数学建模报告-飞行问题
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
上海虹桥机场的数学建模问题解决
一、问题背景与重述1.1问题背景虹桥国际机场采用的是东西两条跑道分工进行飞机起降的任务，所以大多数飞机的起降都要实现跑道穿越的过程，同时在飞机起降的高峰时期，此时人工指挥进行飞机调度就存在着一定的困难和安全隐患。
1.2问题重述1．设计一个跑道的智能调度模型，内容包括：飞机降落时间及落地后的运动规划，飞机起飞前的运动规划和起飞时间，所有航班的起降（次序、时间、地面滑行路径）。
在保证跑道上飞机安全的基础上，考虑准点率和起降效率的提高；2．对附件2的航班起降时间重新编排，在安全的基础上，计算出所有航班起降完需要的最短时间和调度安排（次序、时间、地面滑行路径）。
二、问题分析进近道对于参数较多，图形结构复杂的虹桥机场使用树状图，将其简化为三条主跑道与多条进近道，在此基础上，由南向北的行进过程中分析可能存在的道路，并考虑单一支路上的冲突情况与交叉冲突情形，并将多条可能的选择路线转化为时间效率，接着分析转弯节点处的约束条件与单一跑道的约束条件，将两者结合。
每次选定不同的覆盖航班数，在覆盖范围内唯一确定已经按计划起飞的航班，在此基础上，再对剩余的航班进行规划即可得到目标函数的最佳效益，通过改变每次覆盖的航班数量与可移动覆盖的航班数量，由此得到不同的目标效益最值。
三、模型假设所有斜进近跑道长度相等；飞机的机头调转不能超过90°；飞机在南北方向跑道上是匀速滑行的。
四、符号说明符号说明J第i架飞机的效益值iR最小尾流间隔i表示转弯角iv表示初始速度't起飞客机滑行时间''t降落客机的滑行时间五、模型建立与求解5.1 动态调度模型的建立与求解5.1.1 对虹桥机场跑道的简化（1）飞机起飞上海虹桥机场的跑道图显示，起飞飞机滑行的终点是指定的起飞跑道，此时飞机需要等待跑道被清空后才能完成飞行过程。
根据以上对飞机起飞过程的描述，可得到起飞图5-2 起飞飞机状态图为了简化问题，本文规定由T2机场起飞的飞机只能由H6与H7进近跑道进入滑行跑道，而由T1机场起飞的飞机只能由H7进近跑道进入滑行跑道，并且此时的飞机始终保持匀速滑行。
研究生数学建模竞赛F题 多约束条件下飞行器航迹快速规划
2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。
由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。
因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。
本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。
假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。
其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。
飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。
到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。
(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。
飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。
校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。
可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。
若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。
图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。
(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。
(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。
(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。
(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。
数学建模论文_无人机自主飞行航迹规划问题
题目无人机自主飞行航迹规划问题摘要本文分别研究了基于二维平面和三维空间的最优航迹规划问题。
对于第一问，我们在忽略地形和无人机操作性能等因素影响的基础上，将影响无人机飞行的“敌方雷达威胁”和“飞行燃油代价”两个因素进行了量化处理，建立了雷达威胁模型和燃油代价模型，并在这两个模型的基础上建立了基于二维平面的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们依据图论中的相关理论，将二维平面划分成了若干网格，然后使用Dijkstra算法来求最优航迹。
对于第二问，我们在第一问的模型的基础上，同时考虑了地形因素和无人机的操作性能（主要是拐弯），增加了“无人机飞行高度代价”和“无人机操作性能”两个指标，并对其进行了量化处理。
同时，我们对雷达威胁模型进行了适当的简化，建立了一个较复杂的、基于三维空间的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们将三维空间划分为若干个小方块，在“无人机操作性能”作为补充约束条件的基础上，采用蚁群算法，得到了最优航迹。
在建立以上两个模型的基础上，我们对每个模型的可行性分别进行了分析。
由于规划的约束条件众多而且模糊性大、研究的各因素之间的相互联系及不同种类无人机的控制方式和任务情况各异，因而模型存在着一定的缺陷。
我们用MATLAB（寸建立的两个模型进行了仿真，分别得到了基于二维平面的最优航迹和基于三维空间最优航迹。
此外，我们分析了所建模型的优缺点，并对模型的完善进行了进一步的探索。
关键词：最优航迹Dijkstra 算法蚁群算法MATLAB仿真1.问题的重述------------------------------------------------------------- 2 2•问题的分析------------------------------------------------------------- 23. 模型假设-------------------------------------------------------------- 34. 符号说明-------------------------------------------------------------- 35. 模型的建立------------------------------------------------------------ 35.1问题一模型的分析、建立与求解---------------------------------------- 35.2问题二模型的分析、建立与求解---------------------------------------- 66. 模型的可行性分析与仿真----------------------------------------------- 96.1模型的可行性分析-------------------------------------------------- 96.2模型的仿真------------------------------------------------------- 107. 模型的评价、改进及推广------------------------------------------------- 128. 参考文献------------------------------------------------------------- 149. 附录----------------------------------------------------------------- 15一、问题的重述无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是执行各种侦察任务。
纸飞机的飞行原理数学建模
纸飞机的飞行原理数学建模我们可以将纸飞机看作一个质点，忽略其形状和空气阻力对其运动的影响。
假设纸飞机在平面上运动，我们可以使用二维坐标系表示其位置，其中 (x, y) 表示飞机在水平和垂直方向上的位移。
我们需要确定纸飞机的初始条件。
这包括初始位置 (x0, y0) 和初始速度 (v0x, v0y)，其中 v0x 和 v0y 分别表示飞机在水平和垂直方向上的速度。
然后，我们考虑纸飞机所受到的力。
在空气中，纸飞机主要受到重力和升力的作用。
重力可以用以下公式表示：Fg = m * gm 表示纸飞机的质量，g 表示重力加速度。
在这个模型中，我们可以忽略纸飞机的质量，即 m 取为常数。
升力可以使用简化的数学模型进行描述。
根据流体力学的基本原理，升力与速度的平方成正比，与气流的密度和机翼的面积有关。
我们可以使用以下公式表示升力：Fl = 0.5 * ρ * A * v^2Fl 表示升力，ρ 表示空气密度，A 表示机翼的有效面积，v 表示纸飞机的速度。
接下来，我们考虑纸飞机的运动方程。
根据牛顿第二定律，加速度与力的关系为：F = m * a在这个模型中，我们同时考虑了纸飞机受到的重力和升力，因此可以得到以下运动方程：ma = Fg - Fl由于我们忽略了纸飞机的质量 m，因此可以简化为：a = g - (0.5 * ρ * A * v^2)我们可以使用差分方程对纸飞机的运动进行数值模拟。
假设我们将时间间隔取为Δt，我们可以使用以下差分方程更新纸飞机的位置和速度：x[i+1] = x[i] + v[i] * Δty[i+1] = y[i] + v[i] * Δtv[i+1] = v[i] + a[i] * Δti 表示时间步数。
通过以上的数学建模，我们可以分析纸飞机在不同条件下的飞行轨迹和速度变化。
可以进一步讨论如何设计纸飞机的机翼面积和形状，以最大限度地提高其飞行距离和时间。
我们也可以通过调整纸飞机的初始条件来探讨其对飞行性能的影响。
民航飞行中的数学模型与计算
民航飞行中的数学模型与计算一、数学模型概述1.数学模型的定义与分类2.数学模型在民航飞行中的应用价值3.建立数学模型的基本步骤二、民航飞行基本概念1.飞行速度与飞行时间2.飞行高度与飞行距离3.飞机性能指标（如推力、阻力、燃油消耗等）三、民航飞行中的数学模型1.飞行轨迹模型–直线飞行模型–曲线飞行模型（如圆周飞行、螺旋飞行等）2.飞行性能模型–动力学模型（牛顿运动定律、空气动力学方程等）–燃油消耗模型（如Wright公式、燃油流量公式等）3.飞行环境模型–大气模型（如国际标准大气模型、局部大气模型等）–气象模型（如风速、风向、降水等）4.飞行安全模型–避障模型（如圆柱避障、多边形避障等）–飞行间隔模型（垂直间隔、水平间隔等）四、计算方法与技巧1.数学建模方法–假设与简化–参数估计与优化–模型验证与修正2.数值计算方法–欧拉法、龙格-库塔法等数值积分方法–蒙特卡洛模拟、有限元分析等数值模拟方法3.计算机编程与软件应用–编程语言（如MATLAB、Python、C++等）–专业软件（如Mathematica、ANSYS、FLUENT等）五、民航飞行中的实际应用1.航线规划与航班调度–最佳航线规划算法（如遗传算法、蚁群算法等）–航班调度优化模型（如时间窗口、飞机利用率等）2.飞行管理与导航–飞行管理计算机（FMC）及其算法–卫星导航系统（如GPS、GLONASS等）3.飞行仿真与训练–飞行仿真器（如Flight Simulator、X-Plane等）–飞行训练大纲与教学方法六、发展趋势与展望1.人工智能与机器学习在民航飞行中的应用2.大数据与云计算在民航飞行领域的应用3.绿色航空与可持续发展知识点：__________习题及方法：一、数学模型概述习题习题1：定义一个数学模型，并说明其应用于民航飞行中的价值。
答案：定义：数学模型是用来描述现实世界中的某个特定系统的数学关系和规律的抽象表示。
在民航飞行中，数学模型可以用来预测飞机的飞行性能、优化航线规划、提高飞行安全性等。
飞越北极问题数学建模
飞越北极问题数学建模
飞越北极问题是一个数学建模问题，涉及到航空器如何飞越北极地区。
这个问题的关键是找到最短和最安全的航线，以避免飞行器面临极端的天气条件和地理障碍。
为了解决这个问题，可以考虑以下几个因素：
1. 地理位置：确定飞行器起点和终点的经纬度坐标。
2. 大气条件：分析北极地区的天气条件和大气层厚度，以确定最佳高度和速度。
3. 地理障碍：考虑北极地区可能存在的冰山、冰架等地理障碍，通过卫星数据或人工勘测确定避开这些障碍的航线。
4. 航行安全：考虑北极地区的导航设施、通信设备和紧急救援能力，以确保飞行器在飞越北极过程中的安全。
5. 燃料消耗：估算飞行器在飞越北极过程中的燃料消耗，以确保航线的可行性和航行器的续航能力。
基于以上因素，可以建立数学模型来求解飞越北极问题。
这个数学模型可以通过整数规划、线性规划或其他适当的方法来求解最优航线。
数学建模的目标是找到最优航线，即最短和最安全的航线。
这样可以确保飞行器能够顺利飞越北极地区，同时最大限度地减少风险和燃料消耗。
当然，数学建模仅仅是解决这个问题的一种方法，其结果还需要与实际情况相结合，经过验证和调整才能得到最终的航线规划方案。
数学建模报告
数学建模报告导言：数学建模是一项非常重要的学科，它通过分析问题、建立模型、求解模型等方法，可以将实际问题转化为数学问题，并给出相应的解决方案。
本篇文章将介绍一个关于航空公司航班调度的数学建模问题，并通过分析、建模和求解来得出最佳的调度策略。
问题描述：某航空公司需要合理安排已有飞机的航班，以最大程度地利用资源、提高效益。
航班调度问题涉及到多个因素，包括飞机数量、航班需求、航程、乘客需求等。
而在实际操作中，还需要考虑到航空交通管制、机场状况、飞机维修等因素，以确保航班的安全和准时性。
因此，如何合理调度航班，成为航空公司面临的一个重要问题。
问题分析：首先，我们需要对现有的飞机、航线以及乘客需求进行调查和统计，整理出相关的数据。
然后，我们可以运用排队论、图论、优化理论等数学方法来建立模型，并通过求解模型来得出最优的航班调度策略。
模型建立：1. 创建图模型：将航班看作图中的节点，航线看作图的边。
利用图的相关理论，可以确定不同航班之间的转机关系、飞行时间、飞行距离等。
2. 建立排队模型：通过排队论，我们可以找到最佳的航班转机策略。
对于乘客需求较高的航班，可以考虑增加中转航班、提高载客率；对于乘客需求较低的航班，可以适当调整时间，减少损失。
3. 优化调度模型：利用优化理论，我们可以建立一个目标函数，以最大化利用资源、提高航班效益为目标，通过求解这个优化问题，可以得出最佳的调度方案。
同时还需要考虑到航空交通管制、机场状况、飞机维修等实际情况，以确保调度的安全性和准时性。
模型求解：在模型建立完成后，我们可以通过计算机程序来求解模型，并得出最佳的调度方案。
利用数学软件和算法，我们可以快速而准确地得到结果。
结果分析：通过模型求解，我们可以得到不同航班的最佳调度方案。
同时，我们还可以对调度结果进行灵敏度分析，检验调度方案的稳定性和可行性。
如果方案在一定范围内变化不大，则说明方案相对稳定，可以作为航空公司进行实际操作时的参考。
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是在第 88 个 5 秒时，第 5 架和第 6 架飞机会发生碰撞。 所以需要调整飞机的飞行方向角来避过这次相撞。
一时刻两架飞机之间的距离小于 8 公里，因此要调整飞行方向一定角度，保证任意两架飞机在区域
内任意时刻，两者的距离均不小于 8 公里，避免相撞。考虑到调整角度应尽量小，可以简化飞行方 向调整策略，降低调整难度，同时减轻机内乘客及工作人员的不适。此外由此初步确定了调整目 标：所有六架飞机的飞行方向调整角度均尽量小。
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明显是从一开始就改变α角度使得 | a(i) | 更小，所以越早调整越好，即在第六架飞 i 1
机进入时即可调整角度。
如图：
A α
β B
D C
2、模型建立 由问题一，我们首先判断在第 6 架飞机进入正方形区域后会否发生飞机碰撞。 我们依照数据，用 matlab 画出大致的航线图形（程序见附录 1）。其中灰线代表 飞机向上飞行，黑线代表飞机向下飞行。（如图 1）
飞机编号
横坐标 x
纵坐标 y
1
150
140
2
85
85
3
150
155
4
145
50
5
130
150
新进入
0
0
注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52
二、问题分析
根据问题容易知道，这显然是一个优化问题，当两架飞机可能发生碰撞时，即在规定区域内某
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三、模型假设与符号约定
（1）假设飞机进入控制区域后完全服从地面控制台的调度，其他任何因素或人都不能 改变飞机的飞行方向角。 （2）假设从飞机管理处发出的信息飞机马上可以接收并执行（此处忽略飞机在执行过 程中所需耗费的时间），不存在滞后或延迟，即可以实现实时控制。 （3）不考虑本组设计的程序在实时控制中运行的时间。 (4) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km。 （5）所有飞机飞行速度均为每小时 800km。 （6）飞机在区域外靠雷达自动与其他飞机保持距离大于 60km，进入区域后由地面控制 台进行统一控制，保证飞机距离大于 8km。 （7）假设飞机在区域内改变方向，在飞出区域后驾驶人员会自觉调整方向回归原航线 继续飞行。 （8）为了表达清晰，我们对符号作出以下说明：
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6. 飞行管理问题(优化模型) 在约10000米高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行.区域 内飞行的每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一 架欲进入该区域的飞机到达区域的边界时,记录其数据后,须立即判断是否将与区域内 的飞机相碰撞.若可能发生碰撞,则应计算如何调整各架飞机的飞行的方向角，以避免 碰撞。 作如下假设: (1)任意两架飞机的安全飞行距离为8公里; (2)所有飞机的飞行速度为800公里/小时; (3)进入该区域的飞机在到达区域边界时,与区域内的飞机的距离应在60公里以上; (4)最多考虑6架飞机; (5)不必考虑飞机离开此区域后的情况. 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行 计算（方向角误差不超过0.01），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域四个顶点的坐标为：(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160) 记录数据为：
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
就进行飞行角度的调整，并且达到了优化目标： min | a(i) | 。 i 1 由题意，我们找到约束条件，然后把这些约束条件在 lingo 中用语言描述出来，
再针对运算方面进行改进，得到我们的 lingo 程序，运行后我们得到了飞机调整的飞 行方向角和方案。 关键词：简化，最小调整幅度，最优
一、问题重述
《数学建模》课程设计 报告
课题名称：___飞行管理问题 系 （院）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 10122111 学生姓名： 邵仁和 学 号： 1012211122 指导教师： 陈宏宇 开课时间： 2011-2012 学年 二 学期
飞行管理问题的优化模型
摘要
为了避免较多飞机在区域内会发生碰撞，让飞机在某正方形区域内安全飞行，便 于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度 尽量小），所以这是个优化问题。
符号
p i
xi
t
,
y i
t
v
ai
ai
含义 区域内的第 i 架飞机
备注
第 i 架飞机在时刻 t 时的坐 此处记第 6 架飞机进入区域时为
标
t =0
飞机飞行速度
按题中所给条件为 800 km/ h
各飞机未调整方向前的的 飞机头与 x 轴正向间的夹角 方向角
第 i 架飞机方向角的调整值
1、问题简化
四、模型的建立和求解
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明显我们不可能每时每刻都对每架飞机进行调整，当然希望调整的次数越少越 好，调整的飞机数越少越好，角度越小越好。
第一，我们需要知道哪些飞机会在飞行过程中与其他的飞机相撞（距离小于 8km）。
6
第二，我们需要调整哪些飞机和多少角度来使 | a(i) |最小。 i 1
假使飞机要从 A 点向 C 飞行，途中想要偏离 C 点，由图α<β（外角大于内角），
本文我们根据题目所给的数据，利用 matlab 软件绘制出飞机的位置图标及飞行路 径，并利用 lingo 软件找出了碰撞发生的飞机、碰撞发生的点和时间。同时再寻找判 断两架飞机是否会相撞的方法，我们发现可以在飞机飞出区域之前每隔一段较短的时 间对飞机进行监控，看是否与别的飞机相撞。
然后，我们根据问题讨论了飞行方向角的调整时间和次数对最优解的影响，发现 调整时间越早，调整角度就越小，所以我们决定在第六架飞机刚飞到区域边缘的时候
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图 1：
把飞机速度 v 800km/ h 转化成 v 0.2222...km/ s ，由此我们可以知道飞机在 5
秒内仅飞行 1km 多，根据这个我们将飞机飞行时间分成 5 秒一段，由这种分段来达到 近乎实时监控的目的，知晓每一架飞机每一个 5 秒的飞行情况，尽可能精确地求出有 可能发生碰撞的飞机及碰撞发生的时间段，方便调整。