工程力学基础课件：第9章 弯曲刚度

例：利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁B点的挠度 以及B点
左右两截面的相对转角。
q
Ax
l EI
B
EI l
Cx
y
解：坐标系如图，分AB、BC两段分析：
AB段： 0 x l M x 1 ql x2
2
则：
EIw1
M
x
1 2
ql
x2
积分可得：
EIw1
1 6
ql
x2
C1
EIw1
1 24
ql
x4
C1x
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截 面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
C
C
查表：
5q / 2l4 5ql4
wC1
384EI
768EI
A1
q / 2l3
24EI
ql 3 48EI
由对称性 wC2 0
将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分 别视为受集度为 q/2 的均布荷载 作用而跨长为 l/2 的简支梁。
D1
BC段：
A
l x 2l
M x 0
q
B
EI
C
l EI
l
则： EIw2 0
积分可得： EIw2 C2
EIw2 C2x D2
确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：
（1）约束条件： a) x 0 时， w2 w2 0
由此可得：
C1
1 6
ql
3；D1
ql 4 24
b) x 2l 处， w2 0 则： 2lC2 D2 0
d 2w M (x)
dx2
EI
注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对应 于负值的w" ，故得挠曲线近似微分方程
w M x
EI 梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？
Ⅱ、挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w M x
EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
EI
7ql 3 24EI
三、按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和
转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载
或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷
载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计
算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
适用条件
小变性条件（几何线性）
材料遵循胡克定律（物理线性）
P1
P2
小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响。
例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角θA 及 θB。
解：此梁 wC 及θA，θB 实际上可不按叠加原理而直接 利用本教材附录Ⅳ表中的公式得出。
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得 梁的挠度方程和转角方程
积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： EIw M x
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。
④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
边界条件包括支座处的约束条件和相邻两段梁在交 界处的连续条件
梁的约束条件(constraint condition)
固定和可动铰支座
固定端 滑动固定端
自由端
w=0 =~ FS= ~ M=0
w=0
=0
FS = ~
M= ~
w= ~ =0 FS =0 M= ~
w= ~ = ~ FS =0 M=0
（2）连续条件：x l 处， w1 w2
则： C1l D1 C2l D2
故：C2
1 8
ql 3
A
D2
1 4
ql 4
q
B
EI
C
l EI
l
最后可得：
wB
w1 xl
C1l D1 EI
ql3 8EI
（向下）
B点左右两截面的相对转角为：
B
w1 w2 xl
C1 C2 EI
8 ql3 1 ql3 68
第9章 弯曲刚度
一、梁的位移——挠度及转角 二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分 三、按叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施
一、梁的位移——挠度及转角
梁的强度: 保证梁具有足够抵抗破坏的能力 梁的刚度: 保证梁不发生过大的变形
过大变形的危害 ➢例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。
位移条件
静力条件
梁的连续条件(continuity condition)
相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角， 即满足连续、光滑条件
EIy1 M1(x) EIy2 M 2 (x)
M1(x) RAx
a
M2(x) RAx P(x a)
位移的连续条件 y1(a ) y2 (a )
I、梁的(近似)挠曲线二阶微分方程
1M
EI 等直梁在线弹性范围内纯
弯曲情况下中性层的曲率
1 M (x)
(x) EI
1
x
1
w w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/ρ为度量平面曲线(挠曲线) 弯曲变形程度的非负值的量，而w"是θ = w' 沿x方向的变化率， 是有正负的。
小变形条件： (1 w'2 )3/ 2 1
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量
图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩 Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相 同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向 下为正，向上为负；顺时
针转向的转角为正，逆时 针转向的转角为负。
二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1(a ) 2 (a )或y1(a ) y2 (a )
在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）
积分法求梁的变形
对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' M (x)
对此方程连续积分两次，可得
Ely'(x) M (x)dx c1 力
➢例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。 几个重要概念：➢挠曲线 ➢挠曲线方程，即y=y(x) ➢挠度 ➢转角
挠曲线: 梁变形后的轴线，称为挠曲线
横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程。是一 条位于载荷平面内的光滑连续曲线
转角方程
tg y
横截面的形心在垂直于 横截面在xy平面的角位移，称为转角， 轴线（x轴）方向的线位 用θ表示。横截面的转角 也就是挠曲线 移，称为挠度，用y表示 在该相应点的切线与x轴之间的夹角