圆的一题多解

圆的一题多解

【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）

已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求AE=BE+CE ．

【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法．

1.一题多解

（1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE 上取点F ，使得AF=BE,

(AFC BEC AF BE FAC EBC

AC BC ∆∆=⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

在和中

作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等） AFC ∆≌BEC ∆(SAS)

∴CF=CE

60AEC ABC ∠=∠=︒

∴ECF ∆是等边三角形 ∴EF=EC AE=AF+EF ∴AE=BE+CE

（2）利用补短的方法解题 解析：延长EB 至点F,使BF=EC,

F

BF ACE B C (ABF ACE ABE B A A F E A C ∆∆=⎧⎪

∠=∠∠⎨⎪=⎩

在和中

作法可得）（同角的补角相等）

（等边三角形边相等） ABF ∆≌ACE ∆(SAS)

∴BAF=CAE ∠∠ AE=AF

CAE+EAB=60∠∠︒

∴+EAB=60BAF ∠∠︒ ∴AFE ∆是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE

（3）利用旋转的方法解题

解析：将ACE ∆顺时针旋转60︒，则ABF ∆≌ACE ∆

∴AEF ∆是等边三角形，ACE ABF ∠=∠

+ABE=180ACE ∠∠︒(圆内接四边形对角互补)

∴BF+ABE=180A ∠∠︒ 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC

（4）利用平行的方法解题

解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF.

E

CF//AE

FCE+18060+CFB=180CE//FG

CEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AE

CEA BFC CEA FCE ∴∠∠=︒∠==︒∴∠∠︒∴∴∆∆∴∴即四边形是平行四边形和是等边三角形

E

F

（5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得

+EC AB=AE BC BE AC ⋅⋅⋅ ABC ∆是等边三角形

∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE

新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学教学中离不开习题讲解，通过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性，提高学生解决实际问题的能力．

一题多变

变式1：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、EB 、C 的任意一点，求AE=BE+CE ．

【分析】本题关键是E 点位置的不确定性，故在解决此题时必须进行点E 位置的讨论，用到分类讨论的思想．

变式2：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒,求AE=BE+CE 【分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决．

变式3：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒，A,B,E,C 四点共圆吗？ 【分析】以ABC ∆的外心为圆心，OA 为半径画圆，可以证明点E 在圆上，即A 、B 、C 、

D 四点共圆．

在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧C 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、B 、C 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 之间的数量关系？

解析：设MOE θ∠=,

E

E

变式4

222

2

2

2

2+EC +2sin 2sin 602sin 6062BE EA R R R R θθθ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦==（）（）（）三角形边长的平方的倍（即为定值）

变式5：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，四边形ABCD 是正方形，E 是不同于A 、B 、C 、D 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 、DE 之间的数量关系？

【分析】通过探究我们可以发现2

2

2

2

+EA ++EC EB ED 是一个定值． 解析：连结AC,90AEC ∠=︒,2

2

2

+EC =d AE ，同理可得2

2

2

d BE DE +=

所以22222

2AE EC BE DE d +++=,而d

倍，即

为定值．

变式6：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求证BE 2+EC 2+EA 2=6R 2

由变式5、变式6你能得出一个什么结论？

结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值．

数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式．在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法、化归数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，阻止了学生思维的发展．所以在平时的例题和习题的教学中，应紧密结合例题、习题进行有目的、多角度的变式训练.

教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变．同时引导学生去探索数学问题的规律性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣

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