3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件

第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
x x x x x x x
ˆ , r 2 ] 0,[ L ˆ ,r 2] 0 0 0 y (i z ) (i z ) y z (i y) i yz 0 [ L y z
2 2 2 ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] [L ˆ ˆ ˆ ] [ L ] [ L 又因为 [ L x y z]
ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ x[L ˆ x ] [L ˆx]p ˆx p ˆ y[L ˆ y ] [L ˆ y]p ˆy p ˆ z[L ˆ z ] [L ˆz]p ˆz p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ2] p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z ]p ˆz [L [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L x x x x x x x y x y x y y z x z x
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Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ 的共同本征函数为: ˆ,G 设: F n
n aini
i 1
sn
^ 的本征函数,本征值为f . 显然:n是 F n ^ 的本征函数,令 为了 也是 G
ˆr ˆ p ˆ 2,角动量算符的对易式: L
ˆ ,L ˆ ] L ˆ L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [L x y x y Ly Lx ( ypz zp y )( zpx xpz ) ˆ ˆ x xp ˆ z )( yp ˆ z zp ˆ y ) ( yp ˆ x xp ˆ y )( p ˆ z z zp ˆz) i L ( zp z
二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation) 1,定理1 :如果两个算符F和G有一组共同的本征函数 φn ,而且组成完备系,则算符F和G对易. ˆ g ˆ f , G 证明:设 F n n n n n n
ˆ ˆ ) f g g f 0 ˆ ˆ GF (FG n n n n n n n ˆ ˆ ,[ F ˆ] 0 ˆ ˆ GF ˆ,G 即有 FG
1,基本对易式:
ˆ , p ˆ ] i , [x 1 ( ) 0 ( )
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ x x ˆ x x xp ,p ( x ) x i x i x i x i
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators) 二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation) 三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation )
i
, sn )
ˆ g ˆ f , G 满足 : F nj n nj nj j nj
^、 ^ 的共同本征函数,本征值分别为f ,g 即: nj 是 F G n j
^属于f 的s 个本征函数 所以: F n n ni ^ 的s 个本征值g 来分类 可按 G n j 一组(fn,gj ) 确定的本征函数nj ,sn 度简并解除.
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
ˆˆ x p ˆxx ˆ) [ x ˆ, p ˆx] i ( xp
ˆˆx p ˆxx ˆ) x ˆ, p ˆx i ( xp ˆˆy p ˆyy ˆ) [ y ˆ, p ˆy] i ( yp ˆˆ ˆzz ˆz] i ˆ) [ z ˆ, p ( zpz p
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②,若 det(Gji g ji ) 0 有重根:则还需再找出 ^、 ^ 对易的力学量,才能确定体系的状态. 与F G ^、G ^ 的本征函数 构成完全系,所以 F ^ 因为 F nj 的共同本征函数也组成完全系. 对易关系的物理意义: 若两算符对易,则两算符存在共同本征 函数.在其共同本征函数所描写的态中, 两算符表示的力学量同时有确定的值.
ˆL ˆ i L ˆ 角动量算符定义: L
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ ,x [ L ˆ ˆ ] i x ˆ ˆ ] i p ˆ 同理可证: [ L , p ˆ2 ˆ [ L , L ] 0, ( x, y, z )
sn
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sn
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* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2,
sn
a G
i 1 i
sn
i 1
又因fn 是无简并的,所以:
ˆ 与 描述同一状态,两者只差一个常数. G n n ˆ g ,即 也是G ˆ的本征函数 G
n n n n
ˆ, F ˆ的共同本征函数 结论 : n是G
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
n
ˆ G ˆ a g a g 是 G ^ 的本征值 G i ni i ni n
i 1 i 1
sn
sn
* 同时左乘 nj ,积分
* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2, i 1 i 1 sn sn
ji
g
i 1
sn
i 1
sn
* ˆ * G G dx , ai ji ji nj ni ji njni dx
(G
i 1
sn
ji
g ji )ai 0 线性齐次方程组
det(Gji g ji ) 0 aij ,( j 1, 2,..., sn )
2,定理2 :如果两个算符F、G对易,则这两个算符有 共同的本征函数,这些本征函数组成完备系. ˆ f GF ˆ ˆ f G ˆ 证明:(1),非简并,设 F n n n n n n
ˆ ˆ ˆ f G ˆ ] 0,GF ˆ ˆ FG ˆ,G ˆ ˆ FG [F n n n ˆ 也是F ˆ 本征值为f 的本征函数 即G n n
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ˆ x , F ( x)] i [ F F ] [p x x
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ˆ 2 ˆ ˆ2] 0 [ L , r ] 0,[ L ,p [例题]证明(原课件): ˆ , r 2 ] [L ˆ , x2 ] [ L ˆ , y2 ] [L ˆ , z2 ] 解:因为 [L ˆ , x] [L ˆ , x]x y[L ˆ , y] [ L ˆ , y] y z[L ˆ , z] [ L ˆ , z]z x[L ˆ , r 2 ] x[ L ˆ , x] [ L ˆ , x]x y[ L ˆ , y] [ L ˆ , y ] y z[ L ˆ , z] [L ˆ , z ]z [L