高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.3知识点总结含同步练习题及答案

中， ∠F1 F2 M = 90∘ ， ∠M F1 F2 = 30∘ ， |F1 F2 | = 2c ，于是
2c √3 = cos 30∘ = , 2 |M F1 | |M F2 | √3 = tan 30∘ = 2c 3
从而有
4√3 c, 3 2√3 |M F2 | = c, 3 |M F1 | =
可以看出 e 越大， 近线的斜率的绝对值越小，双曲线的张口也就越小，形状就越扁． 例题： 已知一个动点 P (x, y) 到两个定点 F1 (−1, 0) ，F2 (1, 0) 的距离差的绝对值为定值 a(a ≥ 0) ， 求点 P 的轨迹方程． 解：由题可知 |F1 F2 | = 2 ． （1）当 a = 2 时，轨迹是两条射线 y = 0(x ≥ 1) 或 y = 0(x ≤ −1)； （2）当 a = 0 时，轨迹是线段 F1 F2 的垂直平分线，即 y 轴，方程为 x = 0； （3）当 0 < a < 2 时，轨迹是以 F1 ，F2 为焦点的双曲线，其中 c = 1 ，b 2 = 1 −
双曲线的几何性质
y2 x2 − = 1 (a > 0, b > 0)，这个方程也是双曲线的标准方程． a2 b2
我们利用双曲线的标准方程
y2 x2 − = 1(a > 0, b > 0) 来研究双曲线的几何性质． a2 b2
1. 范围：双曲线在不等式 x ≤ −a 与 x ≥ a 所表示的区域内．
2. 对称性：双曲线关于 x 轴、 y 轴和原点都是对称的．坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 3. 顶点：双曲线与 x 轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，即 A 1 (−a, 0) ， A 2 (a, 0) ． 令 x = 0 ，得 y 2 = −b 2 ，这个方程没有实数根，说明双曲线与 y 轴没有交点，但是 我们也把 B 1 (0, −b) ， B 2 (0, b) 画在 y 轴上．线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的 长等于 2a ， a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长．
高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线
一、学习任务 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题； 了解双曲线的简单几何性质． 二、知识清单
双曲线的基本量与方程
三、知识讲解
1.双曲线的基本量与方程 描述： 双曲线及双曲线的标准方程 把平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1 F2 | 且不等于零）的点 的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距． 以过焦点 F1 、 F2 的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标 系． 设 M (x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c (c > 0)，那么焦点 F1 ， F2 的坐标 分别是 (−c, 0) ，(c, 0)．又设点 M 与 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a （ 0 < a < c）．因为
4. 渐近线：双曲线
近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近， 但永不相交． 特别地，若双曲线的实轴长和虚轴长相等，此时渐近线方程为 y = ±x，它们相互垂直， 并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，这样的双曲线叫做等轴双曲线．
y2 b x2 − = 1 的各支向外延伸时，它与 y = ± x 这两条直线逐渐接 2 2 a a b
y2 x2 − =1 ； a2 a2 1− 4 4 （4）当 a > 2 时，轨迹不存在．
以方程为
a2 ，所 4
y2 x2 − = −1 ： 1−k |k| − 3 （1）若方程表示双曲线，求 k 的取值范围； （2）若方程表示焦点在 x 轴的双曲线，求 k 的取值范围； （3）若方程表示焦点在 y 轴的双曲线，求 k 的取值范围．
化简得
y2 x2 − = 1. a2 c 2 − a2
因为 c > a > 0，所以 c 2 − a2 > 0 ，令c 2 − a2 = b 2 ，则方程化为
y2 x2 − = 1(a > 0, b > 0) a2 b2
①.
因为双曲线上任意一点的坐标都满足方程 ①，以方程 ① 的解 (x, y) 为坐标的点到双曲线的两 个焦点 F1 ，F2 的距离之差的绝对值为 2a ，即以方程 ① 的解为坐标的点都在双曲线上，故由
−− − − − − − − − − − − − − − − 2 2 − b2 c2 1 c1 √3 b2 a b 1 √ 由椭圆离心率可知 ，所以 = =√ = √1 − = = ． 2 2 2 2 a 2 4 a a a a −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − c2 c 1 √5 a2 + b 2 b2 故双曲线的离心率为 2 = √ 2 = √ ． = √1 + = √1 + = 2 2 2 a 2 4 a a a
3 x，即为渐近线方程． 2
最小值． 解：设点 P 的坐标为 (x, y)，则
x2 − y 2 = 1 ，P 为 C 上的任意点，设点 A 的坐标为 (3, 0)，求 |P A| 的 4 − − − − − − − − − − − |P A| = √(x − 3)2 + y 2 − − − −− −− − −− − −− − x2 = √(x − 3)2 + −1 4 − − − − − − − − −− − − − − 5 12 2 4 = √ (x − ) + 4 5 5
C．实半轴长相等 D．焦距相等
)
B．虚半轴长相等
3. 已知双曲线
y2 x2 − = 1 (a > 0, b > 0) 的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，点 P 在双曲线的右支上， a2 b2 且 |P F1 | = 4|P F2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( )
A．
4 3
B．
5 3
C．2
双曲线
√5 2
30∘
y2 x2 − = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别是 F1 ，F2 ，过 F1 作倾斜角为 a2 b2 的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（
B． √3 C． √2 D．
）
A． √6 解：B 在 Rt△MF1 F2
√3 3
曲线与方程的关系可知，方程①是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程．它表示焦点 在 x 轴上，焦点分别是 F1 (−c, 0) ， F2 (c, 0) 的双曲线，这里 c 2 = a2 + b 2 ．
若焦点在 y 轴上，则双曲线的焦点坐标分别是 F1 (0, −c) ， F2 (0，c) ，此时双曲线的方程 是
解：（1）因为双曲线的焦点在 x 轴上，故设双曲线方程为
⎧ ⎪ 9 + 225 = 1, 16n ⎨m 256 25 ⎪ ⎩ ⎪ + = 1, 9m n { m = −16, n = 9.
解得
2
2
所以双曲线标准方程为
y2 x2 − = 1． 9 16
的离心率为
椭圆
______． 解：
y2 y2 x2 √3 x2 ，则双曲线 + = 1 (a > b > 0) 的离心率为 − =1 2 a2 a2 b2 b2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − |M F1 | = √(x + c)2 + y 2 , |M F2 | = √(x − c)2 + y 2 ,
所以
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √(x + c)2 + y 2 − √(x − c)2 + y 2 = ±2a,
c
5. 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比
c > 1． a 由等式 c 2 − a2 = b 2 得
曲线的离心率 e =
c ，叫做双曲线的离心率．因为 c > a > 0，所以双 a
− − − − − − − − − − − √− − − − − − b c 2 − a2 c2 = =√ − 1 = √e2 − 1, 2 a a a b b 也越大，即渐近线 y = ± x 的斜率的绝对值越大，这时双曲线 a a b 的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即张口越来越大．当离心率 e 越小时， 也越小，渐 a
{
解得 双曲线
1 − k > 0, |k| − 3 > 0.
k < −3 ． y2 x2 − =1 4 9 3
的渐近线方程是（ ）
2
9
4
4 9 3 A． y = ± x 2
解：A．
B． y = ±
2 x 3
C． y = ±
9 x 4
D． y = ±
4 x 9
由题可得 a = 2，b = 3 ，所以 y = ± 已知双曲线 C :
D．
7 3
答案： B 解析： 由题知
|P F1 | − |P F2 | = 3|P F2 | = 2a ⩾ c − a ．
4. 设双曲线 C 的中心为点 O ，若有且只有一对相交于点 O ，所成的角为 60∘ 的直线 A 1 B 1 和 双曲线的离心率的取值范围是 ( A．(
A 2 B 2 ，使 |A 1 B 1 | = |A 2 B 2 | ，其中 A 1 , B 1 和 A 2 , B 2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该 )