弯曲应力和强度计算工程力学
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学(静力学与材料力学)横弯剪应力
7.4.2 挤压的 实用计算
接触构件材料不同时，以低的 为准
挤压的概念
挤压（Bearing）：联接和被 联接件接触面相互压紧的现象 称“挤压”。下图就是铆钉孔 被铆钉压成长圆孔的情况。
精确理论复杂，采用工程算法， 假定挤压力均匀分布。
Bearing stress :塑性材料的许用挤压应力，一般 1.7~2.0 [б]
A *
x
Mzy, Iz
dx
dMzy Iz
其中
第7章B 弯曲
A*
强度(2)－应 F N d F N ´F N d x 0
力分析与强 度计算
FN * xdA, dFN * dxdA
A*
弯曲剪 A*
dFN*
应力分析
dxdA
A*
d x
dM z y Iz
1 dMz ydAFQSz*
Iz dx A*
第7章B 弯曲 强度(2)－应 力分析与强度
计算
弯曲强度计算
基于最大正应力的强度条件
与拉、压杆的强度设计相类似，工程设计中，为了保证梁具有足够 的安全裕度，梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力，许用应力等 于s或b除以一个大于 1 的安全因数。于是有
m
a
x
s
ns
m
a x
b
nb
上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，又称为弯 曲强度条件，式中[]为弯曲许用应力；ns和nb分别为对应于屈服强度和强 度极限的安全因数。
q
8 kNm
C
A
B
FRA
FQ k N
FRB
22
x
M kNm
18 1800 16.2
x
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学：弯曲应力
Q 的4 A3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴
上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若以
S
* z
m
a
x
表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴
的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
m axQ m aI xz S b z *m ax 79
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
2
max
3Q 2bh
3Q 2A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的 1.5倍。
2. 工字型截面梁的剪应力 主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。
可按照矩形截面梁的剪应力公式计算：
Q
S
* z
I zd
式中：d —腹板宽度
S
* z
—图中因阴影部分面积对中性轴之
静矩。
图 7-5
IQ zdb 2(h 42h 4 12)d 2(h 4 12y2)
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直 线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长 。
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
工程力学2第五章 弯曲应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN
M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m
x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
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的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单
向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ]，即
max
M max Wz
≤[σ]
（3.10）
式(3.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是，
式(3.10)只适用于许用拉应力[σl]和许用压应力[σy]相等
的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
相应地，抗弯截面系数为
Wz
Iz ymax
=
bh 2 6
(3.7b)
2. 圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的
惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图3-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(3.8a) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图3-3)，微面积上的 微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对
中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0 和 A
M= ydA 将σ=Ky代入以上两式，得 A
FN= KydA 0 A
第三章 弯曲强度与刚度
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力 3.2 梁弯曲时正应力强度计算 3.3 弯曲切应力简介 3.4 梁的弯曲变形与刚度 3.5 提高梁的强度和刚度的措施 小 结
返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.1 纯弯曲变形
一般情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上 的某点而言，则既有正应力又有切应力。但是，梁的强度主 要决定于横截面上的正应力，切应力居次要地位。所以本节 将讨论梁在纯弯曲(截面上没有剪力)时横截面上的正应力。
1. 矩形截面的惯性矩Iz
图3-4矩形截面，其高度为h，宽度为b，通过形心O的轴为z和 y。为了计算该截面对z轴的惯性矩Iz，可取平行于z轴的狭长 条为微面积，即dA=bdy，这样矩形截面对z轴的惯性矩即为
Iz=
y 2dA h / 2 by 2dy bh3
A
h / 2
12
(3.7a)
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(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定
律，它们的正应力也相等。
(3) 横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ=Ky，或
K=，K为待定常数，如图3-2所示。
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.3 弯曲正应力的计算
一矩形截面等直梁如图3-1a所示。梁上作用着两个对称的集
中力F，该梁的剪力图和弯矩图如图3-1b、c所示，在梁的CD
段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数， 这种弯曲称为纯弯曲。
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.2 正应力分布规律
根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规 ； b——矩形截面的宽度。
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3.3 弯曲切应力简介
3.3.2 典型截面梁的最大切应力计算
常见典型截面梁如工字形、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应
力发生在中性轴上， 工字形截面：
如图ma3x-8所AF示腹Q ，其值分别（为3.15）
圆形截面：
其抗弯截面系数为
Wz
d 3
32
(2) 圆环形截面(图3-6)的惯性矩
(3.8b)
Iz
(D4
64
d4)
D 4
64
(1 4 )
(3.8a)
其抗弯截面系数为
Wz
D 3
32
(1 4 )
(3.8b) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3. 组合截面的惯性矩Iz
设有一平面图形，通过形心C点的轴线zC与相互平行的z轴的距离 为d，若图形面积为A，对于zC轴的惯性矩为IzC，则此图形对于z
故有
KIz=M
将 K=
代入式(3.3)，得
y
My
Iz
式(9.4)即为梁的正应力计算公式
(3.3) (3.4)
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.4 常用截面的惯性矩的计算
为了应用公式（3.4），必须解决惯性矩Iz的计算问题。根据
Iz= y 2dA 即可导出梁的截面为各种形状时的Iz的计算公 式。 A
M=
Ky 2dA
A
（3.1）
（3.2）
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
式（3.1）中， ydA =yc·A=S z*，为截面对z轴的静矩， A
故有
yc·A＝0
显然，横截面面积A≠０，只有yc＝０，说明中性轴z轴通过截面
形心。
式（3.2）中， y 2 dA 为截面对z轴的惯性矩，记作Iz，单位为m4 或 mm4。 A
的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸和压缩分
别建立强度条件，即
σl max≤[σl], σy max≤[σy]
(3.11)
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3.3 弯曲切应力简介
3.3.1 矩形截面梁上的切应力
设矩形截面梁的横截面宽度为b，高为h，且h>b（图3-7），横 截面上剪力为FQ。梁横截面上的切应力的分布比较复杂，对于
矩形截面梁可以作以下二点假设：
（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ方向相同。
（2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应 力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴
为y处的切应力计算公式为：
FQ
S
* z
Izb
(3.12)
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3.3 弯曲切应力简介
式中：FQ——横截面上的剪力； SZ*——距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静
轴的惯性矩
Iz=IzC+Ad2
(3.9)
即截面对任一轴z的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴zC的
惯性矩，加上截面面积与两平行轴距离平方之积。式(3.9)称为 惯性矩的平行移轴公式。
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3.2 梁弯曲时正应力强度计算
3.2 梁弯曲时正应力强度计算
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够
max
4FQ 3A
（3.16）
圆环形截面：
max
2
FQ A
(3.17)
式(3.15)中，A腹=ht；式(3.16)和(3.17)中A为横截面的面积。
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3.3 弯曲切应力简介