材料力学弯曲刚度
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材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
机械工程中塑料材料力学性能测试及分析
机械工程中塑料材料力学性能测试及分析塑料材料广泛应用于机械工程领域，例如汽车零部件、家电产品等。
塑料的力学性能对于产品的质量和可靠性至关重要。
因此，进行塑料材料力学性能测试及分析具有重要意义。
一、拉伸强度测试拉伸强度是衡量塑料材料抗拉断能力的指标之一。
拉伸强度测试通常使用万能试验机进行。
首先，将塑料样品制备成标准尺寸，然后将样品夹于两个牵引夹具之间。
通过施加拉力，逐渐增加载荷直到材料断裂。
测试过程中，记录下拉力和拉伸位移的变化，从而得到应力-应变曲线。
根据应力-应变曲线，可以计算出材料的拉伸强度和断裂伸长率等指标。
二、冲击韧性测试塑料材料的冲击韧性是衡量其抵抗冲击破坏能力的指标。
常见的冲击韧性测试方法有夏比冲击强度测试和缝合剪切冲击强度测试。
夏比冲击强度测试使用夏比冲击强度试验机进行，将样品定位在夹具中央，在弗拉尔奇试样上以标准速率施加冲击载荷，通过测量样品破裂后的能量吸收来评估材料的冲击韧性。
缝合剪切冲击强度测试则是采用剪切冲击试验机进行，通过测量材料在不同温度下的缝合剪切冲击强度，评估材料的冲击性能。
三、硬度测试硬度是一种衡量材料硬度和抗刮伤能力的物理性能参数。
常见的塑料材料硬度测试方法有巴氏硬度测试和仪表硬度测试。
巴氏硬度测试是通过将巴氏针尖压入材料表面，根据巴氏硬度计示数来评估材料的硬度。
仪表硬度测试则采用仪表硬度计进行，常用的仪表硬度测试方法有布氏硬度、维氏硬度和洛氏硬度等。
四、刚度测试刚度是指材料对应力的抵抗能力，对塑料材料而言，刚度直接影响材料的承载能力、变形行为等。
常见的刚度测试方法有弯曲刚度测试和剪切刚度测试。
弯曲刚度测试通过施加弯曲载荷，测量材料在不同弯曲跨度下的挠度来评估材料的刚度。
剪切刚度测试则是通过测量材料在剪切荷载作用下的变形量和应力来评估材料的刚度。
综上所述，机械工程中塑料材料的力学性能测试及分析对于评估材料的质量和可靠性具有重要意义。
通过拉伸强度测试、冲击韧性测试、硬度测试和刚度测试等方法，可以全面了解塑料材料的力学性能，为机械工程应用提供科学依据。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
材料力学-梁的弯曲刚度
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的 噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角， 从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得梁 在支承A、C二处的约束力分别如图 中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立 弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩， 只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各 截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
对于小挠度问题
d2 X ( dx2
)2
d2Y ( dx2
)2
d2Y dx2
1M EI
d2Y dx2
d2w dx2
M EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取 向有关。
何斌
Page 17
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
d2w 0,M 0
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
何斌
Page 6
材料力学 何斌
第6章 梁的弯曲刚度
梁的挠度与曲率
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲 刚度之间存在下列关 系：
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的 噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角， 从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得梁 在支承A、C二处的约束力分别如图 中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立 弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩， 只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各 截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
对于小挠度问题
d2 X ( dx2
)2
d2Y ( dx2
)2
d2Y dx2
1M EI
d2Y dx2
d2w dx2
M EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取 向有关。
何斌
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材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
d2w 0,M 0
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
何斌
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材料力学 何斌
第6章 梁的弯曲刚度
梁的挠度与曲率
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲 刚度之间存在下列关 系：
圆管的弯曲刚度和强度分析
ag2 2
+
bg2 2
+ 3agbg
⎤ ⎥ ⎥
和椭圆面积
A
=
πag
⋅ bg
⎦
的公式, 并依据圆和椭圆方程, 在扁化过程周长 l0 = l 不变的前提下, 计算求得扁
化率 ζa
= ag rga
和ζb
= bg rga
的关系如图
7(a)所示,
面积缩小率 A A0
与扁化率 ζ a 的关
σ = My .
(20)
I
以纯弯为例, 弯曲过程中应力仅为截面上的单向正应力 σ . 由图 4 可知, 当
ymax
= rgb 时,
横截面的最大正应力为 σ max .
由(20)式可知 σ max
=M I rgb
,
可见圆
管的 I rgb 越大, 圆管承受弯矩能力越大.
图 4 圆形管的正应力分布
2.2 圆管弯曲的截面扁化 图 5 为圆管承受弯矩 M 时的受力状况, 在横截面上沿管壁纵截面的切向上
穷大. 由于已设定了单位长度的圆棒和圆管的质量相同, 这就要以增大管径并减
小管壁厚为代价. 但是, 在工程中以显著不增加半径, 并能减小质量增大截面弯
曲刚度为宜.
由图 3 可见, 选定 n = 0.7 为佳, 并将其代入(19)式可得 k ≈ 3 , 即在质量相等
的条件下, 使截面刚度增大 3 倍.
ρ
A
ydA
=
−
E ρ
Sz
=
0,
Sz =
ydA 定义为横截面对 z 轴的
A
静矩, 由上可知 Sz = 0 , 所以中性轴 z 一定通过棒的中心. 由力矩平衡可知, 微内力 σ dA 对 y 轴的合力偶矩等于作用于横截面上弯矩
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×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
例题3
2.由挠度表查得三种情形下C
截面的挠度和B 截面的转角。
5 ql 4
w C 1 384
, EI
wC2
1 48
ql 4 ,
EI
w C3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 , EI
B2
1 16
ql 3 ,
EI
B3
1 3
ql 3 EI
,
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
3. 应用叠加法，将简单荷载 作用时的结果分别叠加。
1. 小挠度微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数 。细长
梁可以略去剪力对梁的位移的影响, 则
力学中的曲率公式
1
x
Mx
EI
d2w
1
dx2
数学中的曲率公式
x
3
1
d
w
2
2
dx
-y
中性层曲率中心
y d
A' A'
O'
y O'
z dx
x
变形后
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
第6章 弯曲刚度
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
1. 叠加法前提
★ 在小变形，服从胡克定律的前提下 挠度、转角与荷载均为一次线性关系
实用的工具：挠度表（P157） 为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定
梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一 一列出，并形成手册。
于是有
转角
C
Bx
w 挠度
C'
B'
挠度与转角的相互关系
w dw
dx
6.1 梁的变形与位移
■ 挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：顺时针转为正，逆时针转为负。
A 挠曲线
w
转角CLeabharlann BxC'
w 挠度
B'
第6章 弯曲刚度
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
3
11q4l
wCi1wCi38E 4 I,
B
3
Bi
i1
11ql3 48EI
处理具体问题时的注意点
讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤 ● 将其分解为各种荷载单独作用的情形 ● 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角 ● 将所得结果叠加
思考题4
二梁的受力(包括荷载与约束力)是否相同？ 二梁的弯矩是否相同？ 二梁的变形是否相同？ 二梁的位移是否相同？ 位移不仅与变形有关，而且与约束有关。
d2w
dx2
3
1
d
w
2
2
M x
EI
dx
小挠度情形下
2
dw2
1
dx
d2w Mx
dx2 EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w坐标的取向有关。
本书规定的坐标系为： x 轴水平向右为正, w 轴竖直 向下为正。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
o
x
M
M
o
M
x d2w M
的铅垂位移。
转角slope（）：变形后的横截面相对于变形前位置绕中
性轴转过的角度。
转角
A
C
B
x
挠度w
C'
w B'
6.1 梁的变形与位移
转角
A
C
B
x
挠度w
C'
w B'
轴向位移（ u ）：横截面形心沿水平方向的位移。
在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠 度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。
6.1 梁的变形与位移
EI
对于等截面梁，弯曲刚度为常量时
积分一次： ddw xl MEIxdxC
（转角方程）
积分二次： w M E (x)Id x d xC xD（挠度方程）
式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
3. 小挠度微分方程积分常数的确定 ——梁的约束条件（边界条件和连续性条件）
第6章 弯曲刚度
各种车辆中用于 减振的板簧，都是 采用厚度不大的板 条叠合而成。
可以承受很大的力而不发生破坏 能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和 冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。 利用弯曲变形（刚度问题）
第6章 弯曲刚度
静不定梁
F
A
B
1/2L
1/2L
1 FL 32
(+) 9 FL 512
重要的方法：叠加法（superposition method） 应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下
的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下 的挠度与转角。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
解： 2. 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段
M 1x3 4FPx 0x4 l
BC段
M 2x 3 4F P x － F P x － 4 l 4 l x l
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
M 1x3 4FPx 0x4 l M 2x 3 4F P x － F P x － 4 l 4 l x l
形状及位置。
思考题1
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质以及
约束条件，画出梁的挠度曲线 的大致形状。
×
×
×
√
思考题2
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质以
及约束条件，画出梁的挠度 曲线的大致形状。
×
×
×
√
思考题3
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质
以及约束条件，画出梁的 挠度曲线的大致形状。
例题2
积分后，得
E Id d 2 x w 2 1 M 1x 4 3F P x 0 x4 l
E Id d 2 x w 2 2 ＝ － M 2 x － 4 3 F P x ＋ F P x － 4 l 4 l x l
EI18 3FPx2 C1
EI1 w 8 1FPx3C1xD 1
Nanjing University of Technology
材料力学 (6)
材料力学
第6章 弯曲刚度
第6章 弯曲刚度
工程中的弯曲变形问题
限制弯曲变形 （刚度问题）
第6章 弯曲刚度
机械传动机构中的齿轮 轴，当变形过大时(图中虚 线所示)，两齿轮的啮合处 也将产生较大的变形。
影响两个齿轮之间的啮合 加大齿轮磨损，产生很大的噪声 机床主轴的挠度过大会影响加工精度； 限制弯曲变形（刚度问题）
6.1 梁的变形与位移
1. 基本概念
■ 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 （向右为正） ，横截面的铅垂对称轴为 w 轴（向下为 正） ， x w 平面为纵向对称面。
■ 度量梁变形
后横截面位置改
A
变，即位移，有
三个基本量。
w
B x
B'
6.1 梁的变形与位移
挠度deflection（ w）：横截面形心 C （即轴线上的点）
梁的边界条件
①在固定端处：
x 0 , A w A 0 , w 0
A
Bx
w
②在固定铰支座和滚动铰支座处：
A
w
l
x0, w A0;
B x
xl, w B0.
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
梁的连续性条件
①在集中力作用处：
P
A
C
B
wC wC
C
C
M
A C
②在中间铰处： B
a
l
wC wC
练习
例题1
E Iw 'E I1qlx3C
6
EIw1qlx4CxD
24
C ql3 , 6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24 q E I lx44l3xl4
6q EIlx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最
大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
M
dx2 EI
w
d2w
M0, dx2 0
w
M0, dd2xw2 0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
dd2xw2 ME(xI) （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
d2wM(x)
dx2
写出下图的边界条件、连续性条件：
F
A
C
a
b
l
x0,wA0