2014年南通市高考三模考试数学试题及答案

为▲．
【答案】 y2 − x2 = 1
8． 已知函数 f (x) 对任意的 x ∈ R 满足 f (−x) = f (x) ，且当 x ≥ 0 时， f (x) = x2 − ax +1 ．若 f (x) 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
【答案】 ( 2, +∞)
uuur uuur uuur
开始
2． 已知复数 z 满足 z ⋅ i = 1+ i （ i 是虚数单位），则 z = ▲ ．
【答案】1 − i Y
3． 袋中有 2 个红球，2 个蓝球，1 个白球，从中一次取
输入 x N
x>0
出 2 个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．
【答案】 1 5
y←2x+1
y←2x+1
4． 平面 α 截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为 π ，
输出 y
则球心 O 到平面α 的距离为 ▲ ．
结束
【答案】 3
（第 5 题）
5． 如图所示的流程图，输出 y 的值为 3，则输入 x 的值为 ▲ ．
【答案】1 6． 一组数据 2, x, 4, 6,10 的平均值是 5，则此组数据的标准差是 ▲ ．
【答案】 2 2 7． 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的离心率为 2 ,且过点 (1, 2),则曲线 C 的标准方程
y = k(x +1) 上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围 是▲．
【答案】 ⎡⎣−2
2,2
2
⎤ ⎦
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若 a1 < a2 ， b1 < b2 ，且 bi = ai2 (i = 1, 2, 3) ， 则
数列{bn}的公比为 ▲ ．
θ A
O
（第 17 题）
所以 AC = 100cosθ ．
由于 ∠BOC = 2∠BAC = 2θ ，所以弧 BC 的长为 50 × 2θ = 100θ ． ……………………3 分 所以 s(θ ) = 2×100cosθ +100θ ，
即 s(θ ) = 200cosθ + 100θ ， θ ∈(0, π ) ． 2
10． 在直角三角形 ABC中， C =90°， AC = 6， BC = 4 ．若点 D 满足 AD = −2DB ，则 | CD |=
▲．
【答案】10
y
11．已知函数 f (x) = sin(ωx + ϕ) 的图象如图所示，则 f (2) = 1 ▲ ．
【答案】 − 2 2
O1
·3
x
−1
12．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 + y 2 − 4x = 0 ．若直线（第 11 题）
BC 的弧形小路在路的一. 侧. 边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） C
（1）设 ∠ BA C = θ （弧度），将绿化带总长度表示为 θ 的函数 s(θ ) ；
（2）试确定 θ 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接 BC，设圆心为 O，连接 CO ． 在直角三角形 ABC中， AB =100 ， ∠BAC = θ ，
………… …………………
（2）因为 a2 + c 2 ≥ 2ac ，所以 ac≤16 ，
分
……… …………… ………
所以
cos
B
=
8 ac
≥
1 2
．
因为 B ∈(0, π)，所以 0 < B≤ π ．
3
分
…………………………… 1
因为 f (B) = 3 sin Bcos B +cos 2 B = 3 sin 2 B + 1 (1 +cos 2 B) =sin(2 B + π) + 1 ，…… 1
（1）求 a2 + c2 的值；
（2）求函数 f (B) = 3 sin Bcos B + cos2 B 的值域． uuur uuur
【解】（1）因为 BA ⋅ BC = 8，所以 ac cos B = 8 ．
……… …………… ………
分
由余弦定理得 b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − 16 ， 因为 b = 4 ，所以 a2 + c2 = 32 ． 分
分
…… ……… ……… ………
（2） s′(θ ) =100(−2sin θ +1) ，
2
2
62
分
由于
π
<
2B +
π ≤5π
，所以 sin(2B
+
π 6
)
∈
⎡ ⎢⎣
1 2
,1⎤⎥⎦
，
17．某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在
点 A 与圆
弧上的一点 C 之间设计为直线段小路，在路的两. 侧. 边缘种植绿化带；从点 C 到点 B 设
计为沿弧
说明、证
明过程或演算步骤．
15．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，DE⊥平面 ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
E
F
（2）求证：平面 BCF⊥平面 CDEF．
【证】（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD，
D
所以 AB∥EF．
………… …………………
分
（2）因为 DE⊥平面 ABCD， BC ⊂ 平面 ABCD，
所以 DE⊥BC．
………… …………………
分
因为 BC⊥CD， CD I DE = D ， CD, DE ⊂ 平面 CDEF，
所以 BC⊥平面 CDEF．
…………………………… 12 分
因为 BC ⊂ 平面 BCF，平面 BCF⊥平面 CDEF．
…………………………… 14 分
uuur uuur
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 b = 4 ， BA ⋅ BC = 8．
2014 江苏省南通市高三第三次调研测试
数学学科
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答. 题. 卡. 相. 应. 位. 置. 上. ．
1． 已知集合 A = { x |1≤x≤2} ， B = {1, 2, 3, 4} ，则 A I B = ▲ ．
【答案】 {1, 2}
【答案】 3 + 2 2
14．在△ABC 中，BC= 2 ，AC=1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD（B 为直角顶点，C、D
两点
在直线 AB 的两侧）．当 ∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为 ▲ ．
【答案】3 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答. 题. 卡. 指. 定. 区. 域. 内作答. 解答时应写出文字