弦长公式在相交两圆中的运用
与圆相交直线弦长公式
与圆相交直线弦长公式
与圆相交的直线弦长公式可以通过以下步骤推导：
1.设圆的方程为x2+y2=r2，其中r是圆的半径。
2.设直线的方程为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线的截
距。
3.联立圆的方程和直线的方程，得到关于x的二次方
程(k2+1)x2+2kbx+b2−r2=0。
4.由于直线与圆相交，所以二次方程有两个实根，分别对应直线
与圆的两个交点的x坐标。
设这两个实根为x1和x2，则根据韦达定理，有x1+x2=−k2+12kb和x1×x2=k2+1b2−r2。
5.弦长公式可以通过计算两个交点之间的距离得到。
由于交点在
直线上，所以弦长L可以表示为L=1+k2×∣x1−x2∣。
6.将x1+x2和x1×x2代入弦长公式，得到L=1+k2×(x1+x2)2−4x1×x2。
7.进一步化简，得到L=1+k2×(−k2+12kb)2−4×k2+1b2−r2。
8.最终化简得到L=∣k2+1∣2r1+k2r2−b2。
这就是与圆相交的直线弦长公式。
其中，r是圆的半径，k是直线的斜率，b是直线的截距。
需要注意的是，这个公式只适用于直线与圆相交的情况，如果直线与圆相切或完全在圆内，则需要使用其他方法计算弦长。
高考数学复习点拨 例析圆中“弦长公式”的应用
例析圆中“弦长公式”的应用 当直线和圆相交时，得一个弦长（设为AB ），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径r ，弦心距d 构成直角三角形：222AB r d =-．在解答有关弦长问题时，若注意使用圆中这一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：一、 求公共弦长例1 已知圆2212610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长．解：如图1，设两圆的交点为1122()()A x y B x y ，，，，则A B ，两点的坐标是方程组2222261042110x y x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩，的解， 两个式子相减，得3460x y -+=．由于A B ，两点的坐标都满足此方程，故3460x y -+=为两圆的公共弦所在的直线方程．易知圆1C 的圆心为(13)-，，半径为3r =．又1C 到直线:3460AB x y -+=的距离为22134369534d -⨯-⨯+==+， 222292422355AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴． 二、 求直线的方程例2 (30)P ，为圆2282120x y x y +--+=内一点，求过P 点的最短的弦所在直线的方 程．解析：过点(30)P ，的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于AB 两点，若半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则根据圆的几何性质得到222AB r d =-，则根据圆的几何性质得到222AB r d =-，由于半径r 是定值，弦AB 最短时，应当是距离d 最大，只有当(30)P ，为弦AB中点时，才满足题意．由圆2282120x y x y +--+=变形，得22(4)(1)5x y -+-=，圆心为(41)M ，，10143PM k -==-，AB PM ⊥，1PM k =-． 故所求直线方程为30x y +-=． 例3 求过点(64)P -，且被圆2220x y +=截得的弦长为62的弦所在的直线方程． 解析：由题意易知，直线斜率k 存在且0k ≠，设过点(04)P -，的直线方程为4(6)y k x +=-，圆心(00)，到直线的距离2641k d k --=+，半径为25r =，由弦长公式222AB r d =-， 22264622(25)1k k ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭∴． 解得1k =-或717k =-． 故所求直线方程为20x y +-=或717260x y ++=． 三、 求圆的方程例4 已知圆的半径为10，圆心在直线2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为 42，求圆的方程．解析：根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且222AB r d =-，则22224(10)10822AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22， 又弦心距等于圆心到直线0x y -=的距离，设圆心坐标为()a b ，，22a b d -==∴．又知2b a =，故24a b ==，；或24a b =-=-，． ∴所求圆的方程为22(2)(4)10x y -+-=或22(2)(4)10x y +++=．。
弦长公式在相交两圆中的运用
弦长公式在相交两圆中的运用弦长公式是用于计算两圆相交部分的长度的公式，它在几何学中是一个重要的工具。
在真实生活和工程设计中，弦长公式有着广泛的应用。
弦长公式可以由两个圆的半径和它们之间的夹角来推导出来。
假设有两个圆，分别具有半径r1和r2，它们的圆心之间的夹角为θ。
那么，相交部分的弦长可以用下面的公式来计算：弦长= 2 × r × sin(θ/2)其中，r是两个圆的半径的平均值，即r=(r1+r2)/2接下来，我们将讨论弦长公式在不同场景中的运用。
1.圆的相交区域：弦长公式最常用的应用就是计算两个圆相交区域的弦长。
在建筑设计和城市规划中，我们经常需要计算两个圆相交区域的面积，弦长公式可以帮助我们快速得到这个结果。
2.齿轮设计：在机械工程中，弦长公式也被广泛地应用于齿轮的设计和制造。
齿轮是在机械装置中用于传递动力和转动的重要部件。
当两个齿轮齿条相互啮合时，它们的牙齿会相交，此时弦长公式可以用于计算齿轮之间的接触长度和接触变形。
3.船舶设计：在船舶设计中，弦长公式可以用于计算船舶的曲线形状和结构。
通过计算船舶不同部位的相交弦长，设计师可以确定船体的强度和刚性，从而确保船舶在各种条件下的安全性。
4.太阳能光伏板：太阳能光伏板是一种利用太阳能产生电能的装置。
当多个光伏板排列在一起时，它们之间会形成一些阴影和相交区域。
通过弦长公式，我们可以计算出光伏板之间的相交部分，从而预测光伏板整体的发电能力。
5.摄影测量：在摄影测量学中，弦长公式也是一种重要的测量工具。
通过计算摄影测量中相机和控制点之间的弦长，我们可以精确地测量出地面上物体的形状和尺寸。
总结起来，弦长公式在不同领域都有广泛的应用，它可以用于计算两个圆相交区域的弦长以及许多其他相关问题。
随着科学技术的发展，弦长公式将继续为各个领域提供更多的应用和解决方案。
例析圆中“弦长公式”的应用
例析圆中“弦长公式”的应用圆中的弦长公式是一种用于计算圆的弦长的公式。
弦是两个圆弧之间的线段，而弦长是弦的长度。
圆的弦长公式可以用于解决许多与圆有关的问题，包括几何问题和实际应用问题。
首先，我们来看一个最基本的例子。
假设有一个半径为r的圆，其圆心角为θ（弧度制）。
要计算这个圆的弦长。
根据圆中的弦长公式，我们有：弦长= 2 * r * sin(θ/2)这个公式可以通过将圆弧分成两个半弧，并画一条垂直于弦的半径来证明。
这条半径将弦分成两个等分，这两个等分与半弧对应的圆心角恰好是θ/2、所以，根据正弦定理，我们可以得到弦长等于2 * r *sin(θ/2)。
下面，我们通过几个实际应用问题来进一步说明圆中弦长公式的应用。
例题1：一个舞台的中央有一个半径为5米的圆形舞池，一个舞者从舞池边缘开始跳舞，跳了一个圆心角为π/4弧度的弦长。
求这段弦长的长度。
根据圆中弦长公式，这段弦长可以计算为：弦长= 2 * 5 * sin(π/8)弦长 = 10 * s in(π/8) ≈ 3.826米所以，这段弦长的长度约为3.826米。
例题2：一个圆形花坛的直径为10米，环绕着一个围墙。
围墙上有一个出入口，并在入口处设置了一条长度为8米的链条作为门。
这个门的角度是多少？我们可以使用圆中弦长公式来解决这个问题。
首先，我们计算这个门所对应的圆心角的弦长。
据题意，弦长为8米，圆的半径为5米（直径的一半）。
8 = 2 * 5 * sin(θ/2)4/5 = sin(θ/2)根据三角函数表，我们可以找到一个角度为θ/2的角的正弦值等于4/5、所以，θ/2约等于53.13度。
因此，门的角度约为106.26度（2*53.13），或约为1.853弧度（2π*106.26/360）。
例题3：一个机器人在一个半径为3米的圆形跑道上运动。
机器人以速度为2米/秒的恒定速度沿着边缘行进。
机器人绕圆形跑道行驶了π/2弧度的弧长后，经历了多少时间？我们可以使用圆中弦长公式和速度公式来解决这个问题。
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
两圆公共弦长公式
两圆公共弦长公式两圆公共弦长公式是用来计算两个相交圆的公共弦长的公式。
在几何学中，一个弦是一条连接圆上两点的线段。
当两个圆相交时，它们会有一个或多个公共弦。
这些公共弦是连接两个圆上相对的点的线段。
通过计算这些公共弦的长度，可以得出两个圆相交的程度。
公共弦长公式的推导涉及一些几何关系和性质。
我们从一个简单的特例开始，即两个半径相等的圆的相交情况。
设这两个圆的半径为r，它们的圆心之间的距离为d。
当两个圆相交时，它们的圆心与弦之间形成一个正三角形。
这个三角形的底边就是两个圆的公共弦，其长度可以用勾股定理计算。
根据勾股定理，正三角形的两腰长相等，即弦的长度为$\sqrt{r^2-(\frac{d}{2})^2}$。
因此，当两个半径相等的圆相交时，它们的公共弦长为$2\sqrt{r^2-(\frac{d}{2})^2}$。
对于两个半径不相等的圆相交的情况，推导过程稍微复杂一些。
我们设其中一个圆的半径为r1，另一个圆的半径为r2，它们的圆心之间的距离为d。
我们可以通过继续使用勾股定理来计算公共弦的长度。
首先，我们将两个圆的圆心连线延长，使得它们相交于一点，构成一个正三角形，其中一个角为90°。
然后，我们可以将相交的两个圆切割成两个扇形，再继续将扇形分成两个三角形。
这样，我们就得到了一个由两个三角形和一个正三角形组成的复合图形。
我们可以用几何关系和性质来计算这个复合图形的面积。
首先，我们计算出这个复合图形的总面积。
总面积等于两个扇形的面积之和加上两个三角形的面积。
扇形的面积可以通过半径和圆心角来计算，而三角形的面积可以通过两条边的长度和它们之间的夹角来计算。
然后，我们将总面积除以一个圆的半径，得到复合图形的长度。
这个长度就是两个圆的公共弦的长度。
因此，当两个半径不相等的圆相交时，它们的公共弦长为$\frac{2}{r1}\sqrt{r1^2-(\frac{d^2-r2^2+r1^2}{2d})^2}+\frac{2}{r2}\sqrt{r2^2-(\frac{d^2-r2^2+r1^2}{2d})^2}$。
圆外一点引两条切线交得弦长公式
圆外一点引两条切线交得弦长公式是圆的基本性质之一，在数学中有着广泛的应用。
下面将从几何关系、证明和应用三个方面来详细介绍这个公式。
一、几何关系1. 圆外一点引两条切线的几何关系在平面几何中，当一条直线与圆相交时，有以下几种情况：1）直线与圆相交于两点，这时称直线为割线；2）直线与圆相切，这时称直线为切线；3）直线与圆不相交也不相切，这时称直线为圆外直线。
当圆外一点引两条切线的情况时，这两条切线的交点即为该圆外一点到圆的两个切点。
2. 弦长的定义在圆的几何关系中，弦是两个圆上的两点之间的直线段，圆外一点引两条切线交得的弦即为这两个切点之间的弦长。
二、证明圆外一点引两条切线交得弦长公式的证明可以通过几何分析和运用几何关系来完成。
这里给出一个简单的证明过程：假设圆的半径为r，圆心为O，圆外点为A，切点分别为B、C，连接AB、AC两条线段。
根据切线与半径的垂直关系可得△OAB与△OAC为直角三角形，根据勾股定理可得AB^2 = AO^2 - OB^2AC^2 = AO^2 - OC^2将以上两个等式相减可得AB^2 - AC^2 = OB^2 - OC^2由于OB=OC=r，代入上式可得AB^2 - AC^2 = r^2 - r^2 = 0即AB=AC，所以弦长AB=AC。
三、应用圆外一点引两条切线交得弦长公式在数学和物理领域中有着广泛的应用，下面分别从几何学和工程领域来具体介绍其应用。
1. 几何学应用圆外一点引两条切线交得弦长公式可以用来解决圆的内切、外切问题，求解弦长等几何问题。
在解决相关几何问题时，可以通过建立方程，并利用弦长公式进行求解。
2. 工程应用在工程领域中，圆外一点引两条切线交得弦长公式可以应用于工程测量、机械设计等领域。
在建筑工程中，通过利用圆外一点引两条切线的弦长公式可以计算出两个圆的切线距离，来确定建筑物的布局和位置；在机械设计中，可以利用弦长公式计算两个切点的位置，从而确定机械零件的安装位置。
弦长公式在相交两圆中的运用
弦长公式在相交两圆中的运用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆04026,010102222=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。
（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。
下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。
一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。
对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。
推导：对于圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ）和圆的标准方程：222)()(R b y a x =-+-。
这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。
如果两圆222)()(r b y a x =-+-和222)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。
在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。
（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法如图1：设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中有222222,AC O A C O OC AO AC -'='-=,又O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=图1化简得:AB=2AC=[][]d r R d d r R 2222)()(---+ )(r R ≥ ① (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=）,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中，同理得： [][]d r d R R r d AB 2222)()(---+= ② 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦长公式在相交两圆中的运用
重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）
问题：求两圆04026,010102
2
2
2
=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。
（高二数学（上），人教版，P 88 24题）
对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。
下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。
一、弦长公式的推导 在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。
对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。
推导：
对于圆的一般方程：02
2
=++++F Ey Dx y x （其中042
2>-+F E D ）和圆的
标准方程：2
2
2
)()(R b y a x =-+-。
这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。
如果两圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-和2
2
2
)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。
在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。
（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法 如图1：
设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在
Rt △ACO
与
Rt △AC O '中有2
2
2
2
2
2
,AC
O A C O OC AO AC -'='-=,又
O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴
22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=
化简得:AB=2AC=
[][]
d
r R d d r R 2
222
)()
(---+ )(r R ≥ ①
(二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法
图1
如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心
距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=
）,则在Rt △
ACO 与Rt △AC O '中，同理得：
[][]
d r d R R r d AB 2
222
)(
)
(---+=
②
说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。
（三）两圆相交，如图一中的半径垂直时，公共 弦长AB 的求法（特殊情形）2
2
22R
r Rr O
O Rr
AB +='=
③
（四）利用向量法推证相交两圆的弦长公式
设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ，在△A O O '22)()(,,b b a a d R r -'+-'=
===，设向量
O A AO ',的夹角为θ，则由余弦定理得：d R r cos 2
22-+=
θ， 而θsin 易求。
根据三角形的面积公式可得：
=⋅θsin
=
= ④
类似地，借助图形可以推证另外的情形。
二、再谈求弦长
我们知道将问题中的两方程相减，可得过两交点的直线方程。
这时我们可以将问题转化为点到直线的距离，利用垂径定理可求出弦长的一半，从而求出整个弦长。
假设两圆相交时过两交点的直线方程为0=++l ny mx ，其中一个圆的方程为
222)()(R b y a x ='-+'-（或222)()(r b y a x =-+-），圆心到直线的距离为d ，则弦
AB=)2(22
2
2
2
d r d R --或，而2
2
2
2
(n
m l nb ma d n
m l b n a m d +++=
++'+'=
或） ⑤
对于上式的求法，实际上是直线与圆相交时弦长的求法，利用它来解题是比较简洁的。
三、弦长公式的应用
把问题中的两个圆的方程分别变为标准形式：50)5()5(2
2
=-+-y x 和
50)1()3(22=+++y x ，则半径25==r R ，10))1(5())3(5(22=--+--=d ，则
· O ),(b a
A
B
· O ' )
,(b a '' C
R r
公共弦长为[][]
10
10
10
)
10
)2
5
2
5
((
)
(
)
(2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
-
+
=
-
-
-
+
d
r
R
d
d
r
R
，读者
不妨可采取④或⑤式的做法做一个练习，比较一下各致的优劣，前者简洁明快，易记，思路清晰，后者对公式的记忆较高，繁杂冗长不易记住。
四、看法
（1）在教学中，特别是习题的教学中，应充分地挖掘教材的潜在功能，注重通性通法的讲解。
我们应该清醒的认识到课堂是学生获取知识的途径之一，而不是获取知识的唯一途径，应该把获取知识的方法授予给学生，再加上学生自己的创造，可以使其学习能力得到一定的提高。
（2）充分利用素材，适当拓展，引领学生去发现归纳，尝试创造，获取进取的动力。
对于这项工作，是具有一定难度的，特别是学生的知识结构比较单一，头脑中没有形成知识网络时，基本上很难实现。
可以在复习或章节末的小结中试行。
（3）注重新旧知识的联系，引导学生避开一些繁琐的运算，从而达到举一反三的目的。
在上述推导公共弦长公式的时候，主要是运用了初、高中的数学知识，使得问题的解答既简洁，又明快，从而也提高了学生的解题速度。
（注：此文已发表在《中学理科》综合第5期）。