第四章弯曲挠度3-Lu
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挠度
挠度
科技名词定义
中文名称：挠度
英文名称：deflection
定义：结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。
所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
挠度（德语 Durchbiegung，法语la flèche）——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用y表示。
简言之就是指梁、桁架等受弯构件在荷载作用下的最大变形，通常指竖向方向y轴的,就是构件的竖向变形。
挠曲线——如图，平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵对称面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。
挠度与荷载大小、构件截面尺寸以及构件的材料物理性能有关。
挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用 y表示。
转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。
挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。
在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正。
选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度y将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即
y = f ( x ) 。
显然，挠曲线方程在截面x处的值，即等于该截面处的挠度。
根据微积分知识，挠曲线的斜率为
因工程实际中梁的转角θ之值十分微小，可近似认为
可见，挠曲线在截面位置坐标x处的斜率，或挠度y对坐标x的一阶导数，等于该截面的转角。
关于挠度和转角正负符号的规定：在如图6-1选定的坐标系中，向上的挠度为正，逆时针转向的转角为正。
化工机械设备基础 第四章 弯曲
0
RA 0.8 M 0 M RA 0.8 6.25 0.8 5kN
所得结果均为正，说明所 设的剪力和弯矩的方向（转 向）与实际相同。
第二节 剪力和弯矩
第二节 剪力和弯矩
结论： （1）梁任意横截面上的剪力，数值上等于该截 面一侧所有外力的代数和； （2）梁任意横截面上的弯矩，数值上的等于该 截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。
6求最大转角和最大挠度由图可见左右两支座处的转角的绝对值相等均为最大值分别以x0及xl代入上式可得最大转角为?最大挠度在梁距中点即xl2处其值为eiqlba243max?eiqlvvlx384542max?三用叠加法求解梁的变形当梁上同时作用几个载荷时可先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角然后将它们代数相加即可得到几个载荷同时作用时梁的挠度和转角
i 1
第六节 强度计算
为保证梁的安全工作，必须保证其在许用应力 之内工作，其应力条件为：
M max max [ ] Wz
第六节 强度计算
三、静力学关系
从纯弯曲的梁中截开一 个横截面如图419所示。 在截面中取一截面积dA。 由于梁弯曲时x轴方向合 力为零，合力矩为M。
dA 0
A
ydA M
A
E
y
A
ydA yc A 0
静矩
第四节 纯弯曲时正应力
一、几何关系 二、物理关系
y
E
E
y
三、静力学关系
ydA M
A
第四节 纯弯曲时正应力
求解得应力计算式：
My
2
y dA
A
2 A
挠度
dw1 dx
1 0
得：
f中与 fmax相差
位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
由于内力 因此
是载荷
的线性函数。
同理，结构中的位移 （如 u,, w, ） 也是载荷
的线性函数，故也有
w wF wq wm
F q m
称为叠加原理
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表13.2
F
Fb h
l
解：曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。
压平后与刚平面接触——地面对梁有均布支持力q。
F
F 由平衡条件得：
ql 2F, q 2F
q
l
例题
例 题 13-12
F
Fb
ql 2F, q 2F
h
l
均布载荷简支梁
F
l
q
的弯曲挠曲线为：
F w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
与w轴及m的符号规定有关挠曲线近似微分方程ei计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程eidxeidxdwcxdxdxei其中cd为积分常数对分段的mx每段有2个常数若分n段有2n个常数
第4章 梁的变形分析与刚度问题
1.弯曲变形的描述
w
(x) 挠曲线（轴）
(x)
w(x) x
x F
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
挠度连续 转角连续
w w i xxi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i1 xxi
i xxi
i1 xxi
仅挠度连续，转角不连续
A w1(x) w2(x) C lB l
B点挠度连续 w1 xl w2 xl
化工设备机械基础-弯曲扭矩
1 4
P
L
1 4
27.5
2.4
16.6kN.m
由型钢表查得16号工字钢的Wz=141cm3
max
M max WZ
16.5103 141106
117.86MPa 120MPa
2019/11/20
37
例3-6：选择工字钢型号。
P1
P2
已知：
P1 15kN , P2 21kN
a RA 4.83m q
M max
RA (a
2)
1 2
qa2
6.04kN
m
2019/11/20
27
第四节 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律
一、纯弯曲的变形特征
2019/11/20
28
二、中性层的概念及性质:中性层 中性轴
mn
a
a
o
o
b
b
mn
变形前
x 中性轴
z y
现象：
① mm,nn 变 形 后 仍 为 直 线。
2019/11/20
剪力斜率：d
2M (x) dx2
dQ(x) dx
q(x)
23
若梁上无均布荷载，剪 力图为一平行于x轴水平 线。集中力偶作用处剪 力图无变化，弯矩图出 现突变，突变的绝对值 等于集中力偶的数值。
弯矩斜率：dM (x) Q(x) dx
2019/11/20
剪力斜率：d 2M (x) dx2
RA x2
P(x2
a)
Pb l x2
第四章(弯曲挠度3-Lu)
§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
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EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
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3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
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EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
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F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
材料力学第4章-弯曲强度1
T
T
切应变
γ
φ r0 l
扭 转/薄壁圆轴的扭转
扭转回顾
剪切胡克定律
G
G——材料的剪切弹性模量
dy
dz
dx
切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截 面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
扭转回顾
圆轴扭转时
横截面上切应力
FS FAy F1
剪力与弯矩
三、实用法则
左顺右逆，M为正。
弯矩：考虑横截面左侧梁段时，顺（逆）针旋转的外力
矩产生 +（-）弯矩，（右侧相反）， 代数和结果为 + (-)时，弯矩为 + (-) 注：对任一侧梁段，向上（下）的外力产生 +（-）弯矩
a F1
M M
F2
b
x FAy
FQ
FS
F FQ S
例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。 qa qa q 解：2.求内力
2
D左邻截面：
FSD左 qa 1 4
a 2 )
C
A a a 1
4
D a
qa
B a 7
4
E
qa
3 4 1
4
qa
qa a
C
FAy
q A a FAy
FBy
qa
M D左 qa (a 5 4 qa
剪力图和弯矩图
三、列方程法作剪力图和弯矩图
例 2 作图示梁的内力图。 解： 1.求支反力 2.列内力方程
FS x ql 2 qx
q A
材料力学课件4第四章弯曲内力4-3(附录I)
h
O
x
b
dA=b· dy
y dy y
O
h
x
b
bh I x = y dA= y bdy A h / 2 12
2 h/2 2
3
( 公式熟练掌握：宽×高3/12） 同理：
hb I y = x dA= x hdy A b / 2 12
2 b/2 2
3
例I-4：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y d
将有关尺寸(mm)标在图中 y' C2
250
C1
O'
x
98 .3 26 .7
C3
26 .7
19 .21
y 0
A 24.1mm A x 4491(19.21 26.7) 2 2030 0 x
i i
.
4491 2 2030
将有关尺寸标在图中，标形心轴x-y轴 y y' 24 .1
Sx A
组合图形计算形心坐标的公式(I—2a)为：
x
A
xdA A
Sy A
S A
y ,i
Ax A
i i
y
A
ydA A
Sx Sx ,i A i yi A A A
(I—4)
形心坐标的公式(I—2a) 可改写为：
Sy Ax
常用，掌握
Sx Ay
(2) 由
Sx Ay
Sy Ax
2
y
bh h bh Sx Ay 2 3 6
h
C
b
h/3 x
补例：计算如图(a)的静矩Sz ,Sy, 图(b) Sz 。
材料力学 第4章 弯曲强度-3
z
z
h h/b = 2 wz=0.236
D
wz=0.141
b
h/b = 10 wz=0.527
材料
第四章 弯曲强度：梁的合理强度设计
力学
采用变截面梁
设计目标： 使梁所有横截面的最大正应力等于许用应力 —— 等强度梁
悬臂梁等强度设计
材料
第四章 弯曲强度：梁的合理强度设计
力学
实用近似等强度梁
✓ 确定FP加在辅助梁的什么位置
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
✓ 确定FP的位置 令： 解出 ： 得到 ：
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
✓ 确定辅助梁所需要的 工字钢型号
因此，Mmax=M (x=2.667 m)
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
✓ 确定辅助梁所需要的 工字钢型号
由强度条件
max
M max Wz
[ ]
由此，可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量：
Wz
M max (B)
[ ]
300kN 103 160MPa 106
1.875103 cm3
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
✓ 确定辅助梁所需要的工字 钢型号
由工字钢型钢表中查得 50a工字钢 Wz = 1.860×103 cm3 50b工字钢 Wz =1.940×103 cm3
(10×106)×(139) 403×105
(10×106)×(-61) 403×105
= 30.3 MPa = -69.0 MPa = 34.5 MPa = -15.2 MPa
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( x a )2
w2
Fb( l 2 b2 )
Fb
x
6 EIl
6 EIl
x3 F 6 EI
( x a )3
当a b时，wmax应在AD段。
F
a
b
由w1 0，x0
l2 b2 。 3
A
x
y
CD l
Bx
wmax
w1
x x0
Fb（l 2
b
） 2
3 2
。
9 3EIl
wc
w1
x
l 2
Fb（3l 2 4b2）。 48EI
1
w
<<1
( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
( x) EI z
A y
w M x
EI z
θ
p
C
w
p
C
θ
B x
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O
x
O
x
M
M
y
M<0
w" > 0
M
M
y
M>0
w"< 0
w M x
EI z
w M x
EI z
—— 挠曲线近似微分方程
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0.0625 Fbl 2 。 EI
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有 拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
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总结：
➢挠曲线的微分方程：E I w "= - M (x)
➢数学求解： EIw EI M( x)dx C
EIw1
Fb l
x
HOHAI UNIVERSITY
EIw1
Fb l
x
F
a
b
EI w 1
EI 1
Fb 2l
x2
C1
A
CD
Bx
x
EIw 1
Fb 6l
x3
C1x
D1
y
l
Fb DB : M ( x ) x F ( x a )
l
EI w 2
Fb l
x
F(
x
a
)
EIw2
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
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当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右 移 至B点 时 ，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax
Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
F
wc
Fbl 2 16 EI
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第四章 弯曲变形
—— 梁的挠度计算
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§4-7 梁的变形
θ
p
A
C
w
p
B x
C
θ
y
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平
面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
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§4-9 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即位 移边界条件确定。
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EIw EI M( x )dx C
θ
p
A
C
w
p
B x
y
C
θ
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位
移w。
w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=dw (x)/dx=w'(x)——转角方 程。顺时针为正。
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§4-8 梁的挠曲线近似微分方程
EIw [ M(x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
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例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的 转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。
设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
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x a )2
C2
EIw 2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
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F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
EI 2EI
A
Flx 2 Fx 3
w
y
2EI 6 EI
F
Bx
θmax
wmax
l
当 x = l 时：
max
w
xl
ห้องสมุดไป่ตู้
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
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例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
q
A
B
l
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解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
FAy
FBy
1 2
ql
A
M ( x) ql x qx2
q l
Bx
2
2y
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3
qx4
EIw
Cx D
2 23 234
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边界条件
x0: w0 xl: w0
q
A
θA
y
wmax θB
Bx
l
得:C ql 3 24 , D 0
w
ql 3
ql
x2
q
x3
24EI 4EI 6 EI
ql 3
ql
w
x
x3
q
x4
24EI 12EI 24EI
5ql 4
wmax
w
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
AD :
w1
1
Fb( l 2 b2 6 EI
)
Fbx 2 2 EIl
w1
Fb( l 2 b2 ) x Fb
6 EIl
6 EIl
x3
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DB :
w2
2
Fb( l 2 b2 ) 6 EIl
Fb 2 EIl
x2
F 2 EI
解：
A
1o M( x ) F( l x )
l
2o EIw M ( x ) y
Fl Fx
积分：
EIw' EI Flx Fx2 2 C
EIw Flx2 Fx3 Cx D 2 23
边界条件:
x 0:
w 0 w0
C0
D0
F Bx
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w Flx Fx 2
x
l 2
384EI
A
x0
ql 3 24EI
B
xl
ql3 24EI
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例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
CD
Bx
求支座反力。
x
y
l
FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
AD :
M ( x ) Fbx , l