

①伯努利方程的两种形式

伯努利方程有两种形式：沿流线的伯努利方程，用于求某点的速度；过流断面的所谓总流的伯努利方程，用于求断面的平均速度。

②伯努利方程中的压强

伯努利方程中的压强可以是绝对压强，也可以是相对压强。

③缓变流

在管流中，如果某处的流线平直，流线的曲率半径很大，则该处的流动称为缓变流。缓变流有一个特点：沿流线法向，位置水头与压强水头之和是一个常数。

在总流的两个截面上应用伯努利方程时，这两个截面必须处在缓变流中。此时，

可以在截面上任意一点取值，对于管流，常在管轴线上取值。

如图（a）表示孔口出流，应用总流的伯努利方程时，应选择水面0－0和射流最小截面1－1进行有关计算。对于图（b）所示的闸下出流，截面0－0应在闸门上游足够远处，因为闸门上游近处属急变流。

动量方程

①动量方程的投影式

动量方程式是矢量式，使用时应选择一个适宜的坐标系，并写出动量方程的分量式。

②动量方程与其它方程的联立

用动量方程求解实际问题时，未知数比较多，要联立连续性方程和伯努利方程，问题才能得以求解。

③控制面上的压力计算

应用动量方程的一个重要目的，就是求解为固定某一物体所需的外力，为此，控制面上的压强必须使用相对压强

。

如图（a）所示，平面水流射向一块垂直放置的平板，忽略重力作用，试求为固定平板所需的外力F。

先分析平板受力，如图（b）：左方受动水压强p，右方受大气压强p a，平板面积为A，固定平板所需的外力为

取图（c）所示的控制体，它与平板接触的面积A的压强为p，其它控制面上的压强为大气压强p a，面积A上的压强p分解为相对压强p－p a和大气压强p a。由于控制面（封闭面）上压强的合力为零，因此控制面上的力实际上只有(p－p a)A，这个力的大小正好就是固定平板所需的外力F。对于控制体，动量方程为

或

在计算控制面压力的时候，考虑了面A1、A2的压强，不过这两个面上的相对压强都是零。

动量矩方程

公式

表示定常运动的动量矩方程。

对于图（a）所示的水泵叶轮，控制面可选择内轮和外轮，由于叶片的存在，我们观察到的控制面上的速度与时间有关，但动量矩与时间无关，属定常问题。对于图（b）所示的洒水器，控制面如图中虚线所示，控制面上的速度分布与时间有关，但动量矩与时间无关。

∏定理中基本物理量的选择

基本物理量的选择是量纲分析的关键问题之一，其要求是3个基本物理量的量纲要相互独立。

设基本物理量为U1、U2、U3，它们均为有量纲的物理量，选定[L]、[T]、[M]为基本量纲，写出U1、U2、U3的量纲关系式。

要使U1、U2、U3的量纲相互独立，则要求指数行列式

例如，若U1、U2、U3分别表示长度、速度、加速度时，有

则长度、速度、加速度三者在量纲上是不独立的。

若U1、U2、U3分别表示长度、时间、质量时，有

则长度、时间、质量三者在量纲上是独立的。

沿程损失系数的计算

在计算管流沿程水头损失时，要求出λ的值。已知管流的雷诺数Re和相对粗糙度Δ/d求λ的方法有两种。一种是在莫迪图上用插值法求得，精度较差；另一种是用经验公式。在实用中，常使用柯列勃洛克公式，该公式对光滑区、过渡粗糙区和粗糙区均适用。事实上，莫迪图就是根据该公式的计算结果绘制出来的。柯列勃洛克公式是一个隐式，即

当已知Re和Δ/d求λ时，可使用牛顿迭代法。

令:

，，

有

超越方程

其解可用牛顿迭代法求出：

式中

工业管道的沿程损失系数的值约为λ＝0.02～0.03，计算时可选取λ＝0.03作为初值，几次迭代后就可以得到精度极高的值。

泄漏管路的沿程水头损失

如图所示的一泄漏管路，管段长为l，入口流量为Q0，出口流量为Q1，管壁有孔隙，沿程有流体漏出，设单位长度上泄漏流量为q，则

容易算得距离入口为x处的截面上的流量为

在管流微段dx上，沿程水头损失为

式中，A是管流截面积。由于Q(x)沿程变化，总的水头损失用积分求得。设λ沿程不变，则

并联管路

如果在主干管的两个节点之间并列地连接几条管道，这样的管路称为并联管路，如图（a）所示。

并联管路通常不计及局部水头损失，计算中按长管处理。

在图（b）中，主干管的节点A，B之间出现三管并联的管路。这种并联管路的水力特征

是：管1，2，3的水头损失相等，它们都等于节点A，B的压强水头的差值，而三条管道的

流量的和等于主干管的流量，即

对于图（b）中的管路，有

管网的水力计算

由若干条管道组成的闭合环路称为管网。如果已知各管的参数，求各管的流量，则这种就算称为管网的水力计算。

如图所示的是一种最简单的管网，显然，

现在我们规定环路的方向为逆时针方向，

管1，2的流动方向与环路方向一致，而管

3，4的流动方向与环路方向相反。

上式可改写为

即环路上各管的水头损失的代数和等于零。各管的水头损失由正、负之分。如果流动方向与环路方向一致，则h f为正，反之为负。这样，一条管道的沿程水头损失可表示为

式中

显然，h f与V同号。若h f为正，则流速V与环路方向同向，若h f为负，则流速与环路方向反向。

如果各管道的流量Q i是精确解，则环路上的总水头损失等于零，这称为环路闭合条件，即

实际上各管流量是未知的，用上式不能直接解出，这是可使用迭代法，其步骤如下：

①根据各节点的连续性条件，估算各管的流量。

对于图中所示的各节点，连续性方程是

；

；

此处规定流出节点的流量为正值，流入节点的流量为负值。作为初值，可设各管的流量的绝对值均为0.5Q。

②初设的Q i 不满足闭合条件，应作修正。设各管均增加一个微量修正值△Q 。修正后的流量Q i ＋△Q 满足闭合条件，即

这里我们略去了二阶微量，由上式得到修正值：

经若干次修正后，可选用适当的参考量K 0、Q 0，将算式无量纲化，即

，

，

收 缩 喷 管 的 计 算

如果不考虑热交换和摩擦损失，喷管的流动属于等熵流动。等熵流动的公式很多，但需要背记的公式只有少数几个。现以收缩喷管的质量流量Q=ρu A 的计算为例加以说明。

设气流的滞止参数为p 0、T 0，收缩喷管出口截面积为A ，出口外面的环境压强（背压）p e 已知，求喷管的质量流量，计算步骤为

①计算临界压强

，如果

，则喷管出口压强p ＝p e 。

②由等熵关系求出口温度和密度：

，

③求出口温度计算出口速度：

④按计算质量流量。

另外，如果

，则喷管出口压强，质量流量按计算。

拉伐尔喷管的计算

拉伐尔喷管的计算与收缩喷管的计算相似。但要注意，拉伐尔喷管的出口压强总是与背压相等的。

，则喉部达临界状态，质量流量按计算。

如果出口压强

如果出口压强

，则整个拉伐尔喷管内出现的都是亚音速流。质量流量

的计算与上述的收缩喷管的计算方法相同。

滞止状态和临界状态

气流的滞止状态是指速度为零的地方的热力学状态，参数用下标0表示：

，。

，

滞止参数是描述可压缩流的一个参数，在实际流动中可能出现，也可能不出现。滞止参数的物理意义是：如果用一根小管将某点的气流等熵的引至一个容器中，则容器内的压强、温度就是气流中该点的滞止压强p0和滞止温度T0。

临界状态是指速度u和当地音速c相等的那点的热力学状态，参数用下标*号表示：

，。

，

临界参数的物理意义与滞止参数的物理意义类似。

滞止参数与临界参数都是描述可压缩流的参数，其关系式为：

，

，

拉伐尔喷管内的正激波

气体在拉伐尔喷管作等熵流动时，出口压强的解由两个值，大值对应于亚音速等熵流动，小值对应于超音速等熵流动。如果出口压强介于这二者之间，则在扩散管内将发生激波，如图所示。

发生激波时，激波上下游都是等熵流，但从Ma1变到Ma2时是突变过程，即在激波上游，Ma<1。喉部的Ma*＝1和激波前的Ma1满足等熵关系，Ma1和Ma2满足激波关系，Ma2变到Ma3也满足等熵关系。整个流动过程是绝热过程，如果流动过程是绝热过程，如果波前总温是T01，波后总温是T02，则有T01＝T02。

由速度势求流函数

设有速度分布u=x－4y，v= －4x－y。显然这个速度场满足不可压缩流体的连续

性方程和无旋条件，因此存在速度势和流函数。下面用两种方法求解

和

。

(1)待定函数法

因为

所以

，

用同样方法还可以得到

(2)复位势法

，

当然，只有

都存在时才能用这种方法。

求速度环量及流量的简便方法

(1)封闭线的流量

根据流体不可压缩原理，如果封闭线所围区域既无点源也无点汇，则该封闭线上的流量必然为零；如果该区域有一个点源Q1，有一个点汇Q2，则该封闭线的流量是Q1－Q2；如果该区域内有若干个点源和点汇，则通过该封闭线的流量等于这些点源强度之和减去这些点汇强度之和。

(2)封闭线的速度环量