农耕游牧关系的经济分析(正文)

农耕游牧关系的经济分析一、导论“游牧民族与农耕民族的相互挑战与反应，是近代以前世界史上最重要的课题之一”（萧启庆，1972）。

中原王朝和游牧政权间的冲突与战争几乎贯穿于整个中华文明史，成为影响中国古代历史发展的最重要因素之一，农耕游牧关系也一直是中国传统史学关注的核心问题之一。

因农耕游牧关系涉及（理性）行为主体（农耕民族和游牧民族）之间的政策选择与博弈，经济学、国际政治学等学科也开始应用博弈论和交易成本等经济分析工具分析农耕游牧关系。

俞炜华和章自刚（2006）从游牧区比较贫瘠及游牧民族组织军事成本较低的现实出发，构造博弈模型，在统一的框架下，分析出击草原惩罚、修建长城防御和通过和亲、朝贡贸易等方式购买和平等政策背后的经济理性。

俞炜华、南文海构建模型说明在农耕游牧双方对土地既存在武力抢夺又存在交易的情况下，“谁对土地评价高，谁就能得到土地”，由此说明“400mm等雨量线”、长城与农耕游牧分界线基本一致背后的经济逻辑。

在此基础上，该文还认为，长城并不影响土地在游牧和农耕民族之间的配置，其价值在于节约农耕民族军事投入并减少向游牧民族支付的财富数量（俞炜华和南文海，2009）。

盛洪（2011）应用科斯定理分析了长城与“400毫米等降水线”、清代的草原政策及军事技术变革对“华夷边界均衡”的影响。

周方银（2011）则从动力机制的角度，构建博弈模型，对朝贡体制的均衡及其稳定性进行分析。

经济学和政治学等社会科学将农耕游牧关系视为理性行为主体选择行为的结果，从双方政策选择约束条件入手进行分析，拓展了农耕游牧关系的研究视野。

尽管不少研究涉及双方边界的确定，但没有考虑到空间因素在资源配置中的作用。

1990年代以来，在组织理论快速发展和国家政治版图新一轮重组推动下，基于空间经济学的国家规模经济理论成为新政治经济学研究中最具活力的研究领域之一，A.Alesina和E.Spolare（1997；2005），H.I.Crossman和J. Mendoza（2001），D.Wittman（2000）等学者应用产权与新制度经济学、冲突经济学、国家贸易等方法，分析国家规模和边界的变迁、统一与分裂等问题。

帝国的扩张和国与国之间关系是其中重要的研究方向，如R.Findlay（1996）以土地、劳动力为要素的生产函数和固定数量的劳动力在争抢土地和生产间配置为前提，构建国家边界扩张和帝国规模模型。

H.I.Grossman 和J. Mendoza （2001）在理性选择的框架下分析了罗马帝国的扩张，该文认为罗马帝国的扩张经历了尝试征服、强迫合并与非强迫合并三个阶段，其在扩张的不同时期根据帝国扩张的军事和经济收益、军队相对于对方防御的效率、军队后勤支持等选择不同的方法。

本研究结合国家规模理论和农耕民族治边政策，以农耕区扩张成本收益为基础，分析均衡农耕民族控制区规模及其影响因素，并在此基础上分析在面临游牧民族军事压力的情况下，农耕民族议和、修建长城、出击草原等治边政策的成本收益。

本文分为以下几个部分：第一部分为导论；第二部分首先将构建一个基础的国家规模模型，并分析均衡规模及其影响因素，接下来将模型扩展，分析在北部边界出现游牧政权军事压力情况下，中原王朝均衡规模及其变动。

第三部分分析农耕民族和游牧民族议和（和亲、称臣纳贡、朝贡贸易）、修建长城和出击草原的成本收益；第四部分总结全文。

二、中原王朝统治规模模型本部分将基于国家规模扩张的成本与收益，构建国家规模之基础理论模型，分析最优国家规模及其变动。

在此基础上将模型扩展至讨论中国古代农耕游牧长期对峙对中原王朝统治规模的影响。

（一） 国家规模基础模型1. 模型设定第一、国家疆域为一个标准的圆，半径为R ，面积S =πR 2，且国家政治和军事中心位于圆心处。

人口在该国地域上均匀分布，人口密度为ρ。

第二、该国是一个利维坦国家，且国家外围没有较强的军事政权①。

国家的统治者追求统治收益最大化，其通过向民众提供公共品而换取税收。

统治收益来自于税收。

生产函数为柯布—道格拉斯函数，2 Y A R αρπ=，统治者所定税率为民众不反抗条件下统治者可征收的最高税率t ，该税率为常数。

在此假设下，我们不需要考虑国内冲突对国家规模的影响。

统治者为获得税收需支付以下两种成本。

一为管理成本()M ，即保护境内民①后文第二个模型中放松了这个条件。

众产权以及维持地方稳定等相关的货币化支出。

国内任一地区的管理成本与该地区民众人均最低公共品提供成本()m 、人口()s ρ、该地区到圆心的距离()r 有关。

因此，该成本可表示为()M mf r ds ρ=⎰⎰。

假设()f r r =，则可得323M m R ρπ=①。

二为边防成本D ，假设该成本与边界线的长度②呈线性关系，边界线防守的单位成本为d ，则国防成本可表述为2D d R π=。

下文中，我们将统一用国家半径R 来代表国家规模。

国家规模取决于边际扩张的成本和收益，边际收益等于边际成本时的国家规模为最优国家规模。

2. 模型求解在上述假设下，可得该国统治者的利润函数为： 23223tA R m R d R αρπρππ∏=-- (1) 首先，我们分析国家能够生存的规模区间。

当利润小于零时，财政破产，国家就会崩溃。

因此，0∏≥是国家稳定存在的前提条件。

为使Π≥0时存在正数解，必须满足（2）式③： 12216()03tA md αρ--≥ (2)计算可得，0∏≥的半径范围为：min max [,]R R R ∈ (3)其中：min 3R m ρ=(4)max 3R m ρ=(5)①M =∬mf (r )ρds =∬mrρds =∫mρ2π0dφ∫r R 0∙rdr =mρ∙2π∙13r 3|R 0=23mρπ∙(R 3−0)=23mρπR 3。

②即圆的周长。

③tAραπR 2−23mρπR 3−2dπR ≥0 可以表达为πR （23mρR 2−tAραR +2d ）≤0，该式成立需满足以下条件：∆=（tAρα)2−4×2mρ3×2d =(tAρα)2−16mρd 3≥0，化简可得：∆=(tAρα−1)2−16md 3≥0。

国家生存规模区间可作为国家稳定程度的一个重要测度指标。

[R min ,R max ]区间的长度越大，能使国家保持稳定的规模范围也就越大，在国家面临各种外在和内在冲击时可调整的规模范围也就越大，国家的稳定程度也随之上升。

下面，分析统治者的利润最大化半径（即面积）。

令0d dR∏=，可得： 22220tA R m R d αρπρππ--=计算可得：*1R = (6)*2R =(7) 又因*1220R R d dR =∏>，*2220R R d dR =∏<，可得国家最优规模为**2R R =。

3. 讨论根据(3)、(4)、(5)、(7)式可得以下命题：命题1：若管理技术上升（即m 下降），国家稳定程度上升，最优规模变大。

证明：对(4)式做变换，可得min 3R m ρ==(8)由（8）式可知，m 下降，163m d ρ变大，，即min R 变小。

同理可得，m 下降，max R 变大。

因此，国家生存规模区间min max [,]R R 随m 下降而变大，即国家稳定程度的上升。

应用类似方法可得，m 的下降导致(7)式中的*2R 的变大，即国家最优规模变大。

命题2：若防守军事技术上升（即d 下降），则国家稳定程度上升，国家最优规模变大。

证明：同命题1。

命题3：若生产技术上升（即A 变大），则国家稳定程度上升，国家最优规模变大。

证明：同命题1。

命题4：当劳动力产出弹性很小（α<0.5）①，人口密度的上升（ρ上升）会导致国家稳定程度下降，最优国家规模的变小②。

证明：国家稳定区间为min max [,]R R 。

max minR R -== (9) 令()2116(0)3md Z tA Z αρρ-=-≥，则： 122216[2(1)()]3Z md tA αραρρ--∂=-+∂ (10) 因为12216 ()03tA md αρ-->, 且α−1<0 ()()22122116213t A md αααρ--<-⨯ (11)当α<0.5，即2(α−1)<−1，可得：()()22122116162133t A md md αααρ--<-<- (12) 将(12)式代入(10)式，可得：ðZ ðρ<0如果ρ上升，则Z 变小，从而国家稳定区间宽度(R max −R min )也变小，国家稳定程度将会下降。

对（7）式做变换，可得：①按照张五常（2011）《佃农理论》数据，在土地改革前，台湾地区平均地租为56.8%，即α=43.2%。

在该书附录B 中，张五常收集整理了1930年代学者和政府机构对中国农村的调查研究，在地主提供耕牛和种子等生产工具的情况下，平均地租多高于50%，因此，α<0.5应该是吻合中国历史史实的。

②当α>0.5时，难以确定[R min ，R max ]和R 2∗的变化规律。

*2R = 其中，α代表劳动力产出弹性系数。

当0<α<0.5，ρ上升，ρα和4mdρ1−2α均变大， tA R 2∗变小。

造成这种现象的原因是，当α很小时，劳动力产出弹性系数很小，即人口密度（劳动力数量）边际增加能增加的产量有限，无法弥补因人口密度边际增加造成的管理成本上升，因此，国家规模有收缩的趋势。

（二） 游牧军事压力与中原王朝规模“公元前215-1684年，中国和北方游牧民族之间发生了1109次重要军事冲突”（邓刚，2002），农耕和游牧民族长达2000年的对峙和互动深刻地影响着中原王朝的规模。

本部分将基础模型拓展至在国家（中原王朝）的某个边界段出现强大军事力量的情况下，中原王朝控制区规模变动情况。

1. 模型设定第一、游牧政权会对中原王朝边界中某一边界段造成军事压力。

设游牧政权军事压力边界对应的圆心角为常量φ，即受压力区域为φR 。

第二、游牧政权对边界的军事压力提高中原王朝边防军队的损耗程度。

假设边防军队的单位损耗率为P(P ∈[0,+∞))，其与中原王朝的防守技术效率值θ①负相关（∂P(θ)∂θ<0），即中原王朝相对于游牧政权的防守技术越先进，θ值就越大，边防军队的单位损耗率P 也就越小。

第三、中原王朝会向边界不断输送资源补充耗损。

综合第一、第二和第三可得，在存在游牧政权的情况下，补充边防兵力耗损的成本为：()22D dkP R πθ= (13) 其中，2k ϕπ=。

第四，国家的管理成本、税收收益的函数表达式不发生变化。

2. 模型求解在上述假设下，中原王朝统治者的利润函数为：① 在后文的讨论中，还出现了另一个技术参数σ，代表的是中原王朝进攻的相对军事效率。