AHP法的随机一致性(RC)指标
AHP法的随机一致性（RC）指标
在层次分析（AHP）法中，为了对判断矩阵的数值进行一致性检验，需要根据矩阵的阶
次（n）计算判断一致率（consistency ratio, CR）。
为此，数学家引入了随机一致性（random consistency, RC）指标。
随机一致性指标又称随机指数（random index, RI）。
目前，国
内流行的教科书中大多沿用了Saaty早年提供的检验标准（表1）。
在2008年的一项研究中，Saaty基于5万次随机试验得到更为精确的RC数值（表2）。
RC值是就统计平均意义而言的，故称平均一致性。
表1 不同阶次的随机矩阵及其平均一致性指标RC值（旧指标）
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RC 0.0 0.0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49
资料来源：Saaty T L, Alexander J M. 1981. Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological, and Social Sciences. Oxford or New York: Pergamon Press: 151
表2 不同阶次的随机矩阵及其平均一致性指标RC值（新指标）
n 1 2 3 4 5 6 7 8 RC 0.00 0.00 0.52 0.89 1.11 1.25 1.35 1.40
续表2 n 9 10 11 12 13 14 15 …
RC 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 …
资料来源：Saaty T L. 2008. Relative measurement and its generalization in decision making: Why pairwise comparisons are central in mathematics for the measurement of intangible factors—The Analytic Hierarchy/Network Process. Review of the Royal Spanish Academy of Sciences A: Mathematics, 102 (2):
251–318。
层次分析法(AHP法)
一致性检验是层次分析法 中非常重要的步骤，可以 保证分析结果的可靠性
04
CATALOGUE
层次单排序
特征向量法
总结词
通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素权重的方法。
详细描述
特征向量法是层次分析法中确定权重的一种常用方法。它基于线性代数原理，通过计算判断矩阵的特 征值和特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反映各因素之间的相对重要性，广泛应用于决 策分析和多目标优化等领域。
要点一
总结词
通过计算判断矩阵的最大特征值对应的特征向量来确定各 因素权重的方法。
要点二
详细描述
最大特征值法也是层次分析法中确定权重的一种常用方法 。它基于矩阵论原理，通过计算判断矩阵的最大特征值和 对应的特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反 映各因素之间的相对重要性，并且在判断矩阵一致性检验 中具有重要作用。最大特征值法在多目标决策、系统评价 等领域有广泛的应用。
03
CATALOGUE
构造判断矩阵
标度定义
标度2
两个元素相比，前者比后者稍 重要
标度4
两个元素相比，前者比后者强 烈重要
标度1
两个元素相比，具有相同的重 要性
标度3
两个元素相比，前者比后者明 显重要
标度5
两个元素相比，前者比后者极 端重要
判断矩阵的构造
01
通过专家咨询、比较等方法，对每一层次各元素相对重要性给 出判断
02
将判断结果整理成矩阵形式
判断矩阵的元素aij表示第i个元素与第j个元素相对重要性的比值
03
判断矩阵的一致性检验
一致性检验是检验各元素 重要性判断是否具有逻辑 一致性
当CR<0.1时，认为判断 矩阵的一致性是可以接受 的；否则，需要对判断矩 阵进行调整
AHP(层次分析法)方法、步骤
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
m
bn aibni i 1
2009.11
（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。
其计算公式为：CI m aiCIi i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 m RI ai RIi i 1
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 CR CI
在单层次判断矩阵A中，当
aij
aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的 ，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
max 4
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 d2 d3 d4 d5
2009.11
（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5
C1
0.105
0.491 0.232 0.092 0.136 0.046
C2
0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
层次分析法AHP法
心理学家以为成对比较旳原因不宜超出9个，即 每层不要超出9个原因。
成对比较阵和权向量
比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值
1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
上述两相邻判断旳中值
原因i与j比较旳判断aij，则原因j与i比较旳判断aji=1/aij
对于 n 个元素 A1, …, An 来说，经过两两比 较，得到成对比较（判断）矩阵 A = (aij)nn：
其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij > 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正旳互反矩阵。
3.一种好旳层次构造对于处理问题是极为 主要旳。层次构造建立在决策者对所面临 旳问题具有全方面进一步旳认识基础上， 假如在层次旳划分和拟定层次之间旳支配 关系上举棋不定，最佳重新分析问题，搞 清问题各部分相互之间旳关系，以确保建 立一种合理旳层次构造。
例1. 选择旅游地
目的层
怎样在3个目旳地中按照景色、 费用、居住条件等原因选择.
例2 旅游
假期旅游，是去风光秀丽旳苏州，还是 去凉爽宜人旳北戴河，或者是去山水甲天下 旳桂林？一般会根据景色、费用、食宿条件、 旅途等原因选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位能够去选择，一般根据工作环境、 工资待遇、发展前途、住房条件等原因择业。
例4 科研课题旳选择 因为经费等原因，有时不能同步开展几
因为λ(A旳特征根) 连续旳依赖于aij ，则λ比n 大旳越 多，A 旳不一致性越严重。引起旳判断误差越大。 因而能够用 λ-n 数值旳大小来衡量 A 旳不一致程度。
基于AHP方法的企业财务从业者绩效考核体系指标研究
本文 主要 是将 ＡＨ Ｐ方法应 用到 绩效 考核体 系 中 ，建立 一个 财 务从业 人员 的考核体 系 ． 便对 财务从 业人员 绩效 考核进 行核 方
算 。企 业 财 务 从 业 人 员 作 为 一 个 企 业 或 者 机 构 中 重 要 的 管 理 人
员 ， 们 的绩效 考核 的科 学性 、 整性 对于 整个 公 司的 绩效 管理 他 完
更 好 的 发 展 ， 能 为 未 来 的 预 期 做 更 好 的铺 垫 。 此 ， 效 考 核 在 才 因 绩 绩 效 管 理 中 有 着 重 要 的 作 用 ． 成 为 了 学 者 研 究 绩 效 管 理 的 一 个 也
≯ ≯ ｐ ； ≯
２ ０世 纪 ７ ０年 代 ， 美 国 学 者 ＴＬＳ ａｙ提 出 来 了 层 次 分 析 法 由 ．．ａｔ （ ＡＨＰ ｈ ｎ ｌｔ ａ ｅａｃ ｙＰｏｅｓ ， 过 这 种 方 法 成 功 实 现 ，ｔｅＡ ａｙｉ ｌ ｒｒｈ ｒｃ ｓ） 通 ｃ Ｈｉ 了 定 性 和 定 量 相 结 合 层次分 析法 的一般 步骤是 首先 建立 层次分 析模 型 ． 后 通过 然 构 造 判 断 矩 阵 ， 用 求 特 征 值 的 方 法 确 定 各 个 因 子 的 权 重 。 在 处 利 理 考 核 指 标 的 问 题 上 ， 用 层 次 分 析 法 可 以 将 无 法 量 化 的 具 体 的 运
ｎ一 １
，．． ＣＲ 为随机性 指标 。本 文
３ ＡＨＰ 法 在 企 业 财 务 从 业 人 员 绩 效 考 核 中 的 应 用 、
３１企 业 财 务 人员 的 职 能 描 述 ．
中， 准则层 的随机性 指标 为 Ｉ１ 。根 据得 到的 Ｃ ．２ Ｒ值 。将 Ｃ Ｒ值 与
Ｏ１ 比 较 。 如 果 Ｃ ０１ 则 通 过 一 致 性 检 验 ； 果 Ｃ ０１ 则 一 ．相 Ｒ＜ ．， 如 Ｒ＞ ．． 致性 检验不 通过 。 根 据 相 关 运 算 ， 现 六 个 矩 阵 均 通 过 一 致 性 检 验 ， 到 综 合 发 得 权重 计算 见表 ２ 如下 ： ，
ahp理论中关于判断矩阵一致性问题研究
ahp理论中关于判断矩阵一致性问题研究以《Ahp理论中关于判断矩阵一致性问题研究》为题，本文通过分析Ahp理论中一致性判断矩阵的思想，阐明其在实践中的作用，以期更全面的探讨Ahp理论的一致性判断矩阵的重要性。
AHP理论（Analytic Hierarchy Process）即分析层次结构，它是一种多层次的评价方法，可以将数据和信息变换成有意义的决策表达。
首先，把决策建模中的目标分解成若干个层次，并且给出层次之间的层次关系；其次，建立各层次之间的各种关系表；最后，由多种关系表得到最优结果。
要实现AHP理论，需要将准则矩阵由小矩阵发展为大矩阵，以及建立大矩阵的一致性性质。
在AHP理论中，一致性性质指示了每个层级框架的判断矩阵是否一致。
一致性性质主要指“比较矩阵”和“准则矩阵”，其设置是为了实现AHP理论的实现。
“比较矩阵”是比较各层级框架之间的级别，也就是对层级框架客观性比较，而“准则矩阵”是制定AHP理论求同程度的参考，提供AHP理论的实现。
为了检验一致性判断矩阵的一致性，通常使用一致性比率（CR）的检验。
CR的值指的是两个不同层次的矩阵的关系，该值越大，表明两个层次矩阵的一致性越强。
CR的测试是一个比较复杂的过程，而“计算机算法”是解决它的主要的有效的方法之一。
要实现AHP理论，需要满足一致性矩阵的一致性条件，因此一致性性质判断矩阵，是AHP理论中非常重要的一个组成部分。
大量的研究表明，一致性性质判断矩阵在AHP理论中起到了很大的作用，有助于提高决策效率和决策质量。
在实践中，一致性性质判断矩阵在多种决策中得到广泛应用，为决策者提供了重要的建议和依据，从而指导和优化决策。
例如，在制定灾后重建策略时，一致性性质判断矩阵可以帮助决策者更好的了解不同可行方案之间的关系，以及所有可行方案与最终决策的关联性，并有助于根据客观分析和评价准则选择出最佳方案。
总之，一致性性质判断矩阵在AHP理论中发挥着重要的作用，因此它是多层次决策的重要依据之一。
层次分析法(AHP)
aij
n
aij
i 1
i，j 1,2,, n
2 ） 再按行相加得和
n
wi aij j 1
3）再规范化，得权重系数：
wi
wi
n
wi
i 1
方根法
这种方法的步骤是：
1） 按行元素求积，再求1/n次幂，得
n
wi
aij i，j 1,2,, n
j 1
2）规范化，即得权重系数
wi
wi
n
wi
用ANP进行决策的基本步骤
▪ (1) 构造ANP的典型结构： A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界 定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法 得到. B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其 网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种 方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相 互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP 网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环 的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。 在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立， 既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
P4：建 图书馆
P5：引进 新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
c1 P1
p2
p3
p4
p5 w
p1 1
3
5
4
7 0.491
p2 1/3 1
3
2
5 o.232
p3 1/5 1/3 1
½
3 0.092
p4 ¼ ½
2
1
3 0.138
p5 1/7 1/5 1/3 1/3 1 0.046
层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)
i n max
i2
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
0.491 0.232
W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028
0.138 0.046
对于判断矩阵B2，其计算结果为：
0.550
W
0.564 0.118
,
max
CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
C2
0.232
C3
0.092
C4
0.138
C5
0.046
B2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.263
B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094
层次分析法(AHP)及疑难解释
4.计算总排序权向量并做一致性检验
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
CR a1CI1 a2CI2 amCIm a1RI1 a2 RI 2 am RI m CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
2 实用性
层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用 传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同 时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策 者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。
3 简洁性
具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本 原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得 结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
w~ij
n
三方法中，和法最为简便。看下列例子。
1 A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
1/ 6 1/ 4 1
0.6 0.615 0.545 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
求和
1.760 归一化 0.972
0.587
1.769
0.324 w Aw 0.974
0.268
0.089
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
精确计算，得 w (0.588, 0.322, 0.090), 3.013
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
AHP法课堂练习 (1)
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表)
通过一致
一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
性检验
正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
选择旅游地 记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 A进行检验的过程。
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
作业：某公司有一笔资金可用于4种方案 ：投资 房地产，购买股票，投资工业和高技术产业。评 价和选择投资方案的标准是：收益大，风险低和 周转快。试对4种投资方案做出分析和评价。
根据题意建立AHP的多级递阶结构
建立判断矩阵，计算各级要素相对重要度并进行一致性检验
计算综合重要度
结论
对总目标Z的排序为
A1
A2
AHP 层次分析法
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
第 1层 O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
w (w ,, w )
( 2) ( 2) 1
( 2) T n
第3层对第2层各元素的权向量
) ( 3) T wk( 3) (wk( 3 , , w ) , k 1,2,, n 1 km
准则层对目标的成对比较阵
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
n 1
= n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI 定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
例1 国家 实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡 献 收 入
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择 （4层结构）
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1