对称法在解题中的妙用
杨柳依依 ; 今我来思， 雨雪 B.昔我往矣 ， 霏霏。( 思考) C.奉之弥繁， 侵之愈急。( 更加) D.蝉则千转不穷， 猿则百叫无绝。( 叫)
【 参考答案】 ①C(A"扰” 应为“ ， 尤”和处
在对称位置上的“ 一样， 怨” 都是“ 埋怨、 责备” 的意思。 同理，愚” “ 应为“ ， 作” 虞”和“ 一样， 都 是“ 欺编” 的意思; “ 应为“ ， 竭” 惮” 弹”和“ 一 样， 都是“ 的意思 ;B “ 应为“ ， 尽” 清” 青”和 “ 一样， 绿” 都是表颜色; “ 应为“ ， 摸” 抹”和 “ 一样 ， 涂” 都是“ 涂抹” 的意思 ; “ 应为 和” “ ， 合” 离” 合” “ 与“ 是反 义词。D “ 应为 栽” “ ， 年” 载”和“ 一样， 都是“ 的意思; “ 应 年” 纹” 为“ ， 饰” 文”和“ 一样， 都是“ 掩饰” 的意思。)
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叱 资瞬瞬，，，磷瞬碑舀君君‘‘ ‘舀瞬 炙 门月 冤务 ，瞬瞬资
中学 语文园 O பைடு நூலகம் 地2E S,L
就能够推断出这里的“ 也表被动。 见” 再如“ 映 阶碧草自 春色， 隔叶黄鹏空好音”这里“ ， 空” 的意思是“ 白白地”“ 与“ 处在对称的 ， 自” 空” 位置上，自” “ 当也是这个意思。 根据以上的规 律，用对称法可以选出下面句子中对加点字
解释错误的一项。
) A.忠不必用 贤不必以。(任用) 兮，
②B( 句子中与“ 处在对称位置上的 思”
是“ ， 矣”这里的“ 应该是和“ 一样， 思” 矣” 都是
语 气词 。)
(作者单位: 山东青州市第五中学) 浮 ?o-a o-VIL a 享享享享争，孚-o 护一 > > a -o-> so-d :v } -v"a > a -_ v_d o--o _ ao-a ‘ 享享享，护一 -v-d -v-a -d 1 ir-o --o-ao-}， ‘ 哟 % 补白 ， ‘ ， ‘ ， 地球是一只泪眼 呱 ， 呱 ， 朱增泉 ‘ ， 呱 ， 地球是一只泪眼吗? ‘ ， ‘ 为什么每一个大陆的周围 ， ‘ ， 呱 全都是汪洋的大海? ， ‘ ， 峨— 地球满腹忧烦 肠 ， 呱 她睁圆了望不断天涯的泪眼 ， ‘ ， 这 呱 何时能哭干， 么多苦涩的海水? ， 含
考
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园
地
“ 对称法” 衣奸题 牢的梦 用
口闰会才
古人行文， 一句之中词语往往两两对称， 上下几个文句中又多作对偶并列。那些处在
相同地位的词， 它们一般同义或同类， 或同类
反义。 根据古人的这一行文特点进行解题， 不 妨叫做“ 对称法” 。 利用对称法可以判断词语中是否有错别 字。如“ 山清水秀”“ 与“ 相对，清秀” ，清” 秀” “ 为一词语。这里的“ 如果写作了表颜色的 清” “ ， 青”我们知道没有“ 青秀” 这一词语， 由此可 以判断写作“ 是错误的。 青” 再如“ 惹是生非” ， “ 与“ 相对，是非” 是” 非” “ 为一词语。这里的 “ 如果写作了事情的“ ， 是” 事”自然也就错了。 根据以上的规律，用对称法可选出下列词语 中没有错别字的一组。
O OA.怨天扰人 尔愚我作
惮精竭虑 奴颜碑膝 B.清山绿水 涂脂摸粉 貌和神离 经文纬武 c， 以柔克刚 聚精会神 提心吊胆 计 日程功 D.前据后恭 千年万栽 天诛地灭 纹过饰非 利用对称法可以判断文言语句中相关词 语的意思。如“ 信而见疑， 忠而被谤”我们知 ， 道了“ 与“ 处在对称的位置上， 见” 被” 自然也
高考提分秘籍对称思想在物理解题中的应用-word文档
2019年高考提分秘籍对称思想在物理解题中的应用对称方法是速解高考命题的一种有效手段，是考生掌握的难点.1.（★★★★）惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计.加速度计构造原理的示意图如图27-1所示：沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数均为k 的弹簧相连；两弹簧的另一端与固定壁相连.滑块原来静止，弹簧处于自然长度.滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制系统进行制导.设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离0点的距离为s ，则这段时间内导弹的加速度A.方向向左，大小为ks /mB.方向向右，大小为ks /m C.方向向左，大小为2ks /m D.方向向右，大小为2 ks /m2.（★★★★★）如图27-2，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r ０.在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B .在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为m 、带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S 点出发，初速为零.如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应是多少?(不计重力，整个装置在真空中.) ●案例探究［例1］（★★★★★）（时间对称）一人在离地H 高度处，以相同的速率v 0同时抛出两小球A 和B ，A 被竖直上抛，B 被竖直下抛，两球落地时间差为Δt s ，求速率v 0.命题意图：考查综合分析灵活处理问题的能力.B 级要求.错解分析：考生陷于对两运动过程的分析，试图寻找两过程中速度、时间的关联关系，比较求解，而不能从宏观总体上据竖直上抛时间的对称性上切入求解.解题方法与技巧：对于A 的运动，当其上抛后再落回抛出点时，由于速度对称，向下的速度仍为v 0，所以A 球在抛出点以下的运动和B 球完全相同，落地时间亦相同，因此，Δt 就是A 球在抛出点以上的运动时间，根据时间对称，Δt =g v 02，所以v 0=2t g . ［例2］（★★★★★）（镜物对称）如图27-3所示，设有两面垂直于地面的光滑墙A 和B ，两墙水平距离为1.0 m ，从距地面高19.6 m 处的一点C 以初速度为5.0 m/s ，沿水平方向投出一小球，设球与墙的碰撞为弹性碰撞，求小球落地点距墙A 的水平距离.球落地前与墙壁碰撞了几次？（忽略空气阻力） 命题意图：考查考生综合分析、推理归纳的能力.B 级要求.错解分析：部分陷于逐段分析求解的泥潭，而不能依对称性将整个过程等效为一个平抛的过程，依水平位移切入求解.解题方法与技巧：如图27-4所示，设小球与墙壁碰撞前的速度为v ，因为是弹性碰撞，图27-1 图27-2 图27-3所以在水平方向上的原速率弹回，即v ⊥′=v ⊥；又墙壁光滑，所以在竖直方向上速率不变，即v ‖′=v ‖，从而小球与墙壁碰撞前后的速度v 和v ′关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无墙壁时小球继续前进的轨迹关于墙壁对称，以后的碰撞亦然，因此，可将墙壁比作平面镜，把小球的运动转换为统一的平抛运动处理，由h =21gt 2和n =d t v 0可得碰撞次数n =d v 0g h 2 =15×8.96.192 次=10次. 由于n 刚好为偶数，故小球最后在A 墙脚，即落地点距离A 的水平距离为零.●锦囊妙计一、高考命题特点对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现，（例2019年全国卷25题，2019年全国卷15题、21题，2019年全国卷4题，8题，13题，2019年上海卷4题、8题、22题），从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力.既有利于高校选拔能力强素质高的优秀人才，又有利于中学教学对学生的学科素质和美学素质的培养.作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现.二、利用对称法解题的思路1.领会物理情景，选取研究对象.在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某一过程或某一状态.2.透析研究对象的属性、运动特点及规律.3.寻找研究对象的对称性特点.在已有经验的基础上通过直觉思维，或借助对称原理的启发进行联想类比，来分析挖掘研究对象在某些属性上的对称性特点.这是解题的关键环节.4.利用对称性特点，依物理规律，对题目求解.●歼灭难点训练1.（★★★★）如图27-5所示，质量为m 1的框架顶部悬挂着质量分别为m 2、m 3的两物体（m 2＞m 3）.物体开始处于静止状态，现剪断两物体间的连线取走m 3，当物体m 2向上运动到最高点时，弹簧对框架的作用力大小等于_______，框架对地面的压力等于______.2.（★★★★）用材料相同的金属棒，构成一个正四面体如图27-6所示，如果每根金属棒的电阻为r ，求A 、B 两端的电阻R .图27-6 3.（★★★★）沿水平方向向一堵竖直光滑墙壁抛出一弹性小球，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点离墙壁的水平距离为2s ，如图27-7所示，求小球抛出时的初速度.4.（★★★★★）如图27-8所示，半径为r 的圆环，其上带有均匀分布的正电荷，单位长度的电荷为q ，现截去圆环面部的一小段圆弧AB ， =L （L ＜r ），求剩余部分在圆心O 处的场强.5.（★★★★★）如图27-9所示在一个半径为R 的绝缘橡皮圆筒中有一AB图27-4图27-5 图27-7图27-8个沿轴向的磁感应强度为B 的匀强磁场.一个质量为m ，带电量为q 的带负电的粒子，在很小的缺口A 处垂直磁场沿半径方向射入，带电粒子与圆筒碰撞时无动能损失.要使带电粒子在里面绕行一周后，恰从A 处飞出.问入射的初速度的大小应满足什么条件？（重力不计）6.（★★★★★）如图27-10所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E ，在圆周平面内，将一带正电q 的小球从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时小球的动量最大.已知∠cab =30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与直线ac 间的夹角θ？ （2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰能落在c点，则初动能为多少？对称思想在物理解题中的应用［难点磁场］ 1.D2.设粒子射入磁场区的速度为v ，根据能量守恒，有21mv ２＝ｑＵ ① 设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：ｑBv =m Rv 2② 由对称性可知，要回到S 点，粒子从a 到ｄ必经过43圆周.所以半径R 必定等于筒的外半径r ０，即R =r ０ ③由以上各式解得：U =mB qr 220 ［歼灭难点训练］1.(m 2-m 3) g ;(m 1+m 2-m 3) g2.由于C 、D 两点为对称点，因此这两点为等势点，即C 、D 间无电流通过，所以可将C 、D 断开，其等效电路如图27′-1所示，显然R =2r ，C 、D 两点为等电势点，当然也可将等势点重合在一起，其等效电路如图27′-2所示，很显然，R =2r . 3.如图27′-3因小球与墙壁发生弹性碰撞，故小球在垂直于墙壁的方向上以速率v 0弹回，故碰撞前后，小球在垂直于墙壁方向上的速率为v ⊥=v ⊥′=v 0.在平行墙壁的方向上，因墙壁光滑，碰撞前、后的速率不变，即v ∥=v ∥′从而使小球与墙壁碰撞前、后的速率对墙壁对称，即∠β=∠α，碰撞后小球的运动轨迹与无墙阻挡时小球继续前进的轨迹对称，如图27′-3所示，所以小球的运动可以转换成图27-10图27′-1 图27′-2 图27′-3平抛运动处理.根据h =21gt 2得 t =gh 2，因为抛出点到B ′的距离为3 s 所以3s =v 0t v 0=t s 3 =3s h g 2=h s 23gh 24.圆环缺顶后，失去对称性.已不能直接使用点电荷的场强公式求解.设想将缺失的带电圆环再补上，根据对称性，圆心O 处的场强应当为零，即缺口圆在O 处的场强与截弧AB 在O 处的场强等值反向.因截弧AB 可等效为一点电荷，其在O 处的场强太小：E =k 2r qL ，方向向下.5.带电粒子在筒内碰一次从A 处飞出是不可能的，因为带电粒子在磁场内不可能是直线运动的.如果带电粒子在圆筒内碰撞两次可以从A 处飞出，譬如在B 点、C 点处两次再从A 点飞出.如图27′-4所示，由于带电粒子轨迹弧AB 是对称的，当带电粒子在A 点的速度是半径方向，则在B 点的速度方向也是沿半径方向，同样在C 点速度方向也是沿半径方向，最后从A 点出来时的速度也沿半径方向出来.设∠AOC =2θ，则2θ=32π，θ=31π 又轨迹半径r =R tan θ,由于qv 0B =m rv 20 ∴v 0=m Bqr =mBqR θtan =m BqR 3 碰撞次数只要大于两次，均有可能从A 处飞出，故v 0的一般解为：θ=1+n π v 0=m BqR tan 1+n π (其中n =2,3,4……) 6.（1）用对称性直接判断电场方向：由题设条件，在圆周平面内，从 a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同点，且以经c 点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面，又据动能定理，电场力对到达c 点的小球做功最多，为W ac =qU ac .因此，U ac 最大.即c 点的电势比圆周上的任何一点都低.又因为圆周平面处在匀强电场中，故连Oc ，圆周上各点电势关于Oc 对称（或作过c 点且与圆周相切的线cf ,cf 是等势线），Oc 方向即为电场方向（如图27′-5所示），其与直径ac 夹角为θ=∠acO =∠cab =30°.（2）小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿ab 方向抛出，设其初速度为v 0，小球质量为m .在垂直电场方向，有ad =v 0t , ①在沿着电场线方向有图27′-4 图27′-5cd =21at 2=21 mqE t 2, ② 由几何关系可得ac =2R co s θ=3R , ③ ad =ac ·sin θ=23R , ④ cd =ac ·cos θ=23R , ⑤ 将③④⑤式代入①②两式并解得v 0=21m qER.所以E k0=21mv 02=21qER .。
对称思维在解题中的妙用_安振平
⎨ ⎩ ⎪ ⎪ 32中学数学研究 2015 年第3 期（上）对称思维在解题中的妙用陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 （712000 ） 安振平陕西省汉中市镇巴县盐场中学 （723606） 刘再平著名数学教育家G.波利亚曾指出：“从一般意义上讲，对称对我们的论题（探索怎样解题）是很重要的. 我们要尝试对称地处理对称的东西，而不要随便破坏自然的对称性.然而， 有时我们不得不用非对称方式处理自然对称的东西.”如果在解题过程中，有意识的发现对称性，并恰当地运用对称，就能回避一些繁杂的运算，提高解题的效率，获得优美的解题方案.此文，立意于此，并选择了一些有一定难度的问题为素材,深层探究对称思维在各类问题中的妙用.1、平面几何问题例 1（第 36 届 IMO 试题）设 点评：直接移项、开方后，虽然无理方程转化为了有理方程，但方程的次数会上升到4 次，解答会变得很复杂，利用对称思想，考虑到互为反函数的两函数图像的对称性，方程便迎刃而解.例3 解关于 x 、y 、z 的方程组： ⎧x + ay + a 2 z = a 3 ⎪x + by + b 2 z = b 3（a 、b 、c 为互不相等的实数） ⎪x + cy + c 2 z = c 3讲解：由题意知 a 、b 、c 是关于 t 的一元三次方程 t 3 - zt 2 - yt - x = 0 的所有不相等的实根 ，根 据韦达定理 ABCDEF 是 凸 六 边 形 ，满 足 ⎧a + b + c = z ⎧x = abc AB = BC = CD , DE = EF = FA , ⎪⎨a b + bc + c a = -y ，解得 ⎪⎨y = -a b - bc - c a . ∠BCD = ∠EFA = 60° . 设 G 和 H 是这 ⎩abc = x ⎩z = a + b + c 六 边 形 内 部 的 两 点 ，使 得∠AGB = ∠DHE = 120° .试证:AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF .讲解：如右图，先作出满足题意的几何图形，在根据图形的对称性，以 BE 为对称轴作一对对称图形得六边形AC ' B D F ' E ，即 C 'F ' = C F ，∠AC ' B = ∠B CD = 60°, ∠EF ' D = ∠AFE = 60°°''点评：若按照通法依次消元解方程，无疑计算量会非常 大，注意到条件所给的方程组中，a 、b 、c 的对称地位，用对称思维求解则非常的简洁.3、集合问题例4 已知集合 S ={1,2,3,4,5} ，求S 的所有非空子集中的元素之和.讲 解 ： 在 S 的 所 有 非 空 子 集 中 ， 含 1 的 集 合 有 C 0 + C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = 16 个，由对称性，1,2,3,4,5 这五个元素因为 ∠AGB = ∠DHE = 120 ，所以 A ,C ,B ,G 及 E ,H ,D ,F 44444都 四 点 共 圆 ，连 结 C 'G ,F ' H ，由 旋 转 知 C 'G = AG + GB , F ' H = DH + HE将上述两式相加得 AG + GB + DH + HE = C 'G + F ' H 所以 AG + GB + GH + DH + HE = C 'G + GH + F ' H ≥ C 'F ' = CF 故 AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF 得证.点评：平面图形是我们学习数学最先接触与认识对称性的桥梁，谈及对称思维解题，则首先就可以解决一些平面几何问题，例1 正是这样的一个好案例，其难度就在与没有直接运用图形的对称性，而是利用对称图形的性质构造对称图 在集合S 中的地位相同，机会均等，则含2,3,4,5 的非空子集数 分别也有16 个，所以集合S 的所有非空子集中的元素之和为 16 × （1 + 2 + 3 + 4 + 5） = 240 .点评：集合S 共有 25 - 1 个非空子集，并且每个集合中的元素个数也不尽相同，这里不必要一一罗列去求和，运用对称思维解决，不但减少了计算量，而且简化了解答过称，恰到好处.4、三角问题例5 (第5 届IMO 试题)试证：cos π - cos 2π + cos 3π = 1 . 形.7 7 7 22、方程问题讲解：设 A = cos π - cos 2π + cos 3π ，对称地构造其互余 7 7 7 例2 求方程的实根：配偶式 B = sin π - sin 2π + sin 3π2 1 2 1 1 7 7 7 x + 2ax + 16 = -a + a + x - 16 ,(0 < a < 4) .所以 A 2+ B 2 = 3 - 4 cos π + 2 cos 2π7 7讲 解 ：考 虑 到 方 程 两 边 的 结 构 ，引 入 函 数A 2 -B 2 = -cos π + 3 cos 2π - 5 cos 3πy = x 2 + 2ax + 1 与y = -a + ，两函数互为反函数，7 7 716 由对称思维，两者的图像关于 y = x 对称，所以要解原方程，将 上 述 两 式 相 加 整 理 得 2A 2 + 5A - 3 = 0 ， 解 得A = 1 ,A = -3 (舍去) 12 2 只需解方程 x 2 + 2ax + 1 = x ，即 x = 1 - a + , 故cos π- cos 2π + cos 3π = 1 得证.16 27 7 7 2x = 1 - a - ( 1 - a )2 - 1 .点评：由对称思维构造配偶式的方法可称为“互余配22 2 161a 2 + x - 1 16( 1 - a )2 - 1 2 16，， 22015 年第 3 期（上）中学数学研究33对”，即将 A = f (x ,y ,z ,···) 式配以 B = f ( π - x , π - y , π - z ,···)(2 + x )2n + 1 整数次幂项系数之和的 2 倍，所以 (2 + x )2n + 1 展 2 2 2式，此法在三角求值与化简问题中很有运用空间.开式中 x 的整数次幂系数之和为 1 f (1) = 1 (32n + 1 + 1) .2 2cos 4αsin 4αcos 4 βsin 4 β点评：依据对称思想，构造对称共轭根式 (2 - x )2n + 1 ，从例6 已知cos 2 β +sin 2 β = 1 ，求证： 2 α + 2 = 1 .cos sin α而引入函数，无疑是上述解法的关键,不但思路清晰，而且过 讲解：注意到条件与结论之间在结构上的对称性：c o s 2α 与c o s 2 β 对换，s i n 2 α 与s i n 2 β 对换，受这种对称思维的启发，可以猜想c o s 2 α = c o s 2 β ，s i n 2 α = s i n 2 β . 为了便于计算，不妨 程简单.7、排列组合问题例10、5 名男生和3 名女生站成一排，女生A 要站在男生 令 x = sin 2 α,y = sin 2 β,x ,y ∈(0,1) ，则条件变为化简得(x - y )2 = 0 ，即 x = y(1 - x )21 - y + x = 1 ， yB 的左边（可以不相邻），有多少种不同的排法.讲解：由对称性，“女生A 要站在男生B 的左边”与“女生 A 要站在男生B 的右边”是等可能事件，所以两者的排法一样(1 - x )2 x 2(1 - y )2 y 2A 8把1 - y + y = 1 中的 x 与y 互换得 1 - x + x= 1 ，即 cos 4 β sin 4 βcos 2 α + sin 2 α = 1 得证.点评：此题也可以通过构造圆或利用二元均值不等式证明，但均没有上述利用对称思维的证明过程漂亮，体现了数 多，故女生A 要站在男生B 左边的排法共有 8 种.2点评：此题运用相对简单的对称性原理，使看似繁琐的排列组合问题变得简单、明了.8、圆锥曲线问题2 例11 已知椭圆 x 2 + y= 1 (a>b>0)，A 、B 是椭圆上的两学的奇异美.5、函数问题a 2b 2点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P (x 0，0)．求证： 例7 (第27 届加拿大奥林匹克试题)设 f (x ) = 9x9x + 3，计算- a 2 - b 2< x < a 0a 2 -b 2．a f ( 1 ) + f ( 2 ) + ∙∙∙ + f (1995 ) 的值. 讲解：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．因为线段AB 1996 1996 1996的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴，即x ≠x ．又讲解：若直接代入计算，无疑难度很大. 考虑到对称性9 12交点为P (x 0，0)，由对称性知|PA|=|PB|，即 9x 91 - x 9x 9x9x3(x 1－x 0)2+ y 2 =(x 2－x 0)2+ y 2 ① f (x ) + f (1 - x ) = 9x + 3 + 91 - x + 3 = 9x + 3 + = 9 + 3 9x + 3 + 9x + 3 = 1 1 22 2 b 2 2 2 2 b 2 29x 由A 、B 在椭圆上，即 y 1 = b - a 2 x 1 ，y 2 = b - a 2 x 2 ．代入 所以 f ( 1 ) + f ( 2 ) + ∙∙∙ + f (1995 ) = 1995 . ①得2x (x －x ) = x 2 - x2 a 2 - b 2 ，即 x = x 1 + x 2∙a 2 - b 2 . ②1996 1996 1996 20 21(21)0 2 a 2例8 已知 a ,b ,c ∈ R ，求因为-a ≤x ≤a ，-a ≤x ≤a ，且 x ≠x ，所以-2a<x +x <2a ，a b c ab bc ca abc 121212| a | + | b | + | c | + | a b | + | b c | + | c a | + | a bc | 的值.故- a 2 - b 2 < x < a 2- b 2. a 0a讲 解 ： 引 入 函 数 f (a ,b ,c ) = a + b + c +点评：由等式②产生目标不等式，就需要估计变量 x + x| a | | b | | c |1 2ab + bc + ca + abc | ab | | bc | | ca | | abc |，由对称思想知 f (a ,b ,c ) 是三元对称的范围，这容易想到椭圆上点坐标的有界性. 从等式构造不 等式，似为解题思维受阻的一个关口，值得琢磨和反思.式，a ,b ,c 的地位等同，所以只需探讨：a > b > c > 0（三正）； a > b > 0,c < 0（二正）；a > 0,b < c < 0（一正）；a < b < c < 0（三负），即得 f (a ,b ,c ) = 7或- 1 .点评：例7 充分考虑了“ f (x ) + f (1 - x ) = 1 ”的对称性，极大的减少了计算量，颇有一定的技巧性. 例8 中含变元较多，所求代数式结构复杂，所以引入函数 f (a ,b ,c ) ，在运用对称思维轻松将问题解决.其实，由于很多函数自身具备对称性（如： 偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点中心对称等），所以对称思想在函数问题中的运用比较基础与常见，因而此处另辟 9、立体几何问题例 12 如右图，P ,A ,B ,C 为球面上的四个点，若PA,PB,PC 两两垂直且 PA=3cm,PB=4cm,PC=6cm, 求 这个球的表面积.讲解：考虑到对称思想，过 A,B, C 作 PB,PC,PA 的平行线，即构成了长方体，根据球与长方体的对称性易知球的直径等于长方体的对角蹊径，给出了两个比较特殊的例子.6、二项式问题线，所以 2R = 面积 S = 4πR 2 = 61πcm 2 .= 61 cm,即 R = 61cm ，故球的表 2例9 求(2 + x )2n + 1 展开式中 x 的整数次幂系数之和. 讲解：根据共轭根式的对称性，考虑到 (2 - x )2n + 1的特征，引入函数 f (x ) =(2 + x )2n + 1 +(2 - x )2n + 1 ，由二项式定理系数性质，f (x ) 展开式中 x 的整数次幂项系数之和等于 点评：补全长方体，运用长方体与球体的对称性求得球的半径是解决此题的关键点.立体几何中的割补法基本就是将不规则的割补成规则的，将不对称的割补成对称的. 10、不等式问题32 + 42 + 62 a 2+ + 3 3 3 3 38 34中学数学研究 2015 年第3 期（上）例13（W.Janoux 猜想）已知 x ,y ,z ∈ R + ，试证：求导得 h '(x ) = -ln x ，令 h '(x ) ≥ 0 ，解 得 0 < x ≤ 1 ，令z 2 - y 2x 2 - z 2 y 2 - x 2x 2≥ 0 . 'x + y y + z z + xh (x ) < 0 ，解得 x > 1 .讲解：著名的W.Janoux 猜想最初刊登在加拿大《数学难题》杂志上，运用对称思维，构造对偶式: 从而知，函数 h (x ) 的在 (0,1] 上单调递增，在 (1,+∞) 上单 调递减.z 2 - y 2A = x + y+ B = x 2 - z 2 + x + y x 2 - z 2 + y + z y 2 - x 2y + z + y 2 - x 2 z + x ， z 2 - y 2 z + x 则 A + B = 0 于是 h (x )max = h (1) = 1 ，故有 m ≥ 1 . 因为 m ∈ Z ,m ≤ 1 , 所以 m = 1 . 点评：把不等式 m [g (x ) - g (x )] > x f (x ) - xf (x ) 变形为 1 2 1 1 2 2z 2 - y 2 z 2 - y 2 x 2 - z 2 x 2 - z 2 y 2 - x 2 y 2 - x 2mg (x ) - x f (x ) > mg (x ) - x f (x ) ，使得 x 仅出现在不等式左A -B =( x + y- z + x ) +( y + z - x + y ) +( z + x - y + z ) 1 1 1 2 2 2 1 (z + y )(z - y )2 (x + z )(x - z )2 (x + z )(x - z )2 (y + x )(y - x )2= (x + y )(z + x ) + (y + z )(x + y ) + (y + z )(x + y ) + (z + x )(y + z ) ≥ 0上述两式相加得 2A ≥ 0, 即 A ≥ 0 ，故原不等式得证.例 14（第 42 届 IMO 试题）对所有正实数 a ,b ,c ，求证： a+ b + c≥ 1 . 边，而 x 2 仅出现在不等式右边，这体现变量分离的思想方法，呈现出不等式左右两边形式一样的对称关系式，便用转化为函数模型去解决问题.12、综合性问题例16 设函数f (x ) = 2x - c o s x . {a n } 是公差为 π 的等差数 列，f (a ) + f (a ) + ⋯ + f (a ) = 5π ，求 [ f (a )]2- a a 的值.1 2 5 3 1 5a 2 讲解：由题 f (a ) + f (a ) + ⋯ + f (a ) = 5π ，f (x ) = 2x - cos x ，讲解 ：由 均值不等式 + ，1253 所 以 2(a + a + a + a + a )1 2 3 4 5b 2c 2 -(c o s a + c o s a + c o s a + c o s a + c o s a ) = 5π ，， + ≥123453 3 由于对称性知 a + a = a + a = 2a ，1 52 4 3令 M = a +b +c a = a - π,a = a - π,a = a + π,a = a + π ，13 4 2 3 8 4 3 8 5 3 4所 以 10a -[c o s (a - π) + c o s (a - π) + c o s a + c o s (a + π)构造对偶式 N 4 8 82 2 2+c o s (a + π)] = 5π ，即 10a -[2 c o s π + 2 c o s π + 1]c o s a = 5π 所 以 M + N ≥ 3 + 3 + 3 = 2 ①4 4 89a 2 -(a 2 + 8bc ) 9b 2 -(b 2 + 8c a ) 9c 2 -(c 2+ 8a b )构造函数 g (x ) = 10x -(2 c o s π + 2 c o s π + 1)c o s x ，则 M - N 4 8g '(x ) = 10 +(2 c o s π + 2 c o s π + 1)s i n x > 0 ，（ x ∈ R ）4 8令 t ,9,9所以，函数 y = g (x ) 在(-∞,+∞) 上是增函数.) π π即 M - N ≥t≥ 0 ②显然 g ( 2 ) = 5π ，所以 a 3 = 2.①+②得 M ≥ 1 ，故原不等式得证.点评：两道不等式问题都运用了对称思维构造对偶式证 明，此法对于很多具有对称美的轮换不等式的证明都比较适用.于 是 a = a - π = π,a = a + π = 3π. 而 f (a ) = π13 4 4 5 3 4 4 3故有[ f (a )]2- a a = π2 - 3 π2 = 13 π2.3 1 516 1611、恒成立问题例 15 已知函数 f (x ) = ln x ,g (x ) = 1 x 2 ，若 x > x > 0 ，试点评：此题是一道函数与数列的综合问题，由等差数列 的前后对称两项的和或等比数列这些对称项的积都相等，所21 2问 ： m （ m ∈ Z ,m ≤ 1 ） 取 何 值 时 ， 总 有 m [g (x ) - g (x )] > x f (x ) - x f (x ) 恒成立.以该题先用对称思维，在构造单调函数，以解决对应的超越 方程. 事实上 ，由 10a -[2 c o s π + 2 c o s π + 1]c o s a = 5π ，而1211224 8讲解：将不等式 m [g (x 1) - g (x 2)] > x 1 f (x 1) - x 2 f (x 2) 转化为 [2 cos π + 2 cos π + 1]cos a4 8 3中 没 有 π ， 只 能 有mg (x 1) - x 1 f (x 1) > mg (x 2) - x 2 f (x 2) ，观察上述不等式左右结构的对称性，我们容易想到： 构造辅助函数 g (x ) = mg (x ) - xf (x ) = m x 2 - x ln x ,x > 0 ，由2题设 x 1 > x 2 > 0 ，所以 ，当 x > 0 时 ，函 数 g (x ) 严格单调递增 ，即 有 g '(x ) = mx - ln x - 1 ≥ 0 恒成立，得 m ≥ ln x + 1 恒成立，即 m ≥( ln x + 1) .x x max再次引入辅助函数 h (x ) = ln x + 1,(x > 0) . x[2 cos π + 2 cos π + 1]cos a = 0 ，可以推理得 a = π. 4 8 3 3 2这正如单墫教授所说的：如何从已知走向未知，而将题目中的“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步.对称是最能给人以美感的一种形式，发现对称性、利用对称思想去有意识的分析问题和解决问题，当成为我们学会解答很多有趣数学题的有效思维方式. 从代数式、方程、函数、数列，图形的对称结构，命题或结构的对偶、对应、对逆等出发，揭示对称性，利用对称思维发现优美解.33 333。
对称性在初中数学中的运用
对称性在初中数学中的运用“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。
在“对称”中往往体现出数学的“美”来。
对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。
这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。
这类问题一般有两类：一类是根据条件中的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。
在初中数学中，图形的运动的基本形式有三种：（1）平移（包括点的移动）；（2）图形的翻折；（3）图形的旋转。
无论哪种运动都有一个极为重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。
下面通过几个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。
一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。
120，BD平分∠ABC，且与AC相交于点例1、如图1：∆ABC中，AB=AC,∠BAC=0D 。
求：AD:DC 的值；（图1）分析：读完题目，要抓住BD 平分∠BAC 的条件，将∆ABD 翻折过来，点A落在BC 边的点1A 处（如图2），这样AD 与1A D 重合，则AD=1A D ，问题就归纳为在∆1A DC 中求1A D ：DC 的问题。
1A 1 解法一：如图2在BC 边上截取一点1A ，使B 1A =BA ，∵BD 平分∠BAC ，即∠ABD=∠DB 1A ，且BD=BD∴∆ABD ≌∆1A BD∴AD=1A D ，∠B 1A D=∠BAC=0120∴∠D 1A C=-0180∠B 1A D=060，又∵AB=AC∴∠C=∠B= 030,则∠1A DC= 090在Rt ∆1A DC 中：1A D ：DC=tgC=tg 030=33, ∴AD:DC=33同解法一，∠BAC=0120，∠C=∠B= 030得到∠FAD=060，在Rt ∆DEC 中 DE=DCsinC=DCsin 030=21DC ， 在Rt ∆DAF 中 DF=ADsin ∠FAD=ADsin 060=23AD ∴21DC=23AD, ∴AD:DC=33 [说明]无论是解法一中作辅助线的作用在于把∆ABD 翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。
对称性在中学数学解题中的应用_1933
【对称性在中学数学解题中的应用】摘要：在数学解题方面，充分发掘和利用题目中的对称性，可大大简化解题过程，收到事半功倍之效果，同时有助于培养学生探索问题和解决问题的能力。
关键词：对称性；数学；解题；应用在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、镜面对称等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称，还有与时空无关的更为复杂的对称。
对称性是数学美的主要表现形式之一，在数学解题方面，充分发掘和利用题目中的对称性，可大大简化解题过程，达到事半功倍之效果，同时有助于培养学生探索问题和解决问题的能力。
一、基本含义对称性的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义下的几何对称和代数对称；从广义上讲，还包括对偶、匀称等方面的内容。
本文应用的是狭义上的对称性的含义。
二、应用举例1.对称性在几何方面的应用（1）对含对称轴的对称图形，可考虑以对称轴为翻折轴解题，可使难题不难，易题更易例1 如图1，设PQ为⊙O的一条弦，M为PQ的中点，过M任作弦AB，连结AD，BC分别交弦PQ于E，F.求证：ME=MF.分析：ME，MF是圆内两线段，不易直接证明它们相等。
考虑到圆关于过M 的直径对称，如果将弦AB关于这直径的对称弦A1B1作出，则将证明ME=MF的问题转化为证明圆周角∠A=∠MAF.证明：作弦AB关于过M的直径的对称弦A1B1，由圆的对称性知点Q，A1，B1分别为点P，A，B关于此直径的对称点。
于是AM=A1M，∠AME=∠A1MF，■Q=■1P.连A1C，A1F，有∠MAB■■（■B+■C）=■（■B1+■C）=■■1C■∠MA1C，于是M，A1，C，F四点共圆，从而∠MA1F=∠MCB=∠EAM.因此，△AME≌△A1MF。
故ME=MF.（2）对无轴对称图形可考虑以相关线为轴，使得分散的已知元素和未知元素得以集中而利于解题例2 如图2，AH是锐角△ABC的高，AB+BH=HC。
对称性在解题中的应用
对称性思想在解题中的妙用天津市滨海新区汉沽第一中学 （300480） 史玉林在自然界和自然科学中，和谐的对称之美普遍存在。
对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。
物理学中对称现象比比皆是，物理过程在时间和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性、作用效果的对称性、结构上的对称、作用上的对称等等往往使得某些复杂问题的处理得到简化。
从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直观思维能力。
利用对称性思想解题时有时能一眼看出答案，大大简化解题步骤。
一、对称性思想在运动学中的应用例1 在离地H 高度，以相同的速率v 0同时抛出两小球A 和B ，A 球竖直上抛，B 球竖直下抛，两球落地时间差为Δt ，求速率v 0。
（重力加速度g 已知）解析 对于A 球的运动，当其上抛后再落回抛出点时，由于速度对称，向下的速度大小仍为v 0，所以A 球在抛出点以下的运动和B 球完全相同，落地时间也相同，因此，Δt 就是A 球在抛出点以上的运动时间。
根据时间对称，02v t g∆=，故02g t v ∆=。
二、对称性思想在简谐运动中的应用例2 如图示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成的弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A 、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，C 为AO 的中点，已知OC=h ，振子的周期为T ，某时刻物体恰好经过C 点向上运动，则从此时刻开始的半个周期内（ ）Ａ.重力做功为2mgh B.重力的冲量为2mgT C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为零解析 由简谐运动的对称性可知，从C 点开始经过半个周期时间，物体运动到C 点关于平衡位置对称的位置，即到达O 点下方h 的D 点处，故重力做功W=2mgh ，故A 正确；重力是恒力，则重力的冲量大小为2mgT I Gt ==，故B 正确；物体的回复力是重力与弹簧弹力的合力，由于初、末速度大小相等，由动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，故C 正确；取向上方向为正，则由动量定理知回复力冲量为I=-mv-mv=-2mv≠0，故D 不正确。
对称方法在解题中的应用
对称方法在解题中的应用
对称方法是一种有效的解决问题的技术，被广泛应用于工程设计、科学计算和数学解题等领域，其历史可追溯至古代的几何学家们。
在现代的数学解题中，对称方法也有着重要的作用。
本文将重点讨论对称方法在解题中的应用。
首先，要介绍的是对称方法的基本概念。
对称方法是指在解决某一特定问题时，以其中一个点为中心，将整个解空间以某一种规则进行镜像分割，然后将整个解空间分成数个同等大小的几何形状，最后在每一个形状中找出解空间的解。
对称方法可有效提高求解效率，减少运算量，精确求解出更复杂的问题。
其次，让我们来了解对称方法在解题中的应用。
在解题过程中，使用对称方法可以有效提高解题的效率。
首先，要分析出整个解空间的中心，然后利用对称点将整个解空间分成几个几何形状，这样可以减少运算量，而且可以精确求解出更复杂的问题，因为每个形状中都包含有答案。
此外，使用对称方法也可以更加方便地解决多参数问题，而且可以更加准确地求解出复杂的问题。
最后，要介绍的是，对称方法在解题中的缺点及解决方法。
对称方法的主要缺点是，它可能会生成大量的重复计算，从而浪费时间。
为了解决这一问题，使用对称方法时，可以使用算法来去除重复计算，这样可以大大提高解题效率。
综上所述，对称方法是一种有效的解决问题的技术，它借助其解空间镜像分割的优势，可以大大提高解题效率，减少运算量，精确求
解出更复杂的问题。
但是，它也存在着一些缺点，例如可能产生大量的重复计算，从而浪费时间。
最后，要解决这一问题，可以使用算法来去除重复计算，这样可以大大提高解题效率。
对称式在解题中的妙用
的某些元素取倒数来构造对称式的方法． 例３ 已知对任意ｘ∈ （－ ∞，０）∪ （０，＋ ∞）
总 有ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ１）＋ｘ ＝０，求函数ｙ ＝ｆ（ｘ）的
解析式．
解析 因为
ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ１）＋ｘ ＝０
①
用１ ｘ
替 代 上 式 中 的ｘ，构 造 对 偶 式 ：
ｆ（ｘ１）＋２ｆ（ｘ）＋
１ ｘ
＝０
槡ｘ２ －８ｘ＋２１ ＝ａ，与原方程联立可解得：
槡ｘ２
＋８ｘ
＋２１
＝
１０＋ａ ２
①
槡ｘ２
－８ｘ
＋２１
＝
１０－ａ ２
②
①，② 两式平方后相加得：
２ｘ２
＋４２ ＝
１ ２
（１００＋ａ２）
③
①，② 两式平方后相减得：１６ｘ ＝１０ａ，即ａ ＝
８ｘ，代 ５
入
③
中
得
：２ｘ２
＋４２＝
１ ２
（１００＋６２４５ｘ２），整
＝
３ ４
．
点 评 ：这 是 一 道 比 较 典 型 的 三 角 求 值 题 ．通 过
对题目结 构 特 征 的 观 察，由 目 标 导 向，构 造 对 称
式 ，从 而 独 辟 蹊 径 ，出 奇 制 胜 ．
在 数 学 解 题 过 程 中 ，恰 当 地 构 造 对 称 关 系 式 ，
不仅能提高解题速度，而 且 能 收 到 以 简 驭 繁、简 缩
题得到巧妙的解决，收到 事 半 功 倍 的 效 果．下 面 通
过实例来谈谈构造对称式的几种途径． 一 、和 差 对 称
对于表 达 式 中 含 有 ｕ（ｘ）＋ｖ（ｘ）或 ｕ（ｘ）－ ｖ（ｘ），我们可构造 表 达 式ｕ（ｘ）－ｖ（ｘ）或ｕ（ｘ）＋ ｖ（ｘ）作 为 它 的 对 称 关 系 式 ，两 式 结 合 起 来 求 解 ．
例谈对称法在物理解题中的妙用
例谈对称法在物理解题中的妙用解具有对称性的问题，如果仍按照常规思维，运用一般的方法，则往往难以求解.若能恰当地运用对称法，则可以化难为易，顺利求解.例1：沿波的传播方向有距离小于1个波长的A、B两点，在t=0时刻，两点的速度相等，经过时间Δt=0.01s，两点首次变为加速度相等，已知波长为12m，求波速.分析：（1）由于A、B两点速度相等，则此时两点必然是关于处于平衡位置的质点C0对称，如图1或图1′所示.（2）当A、B两点变为加速度相等时，则此时两点必然是关于处于最大位移的质点C′对称，如图2或图2′所示.（3）综合初、末状态，可画出图3或图3′的波形，A0、B0、C0为A、B、C所对应的平衡位置，由以上对称性的分析，可知初状态（图中实线所示的波形）与末状态（图中虚线所示的波形）所经历的时间正是对称中心质点C由平衡位置运动到最大位移处所用的时间，即0.01s正是四分之一个周期.解：由以上分析可知T/4=0.01，则T=0.04s波速V=λ/T=（12/0.04）m/s=300m/s对称性是振动和波动的重要特性.本例应用了对称法使问题大为简化，此题若不从对称性入手分析，则很难求解.例2：有位牧童在回家之前，先要把牛牵到河边去饮水，然后再将牛牵回家中.如图4所示，已知家在位置B，距河岸边500m，牧童所在位置A与岸边相距200m，与家相距500m，试问牧童至少要走多少路程才能回到家中（准确到1m），怎么走用时最短？并在图中作出牧童所走过的最短路线.分析：这是一道关于路程、速度、时间三者之间关系的问题，只要求出行走最短路程，根据行走速度，可求出所需时间.如图4所示，假设牧童由A先到达河边的C1点，然后再回到家中，那么牧童走过的路程应为AC1+ C1B.我们以河岸边为对称轴，作出B点的对称点B′，由对称性可知C1B=C1B′.也就是说，牧童走过的路程相当于从A走到C1，再从C1走到B′所走的路程.至此，我们不难在图中画出最短行程路线：先把A与B′用直线相连，交岸边于C点（CB′用虚线相连），然后再将C与B用直线连接，如图4所示，牧童由A经C再到B，即为其所走路程最短的路线.在以上分析的基础上，我们利用勾股定理，不难求出牧童所走的最短路程为806m，即牧童至少要走806m的路程才能回到家中.如果牛的行走速度为2.5m/s，约需要5.4min就可到家.从以上两例可以看出，直观、便捷是对称法解题的突出特点，对具有对称性的问题，我们可以先尝试依据对称规律进行图解，巧妙转化，往往能化难为易，大大简化繁琐的计算过程。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
对称式的应用和证明
对称式的应用和证明对称式在数学领域中是非常重要的概念，其应用广泛，可以用来证明各种定理和解决各种问题。
在本文中，我们将深入探讨对称式的应用和证明。
一、对称式的定义对称式是指某个式子在变量交换的情况下不变，或者说该式子与其相关的图形具有对称性。
比如，a + b = b + a就是一个常见的对称式，它可以用来证明很多数学定理。
二、对称式的应用对称式在数学证明中经常被用到，它可以使证明变得简单而直观。
下面介绍一些对称式的应用：1. 证明等式成立当我们需要证明一个等式成立时，可以利用对称式将式子变形，使其更加易于观察和分析。
例如，当我们要证明三角形的中线相等时，可以利用对称式将中线的长度变为等式两侧的和，进而证明等式成立。
2. 简化计算对称式还可以用来简化计算。
当我们需要计算一个较为复杂的式子时，可以将其转化为对称式，这样就能够简化计算。
例如，当我们要计算(a+b)^2时，可以利用对称式将其化简为a^2 + 2ab + b^2，这样就能够更加快速地进行计算。
3. 证明定理对称式可以被用来证明各种数学定理。
例如，在证明反中心定理时，可以利用对称式将三角形的各个中心的关系转化为等式，进而说明反中心定理的成立。
三、对称式的证明对称式的证明通常分为两个步骤：将式子转化为对称形式，证明式子的对称性。
1. 将式子转化为对称形式在对称式的证明中，需要将式子转化为对称形式，这样才能够方便地观察和分析。
例如，当我们要证明a + b = b + a时，可以将式子转化为(a + b) - (b + a) = 0，这样就能够更好地分析其对称性。
2. 证明式子的对称性证明式子的对称性是对称式证明的关键。
如果一个式子具有对称性，则可以交换其中的变量并保持等式成立。
例如，在证明a + b = b + a的对称性时，需要证明两边的结果是相等的。
这一步可以利用基本的数学性质和运算法则进行证明。
四、对称式的拓展对称式不仅可以在数学领域中被广泛应用，在其他领域也有着重要的作用。