飞行管理 数学建模
数学建模飞行管理问题
数学建模飞行管理问题引言在现代航空领域，航班的飞行管理是一个极其重要的问题。
飞行管理的目标是确保航班的安全、高效和准时到达目的地。
为了实现这一目标，数学建模在航班飞行管理中发挥着关键作用。
本文将探讨数学建模在飞行管理问题中的应用，并给出相应的示例和解决方案。
数学建模在飞行管理中的应用航班路径规划在飞行管理中，航班路径规划是一个重要的环节。
通过数学建模，我们可以确定最佳的航班路径，以确保航班的安全和高效。
航班路径规划的主要目标是最小化飞行时间、燃料消耗以及减少碳排放量。
数学建模中，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：考虑风速和风向对飞行速度的影响，选择最佳的飞行高度和航线。
•气温和气压：考虑气温和气压对飞行性能的影响，选择最佳的飞行高度和速度。
•气象条件：考虑降雨、雷雨和大风等天气情况对航班安全的影响，调整航班路径避开恶劣天气区域。
•空中交通管制：考虑航空交通管制对航班路径的限制，避免空中拥堵。
航班调度与资源分配航班调度和资源分配是飞行管理中另一个重要的问题。
通过数学建模，我们可以优化航班的调度和资源的分配，以确保航班的准时到达和高效运作。
航班调度和资源分配的主要目标是最大化机场和航空公司的资源利用率。
在数学建模中，我们可以考虑以下因素来优化航班调度和资源分配：•航班数量和航班时刻表：根据乘客需求和机场容量，确定最佳的航班数量和时刻表。
•登机口和登机桥分配：根据航班的到达时间和登机口的可用性，分配最佳的登机口和登机桥，以减少登机和下机的时间。
•地面设备和人员分配：根据航班的需要，合理分配地面设备和人员，以确保航班的准时运作。
示例和解决方案为了更好地理解数学建模在飞行管理中的应用，我们将给出一个具体的示例和相应的解决方案。
航班路径规划示例假设有一架航班从A城市飞往B城市，我们需要确定最佳的航班路径以最小化飞行时间和燃料消耗。
根据数学建模，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：通过获取实时的风速和风向数据，我们可以计算出不同高度上的风向风速情况，并选择最佳的飞行高度和航线。
1995年全国大学生数学建模竞赛试题
a题一个飞行管理模型在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下:1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;5) 最多需考虑6架飞机;6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。
记录数据为:飞机编号横座标x 纵座标y 方向角(度)1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
b题天车与冶炼炉的作业调度某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p；a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3；b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢，简称半钢)b1, b2；原料供应处q。
这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。
布局示意如下。
|---------t1----t2----------------------------tn--------------|p a1 a2 a3 b1 b2 q天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至b1或b2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空时间to）返回q处放下（放空罐时间tk）。
历年数学建模试题
1998年
(A) 投资的收益和风险问题（浙 江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海 运学院：丁颂康）
1999年
(A) 自动化车床管理问题（北京 大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学： 林诒勋） (C) 煤矸石堆积问题（太原理工 大学：贾晓峰） (D) 钻井布局问题（郑州大学： 林诒勋）
2004年
(A) 奥运会临时超市网点设计问题(北 京工业大学：孟大志) (B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙 江大学:刘康生) (C) 酒后开车问题（清华大学：姜启 源） (D) 招聘公务员问题（解放军信息工 程大学：韩中庚）
2005年
(A) 长江水质的评价和预测问题 （解放军信息工程大学：韩中庚） (B) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) (C) 雨量预报方法的评价问题(复 旦大学:谭永基) (D) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等)
2008年
（A）数码相机定位， （B）高等教育学费标准探讨， （C）地面搜索， （D）NBA赛程的分析与评价
2009年
（A）制动器试验台的控制方法 分析 （B）眼科病床的合理安排 （C）卫星和飞船的跟踪测控 （D）会议筹备
2010年
（A）储油罐的变位识别与罐容 表标定 （B）2010年上海世博会影响力 的定量评估 （C）输油管的布置 （D）对学生宿舍设计方案的评 价
2002年
(A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦 大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 彩票中的数学问题（解放军信息工 程大学：韩中庚） (C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦 大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）
研究生数学建模竞赛F题 多约束条件下飞行器航迹快速规划
2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。
由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。
因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。
本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。
假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。
其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。
飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。
到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。
(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。
飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。
校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。
可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。
若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。
图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。
(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。
(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。
(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。
(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。
数学建模报告-飞行问题
是在第 88 个 5 秒时，第 5 架和第 6 架飞机会发生碰撞。 所以需要调整飞机的飞行方向角来避过这次相撞。
一时刻两架飞机之间的距离小于 8 公里，因此要调整飞行方向一定角度，保证任意两架飞机在区域
内任意时刻，两者的距离均不小于 8 公里，避免相撞。考虑到调整角度应尽量小，可以简化飞行方 向调整策略，降低调整难度，同时减轻机内乘客及工作人员的不适。此外由此初步确定了调整目 标：所有六架飞机的飞行方向调整角度均尽量小。
6
明显是从一开始就改变α角度使得 | a(i) | 更小，所以越早调整越好，即在第六架飞 i 1
机进入时即可调整角度。
如图：
A α
β B
D C
2、模型建立 由问题一，我们首先判断在第 6 架飞机进入正方形区域后会否发生飞机碰撞。 我们依照数据，用 matlab 画出大致的航线图形（程序见附录 1）。其中灰线代表 飞机向上飞行，黑线代表飞机向下飞行。（如图 1）
飞机编号
横坐标 x
纵坐标 y
1
150
140
2
85
85
3
150
155
4
145
50
5
130
150
新进入
0
0
注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52
二、问题分析
根据问题容易知道，这显然是一个优化问题，当两架飞机可能发生碰撞时，即在规定区域内某
3 / 12
三、模型假设与符号约定
飞行管理数学建模
摘要近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。
本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。
对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即0△△<∙ V P这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。
在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型∑=∆61mini iθ通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型()∑=+=61min i n m i iij ij jj i i n m n m αβ>+-+-2ij ij jj i i n m n m απβ-<+-+-226/0pi m i << 6/0pi m j <<其中2i i i m θθ∆∆+=，2i i i n θθ∆∆-=。
再运用LINGO11编程求得该模型最优解为 3.6326，第3架飞机的调整角为 2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。
之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。
在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。
关键词：飞行管理碰撞冲突线性规划一．问题重述本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。
建模案例飞行管理问题
立即 判断
实时
实时 调 整
幅度尽量小 方 向 角
相对
距离
条件
算法 优化问题
优
化
优
调
化
整
算
方
法
案
问题的初步理解和想法
飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调 整方案及算法的实时性.
2. 问题探究
（1）优化问题的目标函数为何？
方向角调整的尽量小 方向角如何表示
方向角的概念是什么
的
幅度
尽ii量0 小i0
，题目中就是要求 ， 因i (此i 有1, 化2, 的,目6) 的
（1）
6
| i |2.
i 1
为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件 就可以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的 幅度不应超过30°，即
（2）
| | 30.
题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘 时，与区域内的飞机的距离应在60km以上。这个 条件是个初始条件，很容易验证目前所给的数据 是满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的 关键是 要满足题目中描述的任意两架位于该区域 内的飞机的距离应该大于8km。但这个问题的难点 在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为 此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹。
1. 问题的前期分析 * 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.
• 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语. * 联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.
飞行位置示意图
160km
V
III
I
II IV
VI
数学建模
货机装运模型问题重述：一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。
三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有限制如下表所示。
并且为了飞机的平衡，三个货舱共装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。
应如何安排装运，使得货机本次飞行获利最大？模型假设：（1）每种货物可以无限细分；（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。
模型建立：决策变量：每种货物放在每个货舱内的重量。
用xij表示第i种货物放在第j 个货舱内的重量，i =1,2,3,4 分别表示货物1，货物2，货物3 和货物4。
j =1,2,3 分别表示前舱、中舱和后舱。
决策目标：总利润的最大化，目标函数为3100( x11 + x12+ x13) +3800( x21+ x22+ x23) +3500( x31+ x32+ x33) + 2850( x41+ x42+ x43)⎪ 约束条件：（1） 供装载的四种货物的总重量约束，⎧ x 11 + x 12 + x 13 ≤ 18 ⎪x 21 + x 22 + x 23 ≤ 15 ⎨⎪x 31 + x 32 + x 33 ≤ 23 x 41 + x 42 + x 43 ≤ 12（2） 三个货舱的空间限制⎪⎪⎧480x 11 + 650x 21 + 580x 31 + 390x 41 ≤ 6800 ⎪⎨480x 12 + 650x 22 + 580x 32 + 390x 42 ≤ 8700 ⎩480x 13 + 650x 23 + 580x 33 + 390x 43 ≤ 5300（3） 三个货舱的重量限制⎧x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 10 ⎪⎨x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 16 ⎩x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 8（4） 三个货舱装入重量的平衡约束x 11 + x 21 + x 31 + x 41= x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = x 13 + x 23 + x 33 + x 4310 16 8模型求解：使用计算软件求解（在 M ATLAB 中，可以使用 l inprog 命令求解） 求解结果为：( x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = (0,0,0;10,0,5;0,12.947,3, ;0,3.053,0)MATLAB 实现线性规划的运算为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为minc Txsuch thatAx ≤ b Aeq ⋅ x = beqlb ≤ x ≤ ub其中 c 和 x 为 n 维列向量， A 、 A eq 为适当维数的矩阵， b 、 b eq 为适当维数的列向量。
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B 题：飞行管理问题摘要：飞行管理问题是一个既现实又重要的课题，本文利用偏转角度尽可能的小建立两个非线性规划模型。
模型一：时间模型。
考虑到各架飞机的偏转角有正有负，在此模型中，对于各架飞机调整选取各个偏转角的绝对值的和作为目标函数，要求任意两架飞机任意时刻的距离大于8公里，则可以求出任意两架飞机的距离ij d 。
此时，两架飞机距离ij d 是时间t 与各个飞机偏转角i θ∆的函数，编写程序时将t 离散化，且t 有最大值0.2828s （沿对角线飞过的时间），这样可得到表1-1的结果：表1-1模型二：闭塞区域模型。
在两架飞机中，将其中一架看成“静止”，另一架相对于它而运动。
而以“静止”飞机为圆心，km 8为半径的圆形区域构成该飞机的闭塞区域，任意一架飞机的方向角均不能在此区域内，则为不相撞。
为此，本文用复变函数的知识表示各架飞机的速度，从而算出相对速度，再求出相对位移，以相对速度与相对位移的夹角大于每两架飞机的临界夹角来刻画不相撞。
目标函数为每架飞机偏转角的平方和。
利用计算机编程得到表1-2的结果：表1-2对于上述两个非线性规划，在理论方面，本文利用SUTM 内点法（障碍函数法）进行算法描述，在操作方面，分别利用lingo 语言与MATLAB 语言直接编写程序进行计算关键词：非线性规划、复变函数、SUMT 内点法、闭塞区域、禁飞角一、问题重述1.背景知识与其他交通工具相比，飞机以其速度快、安全舒适等特点在交通领域占据了绝对地位。
而近年来飞机事故的频繁发生也预示着飞机存在一定的安全隐患。
经调查造成飞机相撞事故的原因主要是人、飞机（设备）、环境，而人的因素是事故中通常起主体作用的因素，直接影响事故的发生和结局。
飞机事故的发生难以预测且死亡率极高，所以航空安全机制的健全，航空人员素质的提高已变得刻不容缓。
2.问题重述在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；5）最多需考虑6架飞机；6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
记录数据为：二、 基本假设1.飞机在规定区域内飞行，不会发生任何自然灾害；2．飞行人员能够探知飞行区域内所有飞机的飞行轨迹，并能够及时作出相应调整；3.飞机在规定区域内最多只调整一次，且在第六架飞机刚进入区域时调整；4.飞机在调整过程中是瞬间完成，飞行轨迹可看成直线；5.不碰撞的标准是任何两架飞机的距离大于km 8；6.飞机飞行方向的调整幅度不应超过︒30； 7．所有飞机调整角度总和最小为最优方案； 8.暂时不考虑飞机离开此区域的情况； 9.飞机在调整之后按固定速度飞行； 10.飞机在飞行过程中可看为质点。
三、 参数说明1.()i i y x ,表示第i 架飞机的初始位置；2.i θ表示第i 架飞机初始飞行角度；3.i θ∆表示第i 架飞机的调整角度；4.ij s 表示第i 架飞机和第j 架飞机的距离； 5．ij d 表示第i 架飞机和第j 架飞机距离的平方；5.i v 表示第i 架飞机的飞行速度；6.t 表示飞机的飞行时间；7.i t 表示第i 架飞机飞出飞行区域的时间； 10.;架飞机的飞行角度架飞机相对于第表示第i j ij θ 11.架飞机的速度矢量；表示第k Z k12.飞机的飞行矢量架飞机指向第表示第j k f kj ； 13.架飞机的禁飞角的大小架飞机对第表示第j k kj α。
四、 问题分析图4-1：飞机初始状态从距离约束条件来说，在初始状态下，我们可以通过调整飞行方向，目的使飞机在飞行区域内满足任意两架飞机的距离都大于8公里。
调整角度我们可以假设已知，将上述初始角替换成调整角，通过计算，我们知道存在调整方法能够使飞机安全飞出飞行区域，且调整方式多样。
若我们假设调整角度对于每架飞机来说，其满意度是一样的，那在这一系列调整方式中，必定存在调整角度之和达到最小的调整方式。
在飞行过程中，初始位置和飞行方向对飞机的飞行路径有决定性作用，而在速度已知的情况下，时间的确定就可以直接决定飞机的具体位置。
由此，我们想到，如果取适当的一段时间为步长，确定检测时间点，若这些时间点各架飞机都能满足不相撞的条件，那我们可以近似认为，飞机在这些飞行方向上是符合安全飞行条件的，之后只需找出调整最小的方式即可。
从角度约束条件来说，将飞机看做质点，在飞行区域内，以飞机为圆心，4公里为半径的圆形区域内是不能存在其他飞机的。
即每架飞机都有其自身的闭塞区域，而且是动态的闭塞区域。
在边长为160公里的正方形二维平面内，这6个闭塞区域在运动过程中是不允许存在重合部分的。
飞机在飞行区域内是按照同一方向飞行，也就是说在该正方形区域内，闭塞区域是按直线行走的。
运动初期，各圆的位置已知，飞行方向可调整（先不考虑调整角度的限制问题），而调整的目的是为了让这些圆在以相同速度且沿直线的行走过程中不存在重合部分。
将模型简化，仅看两架飞机的运动形式，以一个圆的圆心出发，引发出两条相对于另一个圆的切线，而这两条切线在包含另一个圆的一侧所构成的夹域是禁飞域，夹角为禁飞角。
在这种解法中不仅要考虑飞机之间的相对运动速度还要考虑飞机之间初始相对位置的具体关系。
讨论初期，我们确定飞机之间相对运动的速度还是引用原有的坐标系，飞机之间相对位置关系也在原有的坐标系中讨论，该模型的约束条件就是相对运动方向与相对位置方向之间的相对夹角只要满足不在禁飞夹角中即可。
首先我们选择通过几何方法计算相对夹角，而在进一步计算过程中，我们发现相对夹角若以角度制表示要分不同种情况讨论，过程复杂难以计算。
之后我们又将模型进一步改进，对于坐标系的选取，若以飞机之间相对位置所在向量确定相对坐标则使约束条件简化。
在计算方面，为了避免角度的多情况影响，我们选取以复数形式表示角度，这样就将相对夹角的形式统一起来，计算也有了进一步突破。
在计算出具体结果后，就需要对结果的有效性进行检验，而我们选取的检验条件就是飞机以调整后的角度飞行，在离开飞行区域时，是否与飞行区域内的其他飞机的距离大于60公里，若都满足大于60公里，则认为结果可行性较强，若有出入，在对模型进行相应调整。
五、模型建立与求解模型一设飞机初始状态下的坐标为),(i i y x 易知任意时刻飞机的坐标为)cos(i i i i vt x X θθ∆++= )sin(i i i i vt y Y θθ∆++=则两架飞机的距离：222)()(j i j i ij ij Y Y X X s d -+-==讨论飞机在规定区域内的飞行状态，则飞机有飞行时间的限制：若飞机沿对角线飞行，则飞行距离最远，飞行时间最长，此时8002160max =t ，即()2828.0,0∈t ，在飞行时间内，如果任意两架飞机的距离都超过8公里，则认为不会发生碰撞事件，即：()2828.0,0∈∀t )61,61(64==>j i d ij （1）首先讨论如果不改变飞机偏转角是否有两架飞机相撞，即满足（1）式的j i 和 当小时公里/800=v ，()i i y x ,和i θ已知的情况下，经计算：()()6452sin 5.220sin 80015552cos 5.220cos 80015022236<=-++-+=︒︒︒︒t t s 和()()6452sin 230sin 80015052cos 230cos 80013022256<=-++-+=︒︒︒︒t t s在()2828.0,0∈t 内有实解，则如果按照初始方向飞行会发生碰撞事件，需要做出相应调整。
为了确保飞行时不会发生碰撞事件，则任意两架飞机的飞行距离不得小于公里8，在此条件下寻求6架飞机能够安全通过飞行区域的最小调整方式。
而对于“最小的调整方式”，本文采取下述两种理解方式。
1.偏转总和最小。
因为每架飞机偏转角可正可负，所以，本模型取偏转角的平方和作为目标函数。
结合上述分析与条件，可建立如下非线性规划模型∑=∆612)(mini i θ ..t s ()⎪⎩⎪⎨⎧∈=<∆==>2828.0,0)61(30)61,61(64t i j i d i ij θ 其中：222)()(j i j i ij ij Y Y X X s d -+-== 2.每架飞机偏转都最小。
T =min..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<∆<∆==>)2828.0,0(30)61,61(64t Tj i d i i ij θθ编程时，我们将t 离散化，分为200等分，即00094.03002828.0==dt误差km vdt ds 7541.0== （1）求得的最终结果为：01=∆θ；02=∆θ；︒=∆540629.23θ；04=∆θ；05=∆θ；︒=∆074526.16θ。
（2）求得的最终结果为：︒=∆2906.21θ；︒=∆2500.02θ；︒=∆5406.23θ；04=∆θ；︒=∆2500.05θ；0745.16=∆θ对比上述结果，结合题中误差在︒01.0之内，可只取第一种方案，这样既满足飞机偏转总和最小，又满足每架飞机偏转最小。
下面检验对于上述结果是否满足“进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；”飞机的飞行路径方程为：()()()i i i i x x y y θθ∆+=--tan /；求得每架飞机飞出飞行区域的坐标分别为()0,6190.129；()0,6668.27；()1227.15,0；()6603.105,0；()0,1351.4；()160,1314.120飞机飞出飞行区域的时间为：()()vy y x x t i i i i i 2121-+-=求得每架飞机的飞行时间为：0561.01=t ；1282.02=t ；2564.03=t ； 1941.04=t ；2448.05=t ；2501.06=t 。
飞机飞出飞行区域的先后顺序为：1，2，4，5，6，3。