江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019_2020学年高一数学下学期期中试题
2019-2020学年江苏省扬州中学高一下学期5月月考数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省扬州中学高一第二学期5月月考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0 8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]二、填空题（共4小题）.13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的，1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．解：直线x+y+2＝0可化为y＝﹣x﹣，∴直线的斜率为﹣，∴α＝150°故选：D．2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【分析】由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，即可求出B的度数．解：∵a＝4，b＝4，A＝30°，∴由正弦定理＝得：sin B＝＝＝，∴B＞A，故选：B．3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，变形解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则有（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞6，即4+4m＞0，解可得m＞﹣1，即m的取值范围为（﹣3，+∞），故选：C．4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）＝0，故有A﹣B＝0，得到△ABC为等腰三角形．解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．故选：D．5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用基本不等式即可得出．解：∵x＞1，∴+8＝5．当且仅当x＝3时取等号．故选：C．6．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解：把x2+y2﹣8x+6y+9＝8化为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，又x2+y2＝9，所以两圆心的坐标分别为：（8，﹣3）和（0，0），两半径分别为R＝4和r＝3，因为4﹣2＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0【分析】两直线垂直斜率乘积为﹣1，再根据已知条件从选项判断答案．解：设直线l为x﹣2y+3＝0，求直线m．因为两直线垂直，斜率乘积为﹣1，故与直线l 垂直的斜率为﹣2，排除B、C选项，又点（﹣1，﹣3）在直线m上，所以答案为D选项．故选：D．8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．解：角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x4，），∴sin（α+）＝，∴sin2α＝﹣cos2（α+）＝﹣1+8＝﹣1+2×＝﹣，故选：B．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，根据点Q的坐标可得点Q在直线x﹣2y+4＝0上，分析圆C的圆心和半径，求出圆心（2，0）到直线x﹣2y﹣6＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设点Q（x，y），则x＝2a，y＝a+2，有x＝2y﹣4，即x﹣2y+4＝0恒成立，故点Q在直线x﹣2y+4＝0上，圆心（2，0）到直线x﹣2y+7＝0的距离d＝＝，故选：A．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得实数a的取值范围．解：∵点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝3与线段AB有交点，而直线AB经过定点M（0，﹣2），且它的斜率为﹣a，即﹣a≥＝1，或﹣a≤＝﹣，故选：D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】在△ABE中由正弦定理求得BE的值，在△BED中由正弦定理求得sin∠BDE，再利用诱导公式求出cos∠DAC的值．解：因为∠BAD＝15°，∠BED＝45°，所以∠ABE＝30°；在△ABE中，由正弦定理得，在△BED中，由正弦定理得，又∠ACD＝90°，所以sin∠BDE＝sin（∠DAC+90°），故选：A．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]【分析】以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA 为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧，讨论O，C与AB的位置，根据圆的性质得出CD的最值即可．解：以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧（不含端点），∴OM＝1，OA＝2，即圆O的半径为2．∴OC＝＝2，∴CD的最小值为2﹣8．此时OC＝＝2，∴CD的最大值为2+2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程x+y﹣5＝0，或3x﹣2y＝0．【分析】设直线在x轴为a，y轴截距为b，当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，0），其方程为，即3x﹣2y＝0．当a＝b≠0时，直线方程为，把点（2，3）代入，得，解得a＝5，由此能求出直线方程．解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，①当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，6），②当a＝b≠0时，把点（2，3）代入，得，故答案为：x+y﹣5＝0，或2x﹣2y＝0．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是[0，）．【分析】结合图形，转化为半圆的切线的斜率可得．解：如图：y＝k（x+4）是过定点P（﹣4，0），当直线与半圆切于A点时，k PA＝＝＝，结合图象可得：直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点时，k∈[8，），故答案为：[0，）．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．解：∵直线和圆相切，∴，∴a+6b＞0，从而a+2b＝5，故ab的最大值为，故答案为：16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．【分析】以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设B（﹣a，0），C（a，0），（a＞0），则A（0，），设P（x，y），运用两点距离公式可得P在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值．解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（0，），（x+a）2+y4+（x﹣a）2+y2＝3[x7+（y﹣）2]＝3，即有点P既在（0，0）为圆心，半径为的圆上，可得|1﹣|≤≤1+，则△ABC的面积为S＝•2a•＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【分析】（Ⅰ）由l1⊥l2，得a×1+3（a﹣2）＝0，由此能求出实数a＝．（Ⅱ）当l1∥l2时，，求出a＝3，由此能求出直线l1与l2之间的距离．解：（Ⅰ）∵直线l1：ax+3y+1＝2，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝8．若l1⊥l2，则a×1+3（a﹣6）＝0，（Ⅱ）当l1∥l2时，，∴直线l1：3x+3y+2＝0，l2：x+y﹣1＝0，即l2：8x+3y﹣3＝0∴直线l1与l2之间的距离：d＝＝．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）求出抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．解：（1）抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，7），（0，3）…所求圆的圆心是直线y＝x与x＝2的交点（2，2），圆的半径是，（2）圆心C到直线2x﹣y+2＝0的距离d＝…|AB|＝2＝…19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中2B与C 的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出cos B的值，然后即可计算出a的值，再根据面积公式求解三角形面积即可．解：（1）证明：由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2ac cos B，∴，由2B＝π﹣C得A＝B，不符合条件，（2）由（3）及正弦定理得：，∴．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求出CF，CE，利用S△CEF＝，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．解：（1）由题意，△ACE中，AC＝4，∠A＝，CE＝，∴13＝16+AE2﹣2×，（2）由题意，∠ACE＝α∈[0，]，∠AFC＝π﹣∠A﹣∠ACF＝﹣α．在△ACE中，由正弦定理得，∴CE＝，S△CEF＝＝，∴α＝时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【分析】（1）由题意设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），利用垂径定理列式求得m，即可求得圆C的方程；（2）当直线AB的斜率为0时，知k AN＝k BN＝0，即k1+k2＝0为定值．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，联立圆O方程，得到韦达定理，求得k1+k2为定值．解：（1）∵圆C与y轴相切于点T（0，2），可设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），则圆C的半径为m，又|MN|＝3，∴，解得m＝，证明：（2）由（1）知M（5，0），N（4，0），当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，设A（x1，y5），B（x2，y2），则k1+k2＝综上可知，k1+k4＝0为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．【分析】（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，可得P到圆心的距离为，由P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4），利用|OP|＝2，解得x，可得（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，过P作圆的切线PC，PD，可得∠CPD≥600，在直角三角形△CPO中，根据300≤∠CPO＜900，sin ∠CPO＜1，进而得出点P的横坐标的取值范围．（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，化简与x2+y2＝4联立，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，与x2+y2＝4联立，化简可得Q的坐标，可得Q点的轨迹为：+＝，圆心C，半径R．由题可知T（﹣4，0），可得|TQ|≤|TC|+R．解：（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，则P到圆心的距离为，故|OP|＝，解得x＝﹣2，（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，在直角三角形△CPO中，∵304≤∠CPO＜900，∴sin∠CPO＜4，∴2＜≤6，解得﹣4≤x≤0，（3）设P（x3，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+7）y＝4，∴Q的坐标为（，），由题可知T（﹣4，0），∴|TC|＝＝．∴线段TQ长的最大值为3．。
江苏省扬州市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019—2020学年度第二学期期末检测试题高一数学一､单项选择题1.直线310x +=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线310x +=，则3333y x =+， 设直线的倾斜角为α， 所以3tan 3α=， 所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若60,3A a =︒=sin sin b cB C++等于（ ） A.1233 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理可求sin sin b cB C++的值.【详解】因为60,A a =︒=2sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+=====+.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，注意在ABC 中， sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++，最后一个关系式应用了比例的性质（等比定理）.3.已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相内切，则圆C 的方程为（ ）A. ()()224336x y -++= B. ()()224316x y ++-= C. ()()224336x y ++-= D. ()()224316x y -++=【答案】C 【解析】 【分析】先判断点()4,3C -在圆221x y +=的外部，然后设所求圆的半径为r ，再由15r -==求解.【详解】因为()2243251-+=>， 所以点()4,3C -在圆221x y +=的外部，设以()4,3C -为圆心的圆的半径为：r ，则15r -==，解得6r =，所以所求圆的方程为：()()224336x y ++-=. 故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果. 【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥ 所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ， 因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5.若128,,,x x x 的方差为3，则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）6 B. 3 C. 6D. 12【答案】D 【解析】 【分析】 本题可根据128,,,x x x 的方差为3以及方差的计算公式得出结果.【详解】因为128,,,x x x 的方差为3，所以1282,2,,2x x x 的方差为23212，故选：D.【点睛】本题考查方差的相关性质，若128,,,x x x 的方差为k ，则128,,,nx nx nx 的方差为2kn ，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.6.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）B.C. D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得球的表面积，设圆锥高为h ，进而可表示出母线l ，由圆锥侧面展开图为扇形，根据扇形面积公式，可求得圆锥的侧面积，加上底面圆的面积，即可表示出圆锥的表面积，结合题意可求得高h 的值.【详解】由题意可得球的表面积2244216S r πππ==⨯=，设圆锥的高为h ，则圆锥的母线l =，则圆锥的侧面积=2S rl ππ=扇，所以圆锥的表面积24216S r S ππππ=+=+=锥扇，解得h =故选B.【点睛】本题考查球及圆锥的表面积的求法，需熟记各个几何体的面积公式及求法，属基础题.7.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos a C b =，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断.【详解】由2cos 2sin cos sin a C b A C B =⇒=2sin cos sin()sin()A C A C A C π⇒=--=+2sin cos sin cos cos sin A C A C A C ⇒=+sin cos cos sin A C A C ⇒= sin cos cos sin 0A C A C ⇒-= ()sin 0A C ⇒-=A C ⇒=.所以ABC 的形状一定是等腰三角形. 故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若//,a b αα⊥，则a b ⊥ B. 若//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，则//a bC. 若//,a αβα⊥，则a β⊥D. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可通过线面平行、线面垂直、面面平行的性质判断出选项A 、B 、C 是正确的，然后绘出正方体ABCD EFGH -，再然后令平面ABCD 是平面α、平面ADHE 是平面γ以及平面CDHG 是平面β，最后结合图像即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为//a α，b α⊥，所以a b ⊥，a b ⊥，故A 正确； B 项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行， 所以根据//αβ、a αγ⋂=、b βγ=可证得//a b ，故B 正确；C 项：因为a α⊥，所以a 垂直于平面α内的两条相交直线，因为//αβ，所以平面α内的两条相交直线必与平面β内的两条相交直线对应平行， 所以a 垂直于平面β内的两条相交直线，a β⊥，故C 正确；D 项：如图所示，绘出正方体ABCD EFGH -，令平面ABCD 是平面α，平面ADHE 是平面γ，平面CDHG 是平面β， 则满足αγ⊥，βγ⊥，但是//αβ不成立，故D 错误， 故选：D.【点睛】本题考查直线与直线、平面与平面之间位置关系的判断，考查两直线平行或垂直的判定，考查两平面垂直或平行的判定，考查推理能力，可结合图形解题，是简单题. 9.在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且满足223tan 2tan 30AD BD CD B A ==-+=，，则B ∠的大小为（ ） A.6πB.3π C.4π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设1DAC ∠=∠，在相应三角形中应用正弦定理得到等量关系式，化简得到tan 3tan B A =，与已知条件联立，求得tan 1B =，利用三角形内角的取值范围，求得角的大小.【详解】设1DAC ∠=∠，因为AD BD =，所以BAD B =∠∠， 因为2AD BD CD ==，2BD ADCD CD==，1=A B ∠∠-∠，()C A B π∠=-∠+∠，sin sin()tan tan 2sin 1sin()tan tan AD C A B A BCD A B A B++====∠--，化简得tan 3tan B A =， 又因为23tan 2tan 30B A -+=， 所以有23tan 6tan 30B B -+=，解得tan 1B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，属于简单题目. 二､多项选择题10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ）A. 2120a ,B ===B. 245a ,b ===C. 3,60b c B ︒===D. 60a b B ︒===【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论.【详解】A.因为2120a ,B ===，由正弦定理得：sin sin a bA B=， 所以1206a sin B sin Ab ==因为a b <， 所以120A B <= 即A 为锐角，只有一解；B. 因为245a ,b ===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以6a sin B sin Ab === 因为a b >， 所以45A B >=，即A 为锐角或钝角，有两解；C. 因为3,60b c B ︒===，由正弦定理得：sin sin c bC B=，所以12c sin B sinC b ===， 因为b c >， 所以60C B <=， 即C 为锐角，有一解；D. 因为60a b B ︒===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以sin sin a B A b ===， 因为a b >， 所以60A B >=即A 为锐角或钝角，有两解. 故选：BD【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题.11.已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】考虑M 点在圆内时实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.12.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，6AP =，AB a .若在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π.则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】ABC 【解析】 【分析】由题，可算得3AQ =，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3a 的取值范围. 【详解】假设在直线BC 上有一点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角为3π，此时，易得3PQA π∠=，在Rt APQ 中，由于6AP =，可得3AQ =.所以，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3023a <<故选：ABC【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的存在性问题，考查学生分析问题的能力和转化能力，体现了数形结合的数学思想. 三､填空题13.口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为________. 【答案】0.8 【解析】 【分析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是10.40.20.4--=，所以摸出红球或蓝球的概率是0.40.40.8P =+=. 故答案为：0.8【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.14.已知点(1,3)A 与直线:l 340x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为___________.【答案】(5,1)- 【解析】 【分析】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出,a b 的值即可.【详解】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，则由3(3)11133++4022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪⨯=⎪⎩，解得5,1a b =-=，故点(5,1)A '-， 故答案为：()5,1-.【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.15.如图，为测量两座山顶之间的距离MC ，已知山高52km BC =，7.5km MN =，从观测点A 分别测得M 点的仰角30,MAN ∠=C 点的仰角45CAB ∠=︒以及60MAC ∠=︒，则两座山顶之间的距离MC =________km .【答案】7【解析】 【分析】根据已知分别在,Rt AMN Rt ABC △△中，求出,AM AC ，在AMC 中，用余弦定理，即可求解.【详解】在Rt AMN △中，30,2157.5,M MAN AM M N N ∠==∴==， 在Rt ABC 中，45,21052,CAB AC B B C C ∠==︒∴==，在AMC 中，2222cos MC AM AC AM AC MAC =+-⋅∠2211510215101752=+-⨯⨯⨯= 57()MC km ∴=.故答案为：57.【点睛】本题考查解三角形实际应用问题，涉及直角三角形边角关系以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16.如图，三棱锥B ACD -中，平面BCD ⊥平面ACD ，0660CD BDC =∠=，，若32BC BD AC AD ==，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.【答案】63【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出BCD 的面积，再以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设出点(),A x y ，由2AC AD =，利用两点间的距离公式求出y 的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.【详解】在BCD 中，由0660CD BDC =∠=，，3BC BD =， 设BD x =，则3BC x ，由余弦定理可得2233626cos60x x x =+-⨯⨯， 解得3x =， 所以11393sin 60362222BCDSDC DB =⋅⋅=⨯⨯⨯=过A 作AP CD ⊥，垂足为P ， 因为平面BCD ⊥平面ACD ， 所以AP ⊥平面BCD ， 即AP 为三棱锥B ACD -的高，以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0C -，()3,0D ， 设(),A x y ，由2AC AD =， ()()2222323x y x y ++=-+整理可得()22221090,516x y x x y +-+=-+=， 当5x =时，y 取得最大值4， 所以三棱锥的体积的最大值为14633B ACD BCDV S -=⋅⨯=，故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、锥体的体积公式，属于中档题. 四､解答题17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos A c B b C a += （1）求角A ；（2）若23a =ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）2326【解析】 【分析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将()2cos cos cos A c B b C a +=转化为1cos 2A =，然后根据()0,A π∈即可求出角的值； (2)首先可根据解三角形面积公式得出4bc =，然后根据余弦定理计算出26b c +=求出ABC ∆的周长.【详解】(1)由已知及正弦定理得：()2cos A sinC cos B sinBcosC sin A +=，()2cos sin sin A B C A +=， 因为,,A B C 是ABC ∆的内角，所以()()sin sin sin B C A A π+=-=，2cos sin sin A A A =，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π∠=，(2)因为1sin 2ABC S bc A ∆=，所以1sin 23bc π=4bc =，由已知及余弦定理可知：a =2222cos a b c bc A =+-， 故()21222cos3b c bc bc π=+--，解得b c +=ABC ∆的周长为【点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有()sinC cos B sinBcosC sin B C +=+、2222cos a b c bc A =+-、1sin 2ABC S bc A ∆=，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题.18.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点()1,0E ，AD 边所在直线的方程为220x y ++=.点()2,1F -在AB 边所在直线上.求： （1）AB 边所在直线的方程； （2）CD 边所在直线的方程.【答案】（1）240x y --=；（2）220x y .【解析】 【分析】（1）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，故12AB k =，点()2,1F -在AB 边所在直线上，点斜式写出AB 边所在直线的方程；（2）方法一：设直线CD 的方程为20x y m -+=.由点E 到,AB CD 的距离相等，求出m ，即得直线CD 的方程. 方法二：由直线AB 、AD 的方程联立，求出点A 的坐标，求出点A 关于点E 的对称点C 的坐标.由//AB CD ，即可求出直线CD 的方程.【详解】（1）ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥.AD 边所在的直线方程为：220x y ++=，∴AB 所在直线的斜率为12AB k =， ()21F ,-在AB 边所在直线上，∴AB 边所在直线的方程为()1122y x +=-， 即240x y --=. （2）方法一：ABCD 为矩形，∴//AB CD .∴设直线CD 的方程为20x y m -+=.矩形ABCD两条对角线相交于点()1,0E ，∴点E 到,AB CD 的距离相等，=2m =或4m =-(舍). ∴CD 边所在的直线方程为220x y .方法二：由方程240x y --=与220x y ++=联立得()0,2A -，∴点A 关于点E 的对称点()2,2C .//AB CD ，∴CD 边所在的直线方程为220x y .【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[]80,100，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 【答案】（1）65人；（2）815. 【解析】 【分析】（1）由直方图，求出打分值[)60100,的频率，根据总人数为100即可求解.（2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6人中随机抽取2人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由直方图知，所打分值[)60100,的频率为00175200015020065...⨯+⨯=，∴ 人数为1000.6565⨯=(人)答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2， 则第二､三组人数分别为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中， 第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为,A B ；第三组有4人，记为a b c d ,,,. 从中随机抽取2人的所有情况如下：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15种其中，两人来自不同组的情况有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共8种∴ 两人来自不同组的概率为815答：行风监督员来自不同组的概率为815.【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题. 20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC a ===，2ACB π∠=，点D 为BC 中点，连接1A C ､1AC 交于点E ，点F 为1DC 中点.（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面1AC D ； （3）求点C 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63a . 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得//EF AD ，然后再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可证11A C AC ⊥，BC ⊥1AC ，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.（3）方法一：利用等体法11C ACD C AC D V V --=即可求解；方法二：利用综合法，作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H ，证出CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角1C CG ∆中，求解即可. 【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ACC A 为平行四边形E ∴为1AC 的中点F 为1DC 的中点，//EF AD ∴又EF ⊄平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ //EF 平面ABC（2）四边形11ACC A 为平行四边形，1AC CC =∴平行四边形11ACC A 菱形，即11A C AC ⊥三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱∴1C C ⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴1C C ⊥BC ，2ACB π∠=BC AC ∴⊥BC 1C C ⊥，1C C AC C ⋂=，1,C C AC ⊂平面11ACC A BC ∴⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥1AC ，11A C AC ⊥，1BC AC C =，,BC 1A C ⊂平面1A CB ， 1AC ∴⊥平面1A CB ，1AC ⊂平面1AC D ， ∴ 平面1AC D ⊥平面1A CB（3）法一：(等体积法)连接DE ，设点C 到平面1AC D 的距离为h1C C ⊥平面ABC ，CA,CD ⊂平面ABC ，11C C CA,C C CD ∴⊥⊥，1C C 为三棱锥1C ACD -高，在直角1C CA ∆中，12AC CC a ==，122AC a ∴=. 在直角1C CD ∆中，12CD a,CC a ==，15CD a ∴=.在直角ACD ∆中，2CD a,AC a ==，5AD a ∴=，2ACD S a ∆∴=. 在等腰1AC D ∆中，11522DA DC a,AC a ===，3DE a ∴=，126DAC S a ∆∴=11C ACD C AC D V V --=，111133ACD AC D C C S h S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯ 2266h a a == ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为6a方法二：(综合法)作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H .1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC1C C AD ∴⊥CG AD ⊥，1CG C C C =，1CG,C C ⊂平面1C CG AD ∴⊥平面1C CGCH ⊂平面1C CGAD CH ∴⊥ 1CH C G ⊥，1ADC G G =，1C G,AD ⊂平面1AC D ，CH ∴⊥平面1AC D ， 即CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角ACD ∆中，5CG =；在直角1C CG ∆中，125C C a,CG ==，11265245a C C CGCH aC Ga ⨯⨯∴=== ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为63a .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.21.如图，我炮兵阵地位于A 处，两移动观察所分别设于,C D .已知ACD 为正三角形.当目标出现于B 时，测得1BC =千米，2BD =千米.（1）若测得60DBC ∠=，求ABC 的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B 是否在我方炮火射程范围内？ 【答案】（1）34；（2）目标B 是在我方炮火射程范围内. 【解析】 【分析】（1）在BCD 中，由余弦定理求得CD ，则有222BD CD BC =+，得到2BCD π∠=，然后由1sin 223ABCSCA CB ππ⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭求解.（2）设CBD ,CDB αβ∠=∠=，在BCD 中，由余弦定理得到2254cos CD AD α=-=， 在ABD 中，由余弦定理得到22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，将BD ，AD 代入利用三角恒等变换化简得到2546AB sin πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）在BCD 中，由余弦定理得：2222CD BC BD BD BC cos DBC =+-⋅⋅∠， 21423CD ∴=+-=， 222BD CD BC =+，2BCD π∴∠=，11sin 2234ABCSππ⎛⎫∴=⨯+=⎪⎝⎭. （2）设CBD ,CDB αβ∠=∠= 在BCD 中，254cos CD α=-，1CDsin sin βα=， sin sin CD βα=，在ABD 中，22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭ ，942cos AD cos sin αββ=--+，942cos αα=--94cos αα=--， ()9422cos cos ααα=---+，5496sin πα⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭(当且仅当23πα=时，AB 取到最大值)∴ max 3AB =4<，在射程范围内. 答：目标B 在我方炮火射程范围内.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知圆2221:()(0)C x a y r r -+=>，圆心1C 在直线240x y ++=上，且直线40x ++=被圆1C 截得的弦长为（1）求圆1C 的方程；（2）过圆222:(6)4C x y -+=上任一点()00,Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点M 和N ，求线段MN 长度的取值范围. 【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可知a ，利用弦心距、半径、半弦长的关系即可求出半径，得到圆的方程；（2）设切线方程为()00y k x x y =-+，求出M ，N ，表示出210MN k k x =-，利用圆心到切2=，化简可得1212,k k k k +，代入210MN k k x =-，换t ，求值域即可. 【详解】（1）圆心()1,0C a 在直线240x y ++=上2a ∴=-圆心1C到直线40x ++=的距离1d =∴直线40x +=被圆1C截得的弦长为=2r∴圆1C 的方程22(2)4x y ++=（2）设过点Q 的圆1C 的切线方程为()00y k x x y =-+2=，整理､化简成关于k 的方程()()22200000044240x x k y x y k y +-++-=，①判别式()()()2222200000000042444161664y x y y x x x y x ∆=+--+=++，00k ∴=.直线()00y y k x x -=-与y 轴的交点为()000,y kx -设()()0100200,,0,M y k x N y k x --，则210MN k k x =-，而21,k k 是方程①的两根，则2100MN k k x =-=，又()220064x y -+=，[])000||4,8MN x ∴==∈()t t ∈，21616||66t MN t t t==++由于函数6t t+在区间是单调递减，所以max min |||MN MN =MN ⎡∴∈⎢⎣【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法，圆的弦的性质，圆的切线，点到直线的距离，考查了推理能力，运算能力，属于难题.。
江苏省镇江市四校(扬中二中,句容实验高中等)2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题
对于 D：通过复数 z 在复平面内对应的点求出 sina 即可判断.
【详解】对于
A：
z
=
10 1- 2i
=
(1
10(1+ 2i - 2i)(1+
)
2
i)
=
2
+
4i
，\
z
=
2
-
4i
，A
正确；
对于 B： z - 2 = 2 + 4i - 2 = 4i ，为纯虚数，B 正确；
对于 C： z = 2 + 4i ，其在复平面内对应的点为 (2, 4) ，在第一象限，C 错误；
【详解】由余弦定理得： b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9 + c2 - 3c = 13 ，即 c2 - 3c - 4 = 0 ，
解得： c = -1 （舍）或 c = 4 ，\c = 4 . 故选：D. 6．B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
江苏省镇江市四校（扬中二中，句容实验高中等）2022-
2023 学年高一下学期 5 月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平面向量
ar
与
r b
的夹角为 π
，若 ar
= (2, 0),
r b
= 1 ，则
所以四边形 OABC 为平行四边形， 所以 SOABC = BO × AO = 4 2 ´ 2 = 8 2 ． 故选：B. 3．B 【详解】试题分析：由已知得
答案选 B.
，因此
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023第二学期高一数学期末检测1(学生版)
第二学期高一数学期末检测一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足()()()221i 1i z a a R ⋅+=-∈，则z 为实数的一个充分条件是（）A.0a =B.1a =C.a =D.2a =2．在空间四边形ABCD 中，,,AB CD E F =分别为,BC AD 的中点，若AB CD 与所成的角为030，则EF AB 与所成角的大小为（）A ．015B ．075C ．001575与D ．以上都不正确3．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，αβ ＝l ，则下列说法中，①若m ⊥n ，则m ⊥l ；②若m ⊥1，则m ⊥β；③若m ⊥β，则m ⊥n ．正确结论的序号为（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③4．在矩形ABCD 中，63AB AD ==，．若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且13BN BC =，则AM MN ⋅= （）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SC ===，则圆锥SO 的体积为（）A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，2,23BAC AD BAC BC D AD ABC π∠=∠=∆平分交于点，且，则的面积的最小值为（）A ．3B ．C ．4D ．7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 上靠近B 的三等分点，点F 是棱1CC 的中点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为（）A.8B.12C.18D.208．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．12C ．4D ．4二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论正确的为（）A ．AC BE⊥B ．//EF ABCD 平面；C ．三棱锥A BEF -的体积为定值；D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等.10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（）A ．1A D EF⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的外接球体积为6πC ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的体积为2173D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为417711．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为22，侧棱长为2，则（）A ．棱台的侧面积为67B ．棱台的体积为143C ．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为12D ．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为7712．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且)3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A．ABC 是等边三角形B．若3AC =，则A ，B ，C ，D 四点共圆C．四边形ABCD 面积最大值为5332+D．四边形ABCD 面积最小值为5332-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若2,41==AB AA ，则三棱锥A 1—BC 1D 的体积为．14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为_______．15．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PA PD的中点，则平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为_____．四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，tan ,c C b =其中B 为钝角．（1）证明：2B C π-=；（2）求sin sin cos B C A +-的取值范围．18．设1z 是虛数，2114z zz =+是实数，且﹣2＜2z ≤1．（1）求1z 的实部的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求22z ω-的最小值．19．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==．（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅ .（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅ 的最大值．（3）若045EAF ∠=，求AE AF ⋅ 的最小值．20．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AC =，1BC CD ==，30CAD ∠=︒，60ACB ∠=︒，M 是PB 上一点，且3PB MB =，N 是PC 中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）若二面角P BC A --大小为45︒，求棱锥C AMN -的体积.21．如图,在三棱锥D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3.AF FC =（1）求三棱锥D -ABC 的体积（2）求证:平面DAC ⊥平面DEF ;（3）若M 为DB 中点,N 在棱AC 上,且CN=38CA ,求证:MN ∥平面DEF 22．为了美化环境，某公园欲将一项空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB =3百米，AD =5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设,(,)2BAD πθθπ∠=∈（1）当5cos 5θ=-时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．。
2019-2020学年江苏省镇江市丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中高一下学期期中数学试题解析
点评：
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
20．如图，已知正三角形 的边长为1，设 ， .
（1）若 是 的中点，用 分别表示向量 ， ；
（2）求 ；
（3）求 与 的夹角.
答案：（1） ， ；（2） ；（3） .
（1）运用向量的三角形法则以及运用中点的向量表示，即可得到所求向量；
对于C，当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以C不正确；
对于D，直线y=3x﹣2在y轴上的截距应为-2，所以D不正确
故选：BCD
点评：
此题考查了倾斜角和斜率之间的关系，属于基础题.
10．已知复数 ，则以下说法正确的是（）
A．复数 的虚部为 B． 的共轭复数
C． D．在复平面内与 对应的点在第二象限
答案：CD
答案：
由正弦定理得出 ，再由直角三角形的边角关系得出 .
解：
由正弦定理得
故答案为：
点评：
本题主要考查了正弦定理的实际应用，属于中档题.
15．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是________.
答案：
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
答案：(1)直线l的方程为： 或 ；(2)24.
（1）当直线 过原点时，符合题意，求出斜率 即可得出；当直线 不过原点时，由于它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，可设直线l的方程为截距式，把点P的坐标代入即可；
（2）设直线l的方程为截距式，由直线l过点P（3，4）可得方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，进而得到三角形AOB的面积的最小值．
解：
对于A，若 ，则 ，
江苏省镇江市扬中第二高级中学2020_2021学年高一数学下学期期中试题含解析
某某省某某市扬中第二高级中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔共8小题〕.1．复数z满足，如此它的虚部为〔〕A．﹣i B．﹣1C．﹣2i D．﹣22．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于〔〕A．0B．C．D．﹣3．设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此〔〕A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k4．设，如此＝〔〕A．2sin x B．2cos x C．﹣2sin x D．﹣2cos x5．轮船A和轮船B在中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，如此14时两船之间的距离是〔〕A．50nmile B．70nmile C．90nmile D．110nmile6．定义运算＝ad﹣bc、假如cosα＝，＝，0＜β＜α＜，如此β等于〔〕A．B．C．D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，如此λ，μ满足的关系为〔〕A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝18．圭表〔圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆〕是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为〔〕A．B．C．D．二、多项选择题〔共4小题〕.9．向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，记向量，的夹角为θ，如此〔〕A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角10．在△ABC中，如下说法正确的答案是〔〕A．假如A＞B，如此sin A＞sin BB．假如，如此sin2C＞sin2A+sin2BC．假如sin A＜cos B，如此△ABC为钝角三角形D．假如sin2A＝sin2B，如此A＝B11．设P是△ABC所在平面内的一点，，如此〔〕A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，假如满足条件的三角形有且只有一个，如此边b的可能取值为〔〕A．1B．C．2D．3三、填空题〔共4小题〕.13．设向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此m＝．14．假如，如此＝．15．1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0〔m，n∈R〕的一个根，如此m+n＝．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．2b sin C＝〔2a+b〕tan B，c＝2，如此△ABC面积的最大值为．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数〔1+2i〕z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．〔1〕求复数z；〔2〕假如+〔m∈R〕为纯虚数，某某数m的值．18．，且．求：〔1〕sin〔2α﹣β〕的值；〔2〕β的值．19．如图，在四边形ODCB中，，且．〔1〕求的值；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BCP的余弦值．20．在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，假如问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；假如问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为S，且4S＝b2+c2﹣a2，c cos A+a cos C＝，______？21．＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，设f〔x〕＝•．〔1〕当时，求f〔x〕的值域；〔2〕假如锐角△ABC满足f〔C〕＝0，且不等式tan2A+tan2B+m tan A tan B+1≥0恒成立，求m的取值X围．22．如下列图，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上〔M，N不与A，B重合，M在A，N之间〕，且∠MON＝30°．〔1〕假如M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．参考答案一、选择题〔共8小题〕.1．复数z满足，如此它的虚部为〔〕A．﹣i B．﹣1C．﹣2i D．﹣2解：复数z满足＝＝＝1﹣2i，如此它的虚部为﹣2．应当选：D．2．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于〔〕A．0B．C．D．﹣解：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°＝sin66°cos36°﹣cos66°sin36°＝sin〔66°﹣36°〕＝sin30°＝应当选：B．3．设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此〔〕A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k解：设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此：利用向量共线根本定理：k＝，应当选：D．4．设，如此＝〔〕A．2sin x B．2cos x C．﹣2sin x D．﹣2cos x解：∵，如此＝，＝sin x+cos x+sin x﹣cos x＝2sin x．应当选：A．5．轮船A和轮船B在中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，如此14时两船之间的距离是〔〕A．50nmile B．70nmile C．90nmile D．110nmile解：根据题意，轮船A行驶的距离为50nmile，轮船B行驶的距离为30nmile，用图形表示如下：在△AOB中，OA＝50，OB＝30，∠BOA＝120°，∴根据余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°＝＝4900，∴AB＝70〔nmile〕．应当选：B．6．定义运算＝ad﹣bc、假如cosα＝，＝，0＜β＜α＜，如此β等于〔〕A．B．C．D．解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ＝sin〔α﹣β〕＝．∵0＜β＜α＜，∴cos〔α﹣β〕＝．又∵cosα＝，∴sinα＝．sinβ＝sin[α﹣〔α﹣β〕]＝sinα•cos〔α﹣β〕﹣cosα•sin〔α﹣β〕＝×﹣×＝，∴β＝．应当选：D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，如此λ，μ满足的关系为〔〕A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝1解：由AC＝4AD可得：，所以＝，因为P，B，D三点共线，所以λ+4μ＝1，应当选：C．8．圭表〔圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆〕是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为〔〕A．B．C．D．解：如图，设表高AB＝x，在△ACD中，∠CAD＝β﹣α，如此，∴AC＝，在直角三角形ABC中，，即x＝AC•sinβ＝＝l•＝．应当选：D．二、多项选择题〔共4小题〕.9．向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，记向量，的夹角为θ，如此〔〕A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角解：根据题意，向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，如此•＝λ﹣2，依次分析选项：对于A，当•＞0且、不共线时，θ为锐角，如此有，解可得λ＞2，A正确；对于B，当•＜0且、不共线时，θ为钝角，如此有，解可得λ＜2且λ≠﹣，B错误；对于C，当λ＝2时，•＝λ﹣2＝0，即θ为直角，C正确；对于D，当λ＝﹣时，向量＝〔1，﹣2〕，＝〔﹣，1〕，有＝﹣2，θ＝180°，D正确；应当选：ACD．10．在△ABC中，如下说法正确的答案是〔〕A．假如A＞B，如此sin A＞sin BB．假如，如此sin2C＞sin2A+sin2BC．假如sin A＜cos B，如此△ABC为钝角三角形D．假如sin2A＝sin2B，如此A＝B解：由A＞B⇒a＞b⇒2R sin A＞2R sin B⇒sin A＞sin B，A正确；由⇒c2＞a2+b2⇒sin2C＞sin2A+sin2B，B正确；由sin A＜cos B⇒cos〔90°﹣A〕＜cos B⇒90°﹣A＞B⇒A+B＜90°⇒C＞90°⇒△ABC为钝角三角形，C正确；sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A+2B＝π⇒A＝B或A+B＝，D错误．应当选：ABC．11．设P是△ABC所在平面内的一点，，如此〔〕A．B．C．D．解：显然成立，C对，∵，∴，∴＝＝，∴＝，∴，D对，∴＝≠，A错，∴＝≠，B错，应当选：CD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，假如满足条件的三角形有且只有一个，如此边b的可能取值为〔〕A．1B．C．2D．3解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，所以，整理得：c2﹣bc+b2﹣4＝0，故△＝b2﹣4〔b2﹣4〕＝0，解得b＝〔舍负〕，或b2﹣4≤0，解得0＜b≤2．故b的取值为〔0，2]∪{}．应当选：ABC．三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．设向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此m＝ 5 ．解：向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此•＝m+1﹣〔2m﹣4〕＝﹣m+5＝0，如此m＝5，故答案为：5．14．假如，如此＝﹣．解：∵tanα＝＝＝﹣∴＝＝﹣故答案为：﹣15．1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0〔m，n∈R〕的一个根，如此m+n＝．解：将x＝1+2i代入方程x2﹣mx+2n＝0，有〔1+2i〕2﹣m〔1+2i〕+2n＝0，即1+4i﹣4﹣m﹣2mi+2n＝0，即〔﹣3﹣m+2n〕+〔4﹣2m〕i＝0，由复数相等的充要条件，得，解得m＝2，n＝，故．故答案为：．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．2b sin C＝〔2a+b〕tan B，c＝2，如此△ABC面积的最大值为．解：由2b sin C＝〔2a+b〕tan B，如此2b sin C＝〔2a+b〕，即2b cos B sin C＝〔2a+b〕sin B，由正弦定理得2sin B cos B sin C＝〔2sin A+sin B〕sin B，∵sin B≠0，∴2cos B sin C＝2sin A+sin B＝2sin〔B+C〕+sin B＝2sin B cos C+2cos B sin C+sin B，即2sin B cos C+sin B＝0∵sin B≠0，∴2cos C+1＝0，即cos C＝﹣，即C＝120°，∵c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即12＝a2+b2﹣2ab×〔﹣〕＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，即ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，如此△ABC的面积S＝ab sin C≤×＝，即三角形面积的最大值为．故答案为：．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数〔1+2i〕z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．〔1〕求复数z；〔2〕假如+〔m∈R〕为纯虚数，某某数m的值．解：〔1〕设Z＝a+bi〔a，b∈R且a＞0〕，由得：a2+b2＝10①．又复数〔1+2i〕z＝〔a﹣2b〕+〔2a+b〕i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，如此a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，如此Z＝3﹣i．〔2〕∵为纯虚数，∴，解得m＝﹣5．18．，且．求：〔1〕sin〔2α﹣β〕的值；〔2〕β的值．解：〔1〕∵，且，∴α﹣β为锐角，∴cosα＝＝，cos〔α﹣β〕＝＝，∴sin〔2α﹣β〕＝sin[α+〔α﹣β〕]＝sinαcos〔α﹣β〕+cosαsin〔α﹣β〕＝•+•＝．〔2〕由于cosβ＝cos[α﹣〔α﹣β〕]＝cosαcos〔α﹣β〕+sinαsin〔α﹣β〕＝•+•＝，结合β∈〔0，π〕，可得β＝．19．如图，在四边形ODCB中，，且．〔1〕求的值；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BCP的余弦值．解：〔1〕根据题意，如图建立坐标系，A〔2，0〕，B〔0，1〕，C〔3，2〕，如此＝〔﹣1，﹣2〕，＝〔﹣3，﹣1〕，＝〔﹣2，1〕，如此＝3+2＝5；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，如此P的坐标为〔，〕，如此＝〔﹣，﹣〕，如此•＝+＝，||＝，||＝，cos∠PCB＝＝＝．20．在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，假如问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；假如问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为S，且4S＝b2+c2﹣a2，c cos A+a cos C＝，______？解：因为4S＝b2+c2﹣a2，所以2bc sin A＝2bc cos A，即sin A＝cos A，所以tan A＝1，由A为三角形内角，得A＝，因为c cos A+a cos C＝，由余弦定理，得c•+a•＝，化简，得b＝，选①C＝；B＝＝，由正弦定理，得＝，所以c＝，a＝2，此时三角形的周长为2++﹣1＝1++；②a＝1；由正弦定理，得，所以sin B＝＞1，B不存在，此时三角形不存在；③S＝3，如此＝＝3，所以c＝2，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6+12＝6，所以a＝，此时三角形的周长为2．21．＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，设f〔x〕＝•．〔1〕当时，求f〔x〕的值域；〔2〕假如锐角△ABC满足f〔C〕＝0，且不等式tan2A+tan2B+m tan A tan B+1≥0恒成立，求m的取值X围．解：〔1〕＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，f〔x〕＝•．所以，当时，，，∴．〔2〕由f〔C〕＝0可得，∴，∴，注意到tan A tan B＞1，∴，设，不等式⇔〔tan A+tan B〕2﹣2tan A tan B+m tan A tan B+1≥0⇔〔tan A tan B﹣1〕2﹣2tan A tan B+m tan A tan B+1≥0，⇔t2﹣4t+mt+2≥0，恒成立，注意到，∴当时，，∴．22．如下列图，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上〔M，N不与A，B重合，M在A，N之间〕，且∠MON＝30°．〔1〕假如M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．解：〔1〕在△OAB中，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，在△AMO中，OM2＝OA2+AM2﹣2OA•AM cos60°＝28，∴cos＝，在△OAN中，sin∠ANO＝sin〔∠A+∠AON〕＝sin〔∠A+∠NOM+∠AOM〕＝sin〔∠AOM+90°〕＝cos∠AOM＝，在△OMN中，，∴MN＝；〔2〕设∠AOM＝α，0°＜α＜60°，在△AMO中，，∴OM＝，在△ANO中，，∴ON＝，∴s＝＝，∵0°＜α＜60°，∴α＝15°时，△OMN的面积最小，最小值为54﹣27．。
江苏省扬中市第二高级中学2019-2020学年第二学期高一数学期末模拟考试
江苏省扬中市第二高级中学2019-2020第二学期高一数学期末模拟考试二一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知O 是ABCD 的两条对角线的交点．若DO AB AC λμ=+，其中,λμ∈R ，则:=λμ（ ） A. -2B. 2C. 12-D.122．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =，且b c <，则b = （ ） A. 3 B. 2 C. 22 D. 33．在平面直角坐标系xOy 内，过点()4,3P -且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程是 （ ）A ．7y x =-B ．1y x =-+C ．7y x =-或34y x =-D ．1y x =-+或34y x =-4．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2 C ．2(0,) D ．2(,1) 5．已知椭圆141622=+y x ，过点)1,2(P 且被点P 平分的椭圆的弦所在的直线方程是 （ ） A ．0178=-+y x B. 042=-+y x C. 02=-y x D. 0518=--y x 6．若点P 是椭圆221164x y +=上的动点，则点P 到直线220x y +-=的最大距离为 （ ）A. 22B. 25C. 5D. 107．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率为 （ ）A ．4B ．15C ．14D ．258．设12,F F 是椭圆221164x y +=的左、右焦点,过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为 A.14B.13C.12D.10( )二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3(cos cos )2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=，若点D 是ABC ∆外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的命题是 （ ） A ． ABC ∆的内角3B π=； B ．ABC ∆的内角3C π=；C ．四边形ABCD 面积的最大值为533+；D ．四边形ABCD 面积无最大值. 10．已知两点A (－1,0)，B (1,0)以及圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足＝0，则r 的取值可以是下列选项中的 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 711．以下四个命题表述正确的是 （ ） A ．直线(3)4330()m x y m m R ++-+=∈恒过定点(3,3)--；B ．圆224x y +=上有且仅有3点到直线:20l x y -+=的距离等于1；C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:4800C x y x y m +--+==恰有三条公切线，则4m =； D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2).12．已知直线y kx =与椭圆2222:12x y C b b+=交于A 、B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法正确的是 （ ） A ．椭圆C 的离心率为22 B ．12AE BE k k ⋅=- C ．12AE k k = D ．以AE 为直径的圆过点B三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13. 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点，AD 与CE 的交点为O ，若3AO BC ⋅=-，AB =32，则角B 的最大值为 . 14．过点33(2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程 .此时ACB ∠= .15.已知,,A B C 是椭圆)012222>>=+b a by a x （上的三点，点O 在BC 上，A 为右端点，AC BC ⊥, 2BC AC =，且ABC ∆的外接圆在y 轴上截得的弦长为6，则椭圆的方程为 .16．过直线:2l y x =-上任意一点P 作圆22:1O x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点00(,)B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -= ．三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设直线123:210,:20,:360l x y l x y l x my +-=-+=+-=. （1）若直线123,,l l l 交于同一点，求m 的值；（2）设直线l 过点(2,0)M ，若l 被直线12,l l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的方程. AB DC EO x y18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=． （1）若ABC ∆的面积等于3ABC ∆的形状，并说明理由； （2）若ABC ∆是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围．19．已知曲线()22:10,0E ax by a b +=>>。
江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题【含答案】
（2）设 PBA ，则 PCB ，
在
RtPBC
BPC
中，
2
，
BC
1， PCB
，
所以 PB sin ，.……………………………………7 分
在 APB 中， ABP ， BP sin ， AB
APB 2
3，
3，
sin
由正弦定理得
sin
3
sin
3 2
3
，.
1 sin 所以 2
AB
AC
a
b
，…………………………………………………1
分
CD
AD
AC
1
AB
AC
1
a
b
.
2
2
………………………………3 分
a
b
1
a,
b
600
（2）由题意知，
，且
，
2a
b
2
4a 2
4a
b
b2
4
a
2
4
a
b cos
a,
b
b
2
4
2
1
7，
则
…………5
分
2a
b
=
7.
所以
…………………………………………………7 分
(1)若 a ⊥ b ，求 x 的值；
(2)若 a ∥ b ，求| a － b |的值．
19. 已知 a ， b ， c 分别是 ABC 中角 A ， B ， C 的对边，且 c sin B 3b cos C .
（1）求角 C 的大小； （2）若 c 3 ， sin A 2 sin B ，求 ABC 的面积 SABC .
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江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一．单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）. 1. 若直线经过(1,0),(4,3)A B -两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2. 复数1i -的虚部为( ) A ．1 B ． -1 C ．i D ．i - 3. 已知向量()()1,2,3,1a b ==-,则2a b -等于( ) A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) D.(-5,-3) 4. 如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c += B ．a b c -=- C ．a b c +=- D ．b c a += 5. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，B ＝6π，则角A 为( ) A ．4π B ．3π C ．34π D ．4π或34π 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7. 在边长为2的正方形ABCD 中，E,F 分别为BC 和DC 的中点，则（ ） A ．52 B ． 52- C ．4 D ．4 8. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，3,ABC S ∆= 求2sin 2sin sin a b cA B C ++++=( )A ．3B ． 43C ．2D ．239二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得3分，错选不得分）.9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） h5 0 ．A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率[]B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，]πC ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为210. 已知复数12i z i=-，则以下说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部为5i B ．z 的共轭复数255i z =-C ．||z =D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限11. 对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形D ． 若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个12. 在△ABC 中，下列结论正确的是( )A.AB AC CB -=;B.0AB BC CA ++=;C. 若0AB AC •>,则△ABC 是锐角三角形D. 若()()0AB AC AB AC +•-=,则△ABC 是等腰三角形;三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13. 直线l 过点M (1，－2)，倾斜角为60°.则直线l 的斜截式方程为______________14. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB =15. 已知向量()1,3a =，()2,1b λ=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.16. 在△ABC 中，D 为边BC 的中点，4AB =,2AC =, 30BAD ∠=，则AD = ．四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知复数1z 2ai =+（其中a R ∈且a 0,i >为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值；（2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ．18. 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |的值．19. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆中角A ，B ，C 的对边，且sin 3cos c B b C =.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积ABC S ∆.20. 如图，已知正三角形ABC 的边长为1，设AB a =，AC b =.（1）若D 是AB 的中点，用,a b 分别表示向量CB ，CD ；（2）求2a b +；（3）求2a b +与32a b -+的夹角.21. 已知直线l 过点P （3，4）(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点,A B ，求△AOB 的面积的最小值.22. 如图，在ABC ∆中，2ABC π∠=，3ACB π∠=，1BC =.P 是ABC ∆内一点，且2BPC π∠=.（1）若6ABP π∠=，求线段AP 的长度；（2）若23APB ∠=π，求ABP ∆的面积.高一下学期数学期中试卷参考答案1.D2.B3.A4.C5.D6.B7. C8.D9.BCD 10.CD 11.AC 12.ABD13. 2y =- 14.20 15.555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17. （1）()2221244z ai a ai =+=-+, ……………………………………………………………2分因为21z 为纯虚数，所以24000a a a ⎧-=⎪≠⎨⎪>⎩，解得：2a =． …………………………………………………5分（2）122z i =+，()()()()22122421112i i i i z i i i i +++====--+，………………………………………8分2z =．…………………………………………………10分18. (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，………………… 3分整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. …………………………………5分(2)若a ∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0，即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. ……………………………7分当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，∴|a －b |2；………………………………………… 9分当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |11分综上，可知|a －b |＝2或12分19.（1）由sin cos c B C =及正弦定理sin sin b c B C=，………………………2分得sin C C =，所以tan C =，又0C π<<，故3C π=.……………………………………5分（2）由sin 2sin A B =及sin sin a b A B=，得2a b =.………………………………………7分 由3c =及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得229a b ab =+-.所以a =b =10分故11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.…………………………………………………12分 20（1）CB AB AC a b =-=-，…………………………………………………1分 11.22CD AD AC AB AC a b =-=-=- ………………………………3分 （2）由题意知，1a b ==，且0,60a b =， 则2222224444cos ,4217a b a a b b a a b a b b +=+⋅+=++=++=， …………5分 所以2=7.a b + …………………………………………………7分 （3） 与（2）解法相同，可得32=7.a b -+…………………………………………………9分设2a b +与32a b -+的夹角为θ，则()()2272326212cos 277232232a b a b a a b b a b a b a b a b θ-+⋅-+-+⋅+====-⨯+-++-+，…………………11分因为[0,180]θ∈所以2a b +与32a b -+的夹角为0120.…………………………………………………12分(范围不写或写错扣1分)21.（1）①当直线l 过原点时，符合题意，斜率k=，直线方程为，即4x ﹣3y=0；.…………………………………………………2分②当直线l 不过原点时，∵它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，∴可设直线l 的方程为：． ∵直线l 过点P （3，4），∴，解得a=5． ∴直线l 的方程为：，即2x+y ﹣10=0．.………………………………………………5分综上所述，所求直线l 方程为4x ﹣3y=0或2x+y ﹣10=0．.…………………………………6分（2）设直线l 的方程为（a ＞0，b ＞0）， 由直线l 过点P （3，4）得：．.…………………………………8分 ∴，化为ab≥48，当且仅当a=6，b=8时取等号． (10)分∴△AOB 的面积==24，其最小值为24．.…………………………………………………12分22.（1）因为6PBC π∠=，所以在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，3PBC π∠=， 所以12PB =．.………………………………………2分 在APB ∆中，6ABP π∠=，12BP =，3AB = 由余弦定理得22211372cos 3234224AP AB BP AB BP PBA =+-⋅⋅∠=+-⋅=，所以72AP =．.…………………………………………………5分 （2）设PBA α∠=，则PCB α∠=，在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，PCB α∠=，所以sin PB α=，.……………………………………7分在APB ∆中，ABP α∠=，sin BP α=，AB =23APB π∠=，由正弦定理得sin 2sin sin 33αππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 所以1sin 2α1sin 2αα⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以sin αα=， 又22sin cos 1αα+=， 所以23sin 7α=，.…………………………………………………10分 所以1sin 2ABP S AB BP ABP ∆=⋅⋅∠214α==..…………………………………………………12分。