北京勾股定理
勾股定理的证明-北京习题集-教师版
勾股定理的证明（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2017春•西城区期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是( )A ．48B ．36C ．24D ．252．（2016秋•东城区校级期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为( )A ．1065+B ．10102+C ．10410+D ．243．（2016春•西城区期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ，2S ，3S ，若12318S S S ++=，则正方形EFGH 的面积为( )A ．9B ．6C ．5D ．924．（2015秋•石景山区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若BC=，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，6AC=，5则这个风车的外围周长是()A．76B．72C．68D．52二．填空题（共6小题）5．（2019秋•延庆区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10AF=，则小正AB=，8方形EFGH的面积为．6．（2019春•东城区期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，那么直角三角形斜边上的高等于．7．（2019春•东城区期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若2BD=，3AE=，则正方形ODCE的边长等于．8．（2017•丰台区二模）三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是 ．9．（2016秋•怀柔区期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD 的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形1111A B C D ，则正方形1111A B C D 的面积为 ；再把正方形1111A B C D 的各边分别延长一倍得到正方形2222A B C D （如图2)，如此进行下去，得到的正方形n n n n A B C D 的面积为 （用含n 的式子表示，n 为正整数）．10．（2017•平谷区二模）中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的．如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦图”，图2由“弦图”变化得到，请用含a ，b ，c 的等式表示定理的内容 ．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•北京期末）通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系． 图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．12．（2018秋•怀柔区期末）如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整： 1S = ，2S = ，3S = ， 123S S S ∴+=．即2+2=2．13．（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，求2S 的值．以下是求2S 的值的解题过程，请你根据图形补充完整．解：设每个直角三角形的面积为S 12S S -= （用含S 的代数式表示）① 23S S -= （用含S 的代数式表示）②由①，②得，13S S += 因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以2103S =． 14．（2017春•北京期中）阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：如图ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是CB 的中点，MD AB ⊥于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．15．（2017春•西城区校级期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载： “勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”． 上述记载表明了：在Rt ABC ∆中，如果90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：12ABC S ab ∆=，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．又 = ，221()42a b ab c ∴+=⨯+，整理得22222a ab b ab c ++=+，∴ ．勾股定理的证明（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2017春•西城区期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是( )A ．48B ．36C ．24D ．25【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG KG =，CF DG KF ==，再根据21()S CG DG =+，22S GF =，23()S KF NF =-，123144S S S ++=得出23144GF =，求出2GF 的值即可． 【解答】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形， CG KG ∴=，CF DG KF ==，21()S CG DG ∴=+ 222CG DG CG DG =++ 22GF CG DG =+，22S GF =，2223()2S KF NF KF NF KF NF =-=+-，22222123223144S S S GF CG DG GF KF NF KF NF GF ∴++=++++-==， 2144483GF ∴==， 248S ∴=．故选：A ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出23144GF =是解决问题的关键．2．（2016秋•东城区校级期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为( )A ．1065+B ．10102+C ．10410+D ．24【分析】根据题意，结合图形求出ab 与22a b +的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：222100c a b =+=，1410020802ab ⨯=-=，即280ab =，则222()210080180a b a ab b +=++=+=，∴每个直角三角形的周长为101801065+=+故选：A ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3．（2016春•西城区期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ，2S ，3S ，若12318S S S ++=，则正方形EFGH 的面积为( )A ．9B ．6C ．5D ．92【分析】据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12318S S S ++=，∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331218S S S x y ∴++=+=，故31218x y +=，46x y +=，所以246S x y =+=，即正方形EFGH 的面积为6． 故选：B ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12318S S S ++=求出是解决问题的关键．4．（2015秋•石景山区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )A ．76B ．72C ．68D ．52【分析】由题意ACB ∠为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则 222125169x =+=所以13x =所以“数学风车”的周长是：(136)476+⨯=． 故选：A ．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 二．填空题（共6小题）5．（2019秋•延庆区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD 和一个小正方形EFGH ，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10AB =，8AF =，则小正方形EFGH 的面积为 4 ．【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF 的长，从而得结论． 【解答】解：Rt ABF ∆中，10AB =，8AF =， 由勾股定理得：221086BF =-=， 862FG ∴=-=，∴小正方形EFGH 的面积224==，故答案为：4．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．6．（2019春•东城区期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，那么直角三角形斜边上的高等于125．【分析】根据题意，结合图形求出ab 与22a b +的值，利用三角形面积公式代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：22225c a b =+=，14251242ab ⨯=-=，即224ab =，则5c =，162ab =，∴直角三角形斜边上的高等于126255⨯÷=． 故答案为：125．【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7．（2019春•东城区期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若2BD =，3AE =，则正方形ODCE 的边长等于 1 ．【分析】设正方形ODCE 的边长为x ，则CD CE x ==，根据全等三角形的性质得到AF AE =，BF BD =，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设正方形ODCE 的边长为x ， 则CD CE x ==，AFO AEO ∆≅∆，BDO BFO ∆≅∆，AF AE ∴=，BF BD =，235AB ∴=+=，222AC BC AB +=，222(3)(2)5x x ∴+++=， 1x ∴=，∴正方形ODCE 的边长等于1，故答案为：1．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2017•丰台区二模）三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是 100 ．【分析】由BF BE EF =+结合“小正方形的边长是2，每个直角三角形的短的直角边长是6”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论． 【解答】解：2EF =，6BE =， 8BF BE EF ∴=+=，14486221002BCF ABCD EFGH S S S ∆∴=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=正方形正方形．故答案为：100．【点评】本题考查了三角形的面积以及正方形的面积，解题的关键是求出直角三角形的较长直角边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分割图形求面积法表示出大正方形的面积是关键．9．（2016秋•怀柔区期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD 的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形1111A B C D ，则正方形1111A B C D 的面积为 5 ；再把正方形1111A B C D 的各边分别延长一倍得到正方形2222A B C D （如图2)，如此进行下去，得到的正方形n n n n A B C D 的面积为 （用含n 的式子表示，n 为正整数）．【分析】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答． 【解答】解：已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△11AA B 的面积是1， 新正方形1111A B C D 的面积是5，从而正方形2222A B C D 的面积为255255⨯==，⋯正方形n n n n A B C D 的面积为5n ． 故答案为：5n ．【点评】此题是勾股定理的证明，主要考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大．10．（2017•平谷区二模）中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的．如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦图”，图2由“弦图”变化得到，请用含a ，b ，c 的等式表示定理的内容 222a b c += ．【分析】根据大正方形的面积的两种求法，列出等式，化简整理即可解决问题． 【解答】解：图2中，大正方形的边长为()a b +，大正方形的面积221()42a b a b c =+=⨯⨯⨯+，22222a ab b ab c ∴++=+，222a b c ∴+=．故答案为222a b c +=．【点评】本题考查正方形的面积公式、直角三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求正方形的面积，属于中考常考题型．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•北京期末）通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系． 图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据222()2a b a ab b +=++即可求解． 【解答】解：根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =，则222()2131225a b a ab b +=++=+=． 故2()a b +的值为25．【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．12．（2018秋•怀柔区期末）如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整： 1S = 4 ，2S = ，3S = ， 123S S S ∴+=．即2+2=2．【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：14S =，29S =，313S =， 123S S S ∴+=．即222AC BC AB +=．故答案为：4，9，13，AC ，BC ，AB ．【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是根据勾股定理的证明过程解答．13．（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，求2S 的值．以下是求2S 的值的解题过程，请你根据图形补充完整．解：设每个直角三角形的面积为S12S S -= 4S （用含S 的代数式表示）①23S S -= （用含S 的代数式表示）②由①，②得，13S S += 因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以2103S =． 【分析】设每个直角三角形的面积为S ，根据图形的特征得出124S S S -=，234S S S -=，两者相减得到1322S S S +=，再代入12310S S S ++=即可求解． 【解答】解：设每个直角三角形的面积为S ， 124S S S -=（用含S 的代数式表示）① 234S S S -=（用含S 的代数式表示）②由①，②得，1322S S S +=，因为12310S S S ++=， 所以22210S S +=． 所以2103S =． 故答案为：4S ；4S ；22S ．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，图形面积关系，根据已知得出1322S S S +=，再利用12310S S S ++=求出是解决问题的关键．14．（2017春•北京期中）阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：如图ABC∆中，90C ∠=︒，M 是CB 的中点，MD AB ⊥于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．【分析】连结AM ，设AD a =，BD b =，AC c =，BM x =，根据中点的定义可得CM x =，在Rt BMD ∆中，22222MD BM BD x b =-=-，在Rt AMD ∆中，22222MD AM AD AM a =-=-，在Rt ACM ∆中，22222AM AC CM c x =+=+，可得222a c b =+，根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．【解答】证明：连结AM ，设AD a =，BD b =，AC c =，BM x =，M 是CB 的中点，CM x ∴=，在Rt BMD ∆中，22222MD BM BD x b =-=-， 在Rt AMD ∆中，22222MD AM AD AM a =-=-，消去MD ，得2222x b AM a -=-，从而2222AM x a b =+-， 又因为在Rt ACM ∆中，22222AM AC CM c x =+=+，消去AM 得22222c x x a b +=+-，消去x ，所以222c a b =-，即222a c b =+． 所以，三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形．【点评】考查了勾股定理的证明，可见计算在几何证明中也是很重要的．小明正是利用代数中计算、消元等手段，结合相关定理来论证了几何问题．15．（2017春•西城区校级期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载： “勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”． 上述记载表明了：在Rt ABC ∆中，如果90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： 222a b c += ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：12ABC S ab ∆=，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．又 = ，221()42a b ab c ∴+=⨯+，整理得22222a ab b ab c ++=+，∴ ．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =， 由勾股定理得，222a b c +=， 故答案为：222a b c +=；（2）12ABC S ∆=，2ABCD S c =正方形， 2()MNPQ S a b =+正方形；又正方形的面积=四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB 的面积， 221()42a b ab c ∴+=⨯+，整理得，22222a ab b ab c ++=+， 222a b c ∴+=，故答案为：2()a b +；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB 的面积；222a b c +=． 【点评】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．。
数学文化1-2(勾股定理)
△KAB≌△CAD
S S △KAB =
△CAD
1AK•AC1AD•AM
G
A•K A C A•D AM
2
2
H
S S 正方形KACH = 四边形
C
F
S S 同理： ADNM 正方形BCGF =
四边形BENM
K
b
a
c
S S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形ADNM + 四边形
A
M
朱出
朱方 青入
青入
朱入
青方
青出
青出
（三）毕达哥拉斯证法（割补法）
b
a c
(a + b)2 = c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
（四）欧几里得证法
❖欧几里得的《几何原本》是
古希腊数学成果、思想、方 法和精神的结晶。是整个科 学史上发行最广使用时间最 长的书，成为数学的“圣 经”。
中国数学史上最先完成 勾股定理证明的是三国时 期的赵爽（公元3世纪）。 赵爽在《周髀算经注》中， 采用证明几何问题的割补 原理，利用“弦图”，证 明了勾股定理。
中国最著名、最优秀的数学经典
《九章算术》 中国传统数学的代表作
中国古代数学文献的典范
《九章算术》是一部问题集 形式的算书，共246个问题， 采用“问、答、术”的形式 进行编排，共202术，按不同 算法的类型，分为九章。
B
BENM
S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形
ADEB
∴ a2b2 c2
D
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理趣事
勾股定理趣事学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；勾股的发现在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。
后来，勾股的证明人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。
据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。
北京版数学八年级上册《12.11勾股定理》说课稿
北京版数学八年级上册《12.11 勾股定理》说课稿一. 教材分析《12.11 勾股定理》是人教版初中数学八年级上册的一章，主要介绍勾股定理的证明及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本性质、 Pythagorean 定理的基础上进行讲解的。
通过本节的学习，使学生了解勾股定理的历史背景，掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了三角形的基本性质，对 Pythagorean 定理有一定的了解。
但勾股定理的证明及应用还需要进一步的学习。
同时，学生对数学历史知识的了解不多，对于勾股定理的历史背景可能比较陌生。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解勾股定理的历史背景，掌握勾股定理的内容，能够运用勾股定理解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 说教学重难点1.重点：勾股定理的内容及其应用。
2.难点：勾股定理的证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、自主探究法、合作交流法。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.引入新课：通过多媒体课件展示勾股定理的历史背景，引导学生了解勾股定理的来历。
2.自主探究：让学生自主阅读教材，理解勾股定理的内容。
3.讲解演示：老师讲解勾股定理的证明过程，并通过几何画板软件演示勾股定理的应用。
4.合作交流：学生分组讨论，总结勾股定理的应用方法。
5.巩固练习：让学生解决一些实际问题，运用勾股定理进行计算。
6.课堂小结：老师引导学生总结本节课的学习内容，巩固所学知识。
7.布置作业：布置一些有关勾股定理的应用题，让学生课后思考。
七. 说板书设计板书设计如下：一. 勾股定理定义：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
公式：a^2 + b^2 = c^2八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、课堂表现、作业完成情况等方面进行。
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
勾股定理ppt课件
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
勾股定理ppt课件
B 图2-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
(1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
x622232 42
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相
对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长
为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
≈4.96（米）
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十七章《勾股定理》章节测试
学号：_______________ 姓名：________________
（一）选择题（每小题4分，共28分）
1．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）．
(A) 2 (B) 2 (C) 2
2 (D) 4
2．下列线段不能组成直角三角形的是( )．
(A) a＝6，b＝8，c＝10 (B) 3
,2
,1=
=
=c
b
a
(C)
4
3
,1
,
4
5
=
=
=c
b
a(D) 6
,3
,2=
=
=c
b
a
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（）． (A) 6 (B) 6 (C) 5 (D) 4
4．若一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为（）
(A)13 (B) 119 (C) 13或119 (D)无法确定5．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．
(A) CD、EF、GH (B) AB、EF、GH
(C) AB、CD、GH (D) AB、CD、EF
6．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）．
(A) 42 (B) 32 (C) 42或32 (D) 37或33
第3题图
第5题图
7．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．
（A ） 3 cm 2 （B ） 2 cm 2 （C ） 3 cm 2 （D ） 4cm 2
8、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12 cm ，其中斜边上的高为（ ）
A 、6 cm
B 、8.5 cm
C 、1360 cm
D 、13
30cm
9、如图，一架梯子长为25m ，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙
7m ，如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的
底部在水平方向上滑动了（ ）
A 、4m
B 、6m
C 、8m
D 、10m
10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正 方形，如果大正方形的面积是13，小正方形面积是1，
直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么
（a+b ）2
的值为（ ）。
A ：13
B ：19
C ：25
D ：169
（二）填空题（每空4分，共28分）
11．直角三角形ABC 中，∠C=90º，若C=5，则a 2+b 2+c 2=
12．在Rt ∆ABC 中，90ACB ∠=︒，且9,4c a c a +=-=，则b = .
13．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm
14．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其
中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2， 10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．
15．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，
且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C 共 个．
（三）画图题（4分）．
14. 在数轴上作出表示10 及13的点．
（四）解答题（每题8分，共40分）．
15、已知，如图△ABC 中CD ⊥AB 于D ，AC=4、BC=3、DB=
59 （1）求DC 的长 （2）求AD 的长 （3）求证△ABC 是直角三角形
16．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
A B 第11题图
第12题图
17．如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由．
18．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
19．矩形ABCD 中，AB=3，BC=5.E 为CD 边上一点，将矩形沿直线BE 折叠:
(1)使点C 落在AD 边上C’处.求DE 的长.
(2)使点C 落在线段BD 上C’处.求DE 的长.
A D E B
C
《勾股定理》章节测试题答案
一．选择题（每小题4分，共28分）
1．C ． 2．D ． 3．B ． 4．C ． 5．B ． 6．C ． 7. A
二．填空题（每空4分，共28分）
8． 10, 4.8．
9． 6．
10． 14．
11． 5．
12. 17
13． 4．
三．画图题．
14．略．（表示对每个数2分）
四．解答题．
15．（1）a=20，b=15．（2）2=b ，22=c ． （每小题4分）
16. 12米
17．直角三角形．
18．10．
解：设AE=xkm ，则x 2+152=102+(25—x)2，x=10．
19．（1）DE=34
．
（2）DE=334
534-． （每小题4分）
（备注：14---18题酌情给分）。