导数与微分重点知识归纳
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
大学微分知识点总结
大学微分知识点总结一、导数与微分的概念1. 导数的定义函数y=f(x)在点x0处的导数，定义为：f'(x0) = lim Δx→0 (f(x0+Δx)-f(x0))/Δx如果这个极限存在，就称函数在点x0处可导，导数的值就是这个极限值。
2. 导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)，表示函数在这一点的切线的斜率，也就是函数在这一点上的瞬时变化率。
3. 微分的定义函数y=f(x)在点x0处的微分，定义为：dy = f'(x0)dx这个式子表示函数在某一点上微小的变化量dy与自变量的微小变化量dx之间的关系。
4. 微分的几何意义函数y=f(x)在点x0处的微分dy，是函数在这一点处的切线上的微小变化量，它与自变量的微小变化量dx之间存在着近似的线性关系，这个关系即为切线的斜率。
二、导数与微分的运算法则1. 基本导数常数函数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为e^x，对数函数的导数为1/x，三角函数和反三角函数的导数等等都是微分学中比较基础的内容。
2. 导数的四则运算函数的和、差、积、商的导数与原函数的导数之间也有着一定的关系。
比如(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f' - g'， (fg)' = f'g + fg'， (f/g)' = (f'g - fg')/g^2。
3. 链式法则如果函数y=u(x)和v(x)都可导，那么复合函数y=u(v(x))的导数可以用链式法则表示：dy/dx = dy/du * du/dx4. 隐函数的求导当一个函数y=f(x)在方程F(x,y)=0中不能显式表示y时，此时的求导需要用到隐函数的求导方法。
5. 参数方程的求导当函数y=f(x)由参数方程x=x(t)，y=y(t)确定时，此时的求导需要用到参数方程的求导方法。
导数与微积分解析与归纳
导数与微积分解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，通过导数的概念与运算，可以求解方程、研究变化率、描述曲线等。
本文将对导数的定义、性质以及微积分的应用进行详细的解析和归纳。
一、导数的定义与性质导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
设函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)，可以按照以下方式进行定义：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗其中，lim表示极限运算，h为自变量的增量。
通过求导数可以得到函数在该点的斜率，进而可以研究曲线的变化情况。
导数具有一些性质，比如线性性、乘法法则、链式法则等。
其中线性性质表明对于函数f(x)和g(x)，以及实数a，有如下等式成立： (af(x))' = af'(x)(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)乘法法则以及链式法则提供了求解复杂函数导数的方法，使得微积分的应用更加灵活多样。
二、微积分的应用微积分的应用广泛，涵盖了数学、物理、经济等众多领域。
以下是微积分的一些常见应用：1. 曲线的切线与法线：导数描述了曲线在某一点的斜率，因此通过求导数可以求出曲线在特定点的切线方程。
切线是曲线在该点的最佳近似线性模型，具有重要的几何和物理意义。
2. 极值与最优化：通过求解函数的导数，可以确定函数的极值点。
当导数为0时，函数取得极值，进而可以对函数进行最优化设计，例如求解成本最小、利润最大等问题。
3. 函数的图像和变化：导数可以用来研究函数的图像特征，包括函数的增减性、凹凸性、拐点等。
通过分析导数的符号及变化情况，可以了解函数的整体变化趋势。
4. 积分与面积计算：积分是导数的逆运算，可以通过积分求解曲线下的面积、弧长等。
微积分的基本定理提供了将积分与导数联系起来的方法，为求解复杂问题提供了便利。
总结导数是微积分的核心概念，通过对导数的定义与性质的理解，我们可以更深入地掌握微积分的原理与方法。
导数与微分的总结
导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。
本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。
一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。
导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。
2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。
3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。
4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。
二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。
对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。
微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。
2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。
3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。
全微分知识点笔记总结
全微分知识点笔记总结一、导数与全微分基本概念1. 导数的概念导数是微积分学中非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。
如果函数y=f(x)在某一点x0处可导，那么它的导数f'(x0)定义为f'(x0)=lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)导数可以理解为函数在某一点的斜率，也可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
2. 全微分的概念全微分也是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化。
如果函数y=f(x)在某一点x0处可导，那么它的全微分dy可以定义为dy = f'(x0)dx全微分可以理解为函数在某一点微小变化的量，它是函数的局部变化率与自变量的微小变化量的乘积。
二、全微分的计算1. 一元函数的全微分对于一元函数y=f(x)，如果它在某一点x0处可导，那么它的全微分可以通过导数来计算，全微分dy=f'(x0)dx。
这个公式可以准确地描述函数在x0处微小变化的量。
2. 多元函数的全微分对于多元函数z=f(x,y)，如果它在某一点(x0,y0)处可导，那么它的全微分可以通过偏导数来计算。
全微分dz在点(x0,y0)处的计算公式为dz = ∂f/∂x|_(x0,y0)dx + ∂f/∂y|_(x0,y0)dy这个公式可以描述多元函数在某一点微小变化的量，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别是函数在各自自变量上的偏导数。
三、全微分的物理意义1. 全微分的物理意义全微分可以用来描述函数在某一点微小增量的变化。
在物理学中，全微分可以用来描述物体在某一点的微小位移、速度、加速度等物理量的变化。
这就是全微分的物理意义。
2. 全微分与微分量的关系在物理学中，微分量描述了一个物体在某一点的微小变化量，而全微分描述了函数在某一点的微小变化量。
它们之间存在着密切的关系，可以相互换算，因此在物理学中也可以用全微分来描述物体的微小变化。
四、全微分的应用1. 全微分在最优化问题中的应用在最优化问题中，全微分可以用来描述函数的微小变化量。
导数微分知识点总结
导数微分知识点总结一、微分的定义微分是微积分中的基本概念之一。
在微积分中，微分是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，若x在x_0处有一个增量Δx，对应的函数值的增量Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)，那么函数f(x)在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数。
二、导数的定义导数是微分的数学概念，是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，在x_0处导数f'(x_0)的定义为：若极限lim_(Δx→0)(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在x_0处的导数，记作f'(x_0)。
导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以用偏导数来描述多元函数的变化率。
三、微分和导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们之间存在着密切的联系。
微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数，可见微分和导数之间有直接的联系。
微分是导数的一种应用，而导数也可以通过微分来求得。
四、微分和导数的性质1.导数的性质：（1）常数的导数为0: (c)'=0（2）幂函数的导数: (x^n)'=nx^(n-1)（3）和差函数的导数: (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）积函数的导数: (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）商函数的导数: (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)（6）复合函数的导数: 若y=f[g(x)]，则y'=(f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)2.微分的性质：（1）微分的线性性质：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)（2）微分的乘法法则：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)五、导数的计算方法1.通过定义求导：根据导数的定义，可以直接求出给定函数的导数。
完整版高数一知识点
完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。
它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。
导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。
微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。
微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。
2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。
二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。
计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。
2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。
3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。
定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。
定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。
计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。
2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。
三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。
它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。
常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。
专升本内容导数与微分
二阶导数旳导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dn dx
y
n
或
d
n f( dx n
x
)
.
5、微分旳定义
若函数y f (x)的增量 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) ( A与x无关),则称A x为函数y f (x)在点x0处 的微分,记作 dy xx0 A x. 微分dy叫做函数增量 y的线性主部 .(微分旳实质)
d
(u) v
vdu udv v2
无论x是自变量还是中间变量 ,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
注：若x为中间变量，则dx x
导数的几何意义 :
(1) f (x0 ) 0 表示有不平行于x轴的切线
(2) f(x)在x0连续,f (x0 ) (此时f (x)在x0不可导) 切线 : x x0 ,法线 : y y0
(a 0且a 1)
(sin x)(n) sin(x n ) , (cos x)(n) cos( x n )
2
2
常见类型
导数旳概念；连续与可导旳关系、可导与 可微旳关系。变限积分旳导数。复合函数旳导 数(微分)；隐函数旳导数(微分)；参数方程旳 导数。分段函数旳可导性(待定常数)。简朴函 数旳n阶导数。求曲线旳切线与法线。
试卷题型分布
导数：约30分(选择、填空、计算)
3). f (x)、g (x)皆不可导时,不能推出 f (x) g(x)、f (x) g(x)不可导
高中数学导数与微分知识点总结
高中数学导数与微分知识点总结在高中数学学习中，导数与微分是一个重要的知识点。
导数是微积分的一个基本概念，它研究了函数的变化率。
微分是导数的一种运算方法，它可以帮助我们求得函数的近似值、判别函数的极值以及解决相关实际问题。
本文将对高中数学导数与微分的相关知识点进行总结。
1. 导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点处的变化率，记作f'(x)或dy/dx。
计算导数有多种方法，常见的有几何定义法、利用基本导数公式求导法、利用导数的性质求导法等。
2. 导数的基本公式高中数学中常用的导数公式有：- 常数函数的导数：若y=c，其中c为常数，则y'=0。
- 幂函数的导数：若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x * ln(a)。
- 对数函数的导数：若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=1/(x * ln(a))。
- 三角函数的导数：sin(x)'=cos(x)，cos(x)'=-sin(x)，tan(x)'=sec^2(x)，cot(x)'=-csc^2(x)。
3. 导数的运算法则导数具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
常见的导数运算法则有：- 常数倍法则：若f(x)可导，则k * f(x)的导数为k * f'(x)，其中k为常数。
- 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) *g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2。
导数与微分基础知识
导数与微分基础知识导数与微分是微积分学中非常重要的概念，它们可以帮助我们研究函数的变化规律和性质。
在本文中，我们将详细介绍导数与微分的基础知识，包括定义、性质和应用等方面。
一、导数的定义与性质导数的定义是函数变化率的极限值，它的数学表达式可以表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]其中，\(f'(x)\)表示函数\(f(x)\)在点\(x\)处的导数。
该定义告诉我们，导数反映了函数在某一点的瞬时变化率。
导数具有一些重要的性质，包括：1. 导数存在性：如果函数在某点可导，则该点处的导数存在。
2. 导数的几何意义：导数等于函数图像在该点切线的斜率。
3. 导数的代数性质：导数的运算可以应用常见的代数法则，如和差、积、商法则等。
二、微分的定义与性质微分是导数的一个重要应用，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。
微分的基本定义如下：\[df(x)=f'(x)dx\]其中，\(df(x)\)表示函数\(f(x)\)在点\(x\)处的微分，\(dx\)为自变量的微小增量。
微分提供了一个线性近似，使得我们可以用简单的代数方法来计算函数的近似值。
微分也有一些重要的性质：1. 微分与导数的关系：微分可以看作是导数的乘积形式，它们在数值上有相似的近似值。
2. 微分的近似意义：微分可以帮助我们在不知道具体函数表达式的情况下，根据导数的信息对函数进行逼近计算。
三、导数与微分的应用导数与微分在实际问题中有广泛的应用，下面列举了一些常见的例子：1. 切线与法线：导数可以帮助我们确定函数图像在某点的切线斜率，并进而求出切线和法线的方程。
2. 最值问题：导数可以帮助我们确定函数的极值点，进而解决最大值和最小值的求解问题。
3. 函数图像的绘制：通过函数的导数信息，我们可以绘制出函数的大致图像，包括凹凸性、拐点等特征。
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导数的概念
例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速
度？
我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：
若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，
即：质点在t0时的瞬时速度=
为此就产生了导数的定义，如下
导数的定义
设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地
函数有增量
，
若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，
函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数
对于区
间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的
概念。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件
函数的和差求导法则
法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).
用公式可写为：。
其中u、v为可导函数。
常数与函数的积的求导法则
法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
用公式可写成：
函数的积的求导法则
法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。
用公式可写成：
函数的商的求导法则
法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。
用公式可写成：
复合函数的求导法则
例题：求=?
解答：由于，故这个解答正确吗?
这个解答是错误的，正确的解答应该如下：
我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。
下面我们给出复合函数的求导法则
复合函数的求导规则
规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。
用公式表示为：
，
其中u为中间变量
例题：已知，求
解答：设,则可分解为,因此
注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。
例题：已知，求
解答：
反函数求导法则
根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连
续的.
为此我们可给出反函数的求导法则，如下
定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有：
注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即：是对y求导，是对x求导
例题：求的导数.
解答：此函数的反函数为，故则：
例题：求的导数.
解答：此函数的反函数为，故则：
高阶导数
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：
而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：
，或
这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。
下面我们给出它的数学定义
定义：函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数
的二阶导数，记作
或，即：
或
相应地，把的导数叫做函数的一阶导数
类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的
导数叫做n阶导数.
分别记作：，，…，或，，…，
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：已知，求
解答：因为=a，故=0
例题：求对数函数的n阶导数。
解答：，，，，
一般地，可得
隐函数及其求导法则
若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数
大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就
说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.
把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。
隐函数的求导
若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y 看成x的函数，
用复合函数求导法则进行。
例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.
两边对x进行求导，
故=
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数，在x=0处的导数
解答：两边对x求导
故
当x=0时，y=0.故
对数求导法
对数求导的法则
根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。
注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知x＞0，求
此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。
如下
解答：先两边取对数：
把其看成隐函数，再两边求导
因为，所以
例题：已知，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导解答：先两边取对数
再两边求导
因为，所以
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：
一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，
即：
从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；
第二部分即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：
由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。
下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义
设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为
，其中A是不
依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。
叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，
即：=
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差
是关于△x的高阶
无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：
当△x→0时，△y≈dy.
导数的记号为：
现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？
设，则复合函数的微分为：
，
由于，故我们可以把复合函数的微分写成
由此可见，不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘
积来表示，
我们把这一性质称为微分形式不变性。
例题：已知，求dy
解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式(即導數後乘dx)
微分运算法则
复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。
例题：设，求对x3的导数
解答：根据微分形式的不变性
微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
例题：求的近似值。
解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题
故其近似值为1.025(精确值为1.024695)。