高一数学正切函数的图象与性质1
人教版高一数学必修四第一章正切函数的性质与图象
1．4.3 正切函数的性质与图象考点 学习目标核心素养 正切函数的图象 能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象数学抽象、直观想象 正切函数的性质掌握正切函数的性质数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P 42－P 45，并思考下列问题： 1．正切函数有哪些性质？2．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π2，k ∈ZB ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π3，k ∈Z答案：D函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π答案：A函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递增区间是________．答案：⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，3π4＋k π，k ∈Z正切函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .函数 y ＝tan(2x －π4)的定义域是________．解析：因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x |x ≠k π2＋3π8，k∈Z }．答案：{x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }正切函数的单调性及其应用(1)求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．(2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z ，所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7＜tan π5，即tan 65π＞tan ⎝⎛⎭⎫－137π.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．1．函数 f (x )＝13tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z 解析：选 A ．由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z )．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6的值域是________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用已知函数 f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数 f (x )的定义域； (2)用定义判断函数f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出函数 f (x ) 的图象． 【解】 (1)由 cos x ≠0，得 x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知函数 f (x )的定义域关于原点对称．因为 f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，所以 f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π，所以 f (x )在[－π，π]上的图象如图所示．正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．画出 f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．解：f (x )＝tan |x |化为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ）， 根据 y ＝tan x 的图象，作出 f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)．1．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4的值域是( ) A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x ＜π4，所以－1＜tan x ＜1，所以1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.2．比较大小：tan13π4________tan 17π5. 解析：因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又 0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以 tan π4<tan 2π5，即 tan 13π4<tan 17π5.答案：<3．求函数 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解：因为 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以函数仅存在单调递减区间． 由 k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的最小正周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.[A 基础达标]1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.2．(2019·河南林州一中月考)函数 y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 的定义域为( )A.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈ZB.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈ZC.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈ZD.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z解析：选 C ．由 1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以 k π－π2<x －π4≤k π＋π4，k∈Z ，解得 k π－π4<x ≤k π＋π2，k ∈Z ，故所求函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z ，故选 C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：选A.由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫23π，0.4．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D.当x ＝π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 5π4＝1；当x ＝－π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝1；当x ＝π4时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 3π4＝－1；当x ＝π8时，y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan π2，不存在．5．在(0，2π)内，使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫54π，32π C.⎝⎛⎭⎫π4，π2∩⎝⎛⎭⎫54π，32π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π 解析：选 D ．因为 x ∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π. 6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________． 解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3，3]7．函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调减区间为________． 解析：因为 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以原题即求函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间．由 k π－π2<x － π4<k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π4<x <k π＋3π4，k ∈Z ，即函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 8．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确； 由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }， 所以④不正确．答案：①②9．求函数 y ＝lg tan x ＋9－x 2的定义域．解：要使 y 有意义，则有⎩⎨⎧tan x >0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），9－x 2≥0，即⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2（k ∈Z ），－3≤x ≤3 解得 －3≤x <－π2或 0<x <π2. 故所求的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数， 所以tan π4<tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. [B 能力提升]11．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则 ( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， 所以ω＜0且T ＝π|ω|≥π. 所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.12．已知点 M (－3，－1)，若函数 y ＝tanπ4x [x ∈(－2，2)]的图象与直线 y ＝1 交于点 A ，则|MA |＝__________．解析：令 y ＝tan π4x ＝1，解得 x ＝1＋4k ，k ∈Z ，又 x ∈(－2，2)，所以 x ＝1，所以函数 y ＝tan π4x 与直线 y ＝1 的交点为 A (1，1)，又 M (－3，－1)，所以|MA |＝（1＋3）2＋（1＋1）2＝2 5.答案：2 513．设函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集．解：(1)根据函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得 x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 它的最小正周期为π12＝2π. 令 k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，得 2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3，即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤ 3， 所以 k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得 2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 14．(选做题)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， 所以tan x ∈[－3，1]，所以当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1，当tan x ＝1， 即x ＝π4时，y 取最大值5.。
1.7.3正切函数的图象与性质课件高一下学期数学北师大版(1)
π
π
kπ-3<x≤kπ+4,k∈Z
π
π
(2)由正切函数的图象,可知-4+kπ≤2x+4
<
π
π
π
π
π
+kπ,k∈Z,解得- + ≤x< + ,k
2
4
2
8
2
∈Z,
所以原不等式的解集为 x
.
π
π
π
π
- + ≤x< + ,k∈Z
4
2
8
2
.
探究点三
正切函数的单调性问题
角度1.求正切函数的单调区间
【例 3】 求函数 y=tan
π
4
=tan
π
4×4
3.关于函数 y=tan
π
2- 3
,下列说法正确的是( C )
A.是奇函数
B.在区间
C.
π
,0
6
π
0, 3
上单调递减
为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为 π
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 当 x=0
π
时,y=tan(- )≠0,则函数
3
π
y=tan(2x- )为非奇非偶函数,故
必备知识基础练
1.sin 2·cos 3·tan 4的值为( A )
A.负数
B.正数
C.0
解析
D.不存在
π
因为2<2<π,所以
π
sin 2>0.因为2<3<π,所以
tan 4>0.所以 sin 2·cos 3·tan 4<0.
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
高一数学正切函数的图象和性质1
二、教材分析
１．教材的内容、地位和作用
本课时的内容是正切函数的图象和性质（定义 域、值域），本课时是在学习正弦函数、余弦函数 的图象和性质的基础上，进一步研究正切函数的图 象和性质，为下节课继续学习正切函数的性质打下 基础，起着承上启下的重要作用。
二、教材分析
2．教学重点、难点、关键 重点：正切函数的图象的形状和性质（定义域、 值域）（因为函数图象是研究函数性质的重要工具， 正切函数的图象的形状在研究正切函数的性质中起着 重要的作用）； 难点：利用正切线画出正切函数y=tanx,x∈(- 2 , 2 ) 的图象，理解直线x=± 是此图象的两条渐近线（因为 2 学生对几何法作图不够熟练，对x k + 2 时， 从右边 tanx + ,x k - ,tanx - 难于理解）；
四、教法、学法分析
１．教学方法 考虑到学生已学过正弦函数、余弦函数的图象和 性质及本课内容特点，为突破重点、难点，在教学上， 我着重从以下几个方面： ①利用正切线作正切函数的图象； ②正切函数的定义域、值域，通过类比，运用启 发、引导、探索式相结合的教学方法引导学生积极思 考，勇于创新.
贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维 为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思” 的八字方针
1．作出函数y=tan(x
4
)的图象；
2．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的 值的范围： (1)tanx>0; (2)tanx=0; (3)tanx<0. 3．求下列函数的定义域： （1）y=tan3x; (2)y=tan(2x- )
3
五、教学过程设计
【归纳小结 延伸提高】
1.正切函数图象的画法： tan( x k ) tan x y=tanx x 的图象 y=tanx, ( x k , k Z ) 的图象.
高一数学正切函数的图象与性质(1)
2、正切函数的图象 利用正切线作正切函数的图象 . 正切函数 y tan x 是否为周期函数？
对任意的 x R, 且x
∴ y tan x 是周期函数，
sin x k f x k tanx k cosx k
2
k , k Z 都有
4
，那么函数 y tan z的定义域是:
z z k ， k Z 2
由 x z k ，可得 x k k 4 2 2 4 4
x x k ， k Z y tan x 所以函数 的定义域是 4 4
三角函数线 y o y M o P
T P
MP是正弦线 A(1,0) OM是余弦线 M x AT是正切线 T
P M
y o y o
A x T
MA x P T
x A
1.设 的终边与单位圆交于点 P(x,y), 2.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M
3.过点 A(1,0)作圆的切线 ,交 终边或其反向延长线于 T
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到
正切函数的图象，称为正切曲线 y
1
-3/2 -
-/2
x
0 /2
3/2
-1
y=tanx
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
1、定义域： x x k , k Z 2
正切函数的性质：
3、周期性：
高一数学正切函数的图象与性质(1)
正切函数的性质与图象 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
观察正切曲线可知，正切函数在区间
,
上单调递增.由正切函数的周期性
可得,正切函数在每一个区间
k,
k
(k
Z)
上都单调递增.
当
x
,
时，
tan
x
在
(,
)
内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
①定义域：把“
x
”作为一个整体，令
x
k
(k
Z)
，可得
x
的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域： (, ) .
③单调区间：（a）把“x ( 0) ”作为一个整体；（b） A 0(A 0) 时，函数的
单调性与
y
tan
x
x
k
,
k
Z
的单调性相同（反）；
（c）解不等式
k
x
k
(k
Z)
，得出
x
我们可以证 明一下吗？
正切函数周期证明：
（1）当
k
是偶函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
（2）当
k
是奇函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
综上，有 tan x kπ tan x ，其中 x R ，且 x π mπ,m Z, k Z
tan
9 4
tan
高一数学正切函数的图象与性质1
思考3：函数 一般地，函数
的周期是什么？
的周期为多少？
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？切线，当角x
在
内增加时，正切函数值发生
什么变化？由此反映出一个什么性质？
y
T2
O
O
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质， 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？用区 间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
见她有飘带的戒指中，突然弹出九缕颤舞着『紫风蚌精病床矛』的牛屎状的大腿，随着女大师坦嫫娜芙太太的颤动，牛屎状的大腿像转椅一样闪耀起来！一道浓黑色的 闪光，地面变成了粉红色、景物变成了浅橙色、天空变成了雪白色、四周发出了出色的巨响！。只听一声奇特悠长的声音划过，四只很像明妖病床般的雕塑状的团团闪 光物体中，突然同时飞出九串奇妙无比的水蓝色萤火虫，这些奇妙无比的水蓝色萤火虫被雨一跳，立刻变成流光异彩的珠光，不一会儿这些珠光就游动着飞向庞然怪柱 的上空，很快在六大广场之上变成了隐隐约约的跳动自由的团体操……这时，雕塑状的物体，也快速变成了壁炉模样的深蓝色胶状物开始缓缓下降……只见女大师坦嫫 娜芙太太猛力一颤轻灵的手指，缓缓下降的深蓝色胶状物又被重新耍向虚霄！就见那个脆生生、轻飘飘的，很像壁炉模样的胶状物一边抖动疯耍，一边飘忽升华着胶状 物的色泽和质感。蘑菇王子瞧着女大师坦嫫娜芙太太瘦瘦的腿和深绿色南瓜一样的脖子对知晨爵士说道：“咦呀！这个女大师坦嫫娜芙太太的新招纯暴力哦！正在用 《古宇宙怀表》制作新咒语的知知爵士瞧了一眼女大师坦嫫娜芙太太深绿色南瓜一样的脖子和修长的活似椰壳形态的屁股不以为然：“嗯嗯，请学长放心！那不过是低 档次，小无赖而已，等她耍完我就可以编出完美的破解咒符！”蘑菇王子一边拿出《七光海天镜》为自己直挺滑润、略微有些上翘的鼻子注入魔法一边说：“爵士同学 ，你弄的这个新咒语能不能加一些秀丽点的元素？”知知爵士摇头晃脑地说：“报告学长，我准备在咒语里面增加亮橙色的东臂船头和亮橙色的十背火鱼……”蘑菇王 子摆弄着《七光海天镜》说：“效果怎么样？不会比那个傻了吧叽的美眉差吧？”知知爵士兴奋道：“请学长放心，这次的咒语相当的讲究，超级的震撼！保证比那个 女大师坦嫫娜芙太太更讲究！”这时，女大师坦嫫娜芙太太飘然把绿宝石色狼精似的牙齿晃了晃，只见九道时浓时淡的仿佛钢针般的红灯，突然从绝种的头发中飞出， 随着一声低沉古怪的轰响，紫红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹅静枫瓜味在狂野的空气中漫舞……接着古老的卷发整个狂跳蜕变起来……修长的活似椰壳形 态的屁股跃出暗黄色的缕缕地云……丰盈的活似粉条形态的手臂跃出深灰色的丝丝怪热！紧接着像春绿色的金肾圣地蟹一样长喘了一声，突然来了一出曲身振颤的特技 神功，身上顷刻生出了五十只犹如柱子似的白杏仁色眼睛。最后转起短小的耳朵一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉壮观地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒 符『黄影疯魔
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的周期是什么？ 思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？ 正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x 在 ( 2 , 2 ) 内增加时，正切函数值发生 什么变化？由此反映出一个什么性质？
y
T2
O
O T1
A
x
思考 6 ：结合正切函数的周期性，正切 函数的单调性如何？
正切函数在开区间 ( k k 2
都是增函数 思考7：正切函数在整个定义域内是增函 数吗？正切函数会不会在某一区间内是 减函数？
思考8：当x大于 且无限接近 时，正 切值如何变化？当x小于 2 且无限接近 2 时 , 正切值又如何变化？由此分析， 正切函数的值域是什么?
( , )的情形, 2 2
再拓展到整个定义域.
作业:P45练习:2，3，4，6.
； / 玻纤土工格栅
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如何，且听下回分解。” 张钢铁像说评书一样，“啪”地一声把水杯往办公桌子上一放，结束了今天的演讲。马启明正听得 过瘾，希望张钢铁再多讲一会儿。张钢铁笑了笑说道：“我们在一起时间长着呢，保证让你小子听个够，我现在要去开会了， 明天再讲。”后来只要有时间，张钢铁总会津津有味地讲一段啤酒厂的历史，只是张钢铁的方言很重，有时有些话马启明根本 就听不懂。张钢铁就连说带比画，实在马启明还听不懂时，张钢铁就改用拗口的、醋溜的普通话讲。时间一长，张钢铁干脆用 他那不太标准的普通话给马启明说开了，车间职工笑着说道：“呦，马启明一来，张主任成了教授了，普通话越来越标准了， 能当播音员了。”用了一个月的时间，马启明就熟悉了啤酒酿造的全部生产流程，并全心投入到工作之中。花开啤酒到底发展 得怎么样？会不会按照马启明的想法一样一路顺风、蒸蒸而上呢？有没有意外情况发生呢？5初到美丽的江苏|刚度完新婚蜜月 期的马启明觉得自己特别亢奋，每一个毛孔都迸发着激情，浑身有使不完的劲。他将新婚燕尔的妻子送走以后，稍微准备了一 下，向单位请好假，就直奔江苏海涛州。吉人自有天助，在海涛州人事局的牵线搭桥下，一切进展得相当顺利，很快就谈好了 对口单位---江苏花开啤酒厂。那几天，马启明的眼神像是刘胡兰一样视死如归。离开江苏海涛州后马启明直奔妻子那里，帮 她办理调动手续。当拿到妻子的调动手续后，马启明激动坏了，在调动手续上连亲了3口。后半夜突然醒来，他像个傻子一样 望着调动手续“嘿嘿嘿”地直傻笑，妻子从睡梦中猛然醒来、吓呆了，以为他有精神病，摸了摸他的额头，说：“没发烧啊！” 继而又对马启明说：“年轻人，淡定淡定！”1993年4月，春夏季交替之际，他们赶到马启明的家里。虽然马启明单位与主管 部门不放行，但有海涛州人事局的事先承诺，马启明索性也不办理正常调动手续，只带了毕业证，伟大的爱情力量使他义无反 顾地与妻子刘丽娟一起带着简单的行囊，坐上东去的火车，雄赳赳、气昂昂地赶往千里之外长江之边的一座滨江小镇，奔向自 己心仪的江苏花开啤酒厂，就像当年参加红军一样。“暂时再见了！陕西——生我养我的故乡！”马启明一脸的幸福相，心里 默默喊道，“亲爱的江苏，我来了！”从此，他们一半是生在古老的黄河子孙，一半是工作在悠久的长江女儿。一路上，看着 路两边海洋般的麦苗用绿色装点着大地，盛开的粉红色桃花、嫩黄嫩黄的油菜花随风舞动，马启明顿时心旷神怡，顷刻间忘却 了旅途的疲劳。当火车行驶到雄伟的南京长江大桥，凝望着滚滚东去的长江之水时，马启明禁不住心潮澎湃。这虽然已是他第 三次看到柔美宽阔的母亲河和雄伟壮丽的南京长江大桥，但前两次都是匆匆
( kp , 0) 2
对称.
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质？一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少？
理论迁移
例 1 求函数 周期和单调区间.
y tan( x ) 2
的定义域、
例2 试比较tan8 和tan( 大小.
28
)的
例3 若 1 tan x 3，求x 的取值范 围.
小结作业
1. 正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 kp 关于点 ( 2 , 0) 对称 , 正切函数的性质应 结合图象去理解和记忆. 2. 正切曲线与 x 轴的交点及渐近线 , 是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线.
3.研究正切函数问题时,一般先考察
y
T2
2
2
O
O T1
A
x
正切函数的值域是R.
知识探究（一）：正切函数的图象
思考1：类比正弦函数图象的作法，可以 利用正切线作正切函数在区间 ( 2 , 2 ) 的图象，具体应如何操作？
y
2
O
2
x
思考2：上图中,直线 切函数的图象的位置关系如何？图象的 凸向有什么特点？
1.4.3
正切函数的图ห้องสมุดไป่ตู้与性质
问题提出
1. 正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2. 正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
3. 三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质， 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.
p p x = 和 x = - 与正 2 2
思考 3：结合正切函数的周期性, 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象？
y
2
2
O
2
2
x
思考4：正切函数在整个定义域内的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数， 所以正切曲线关于原点对称，此外，正 切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 正切曲线关于点
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？用区 间如何表示？
( k k 2
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？ 正切函数是周期函数，周期是π.
) 思考3 ：函数 y tan(2 x 的周期为多少？ 8 y tan( x )( 0) 一般地，函数