2019届苏教版(理科数学) 二次函数与幂函数

（八） 二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f (x )＝ ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则 ＋α＝________. 解析：由幂函数的定义知 ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而 ＋α＝32. 答案：322. (2018·扬州中学测试)已知二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－23．(2018·淮阴模拟)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )，f (0)的大小关系为________．解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：f (m )＜f (0)4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋25．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4.答案：－46．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·海安中学检测)已知幂函数f (x )＝x α，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．解析：若幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1,1,3，又f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}2．已知函数h (x )＝4x 2－ x －8在[5,20]上是单调函数，则 的取值范围是________．解析：函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，因为h (x )在[5,20]上是单调函数，所以k 8≤5或k 8≥20，即 ≤40或 ≥160.答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)3．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是________．解析：依题意，函数f (x )是偶函数，则y ＝x 2＋ax －5是偶函数，故a ＝0，f (x )＝(1－x 2)(x 2－5)＝－x 4＋6x 2－5＝－(x 2－3)2＋4，当x 2＝3时，f (x )取得最大值4.答案：44．(2018·泰州中学调研)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为________．解析：根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x >0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数，若f (x 2－3)>f (2x )，则有x 2－3<2x ，解得－1<x <3，即不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)5．(2018·泰州二中测试)若函数f (x )＝xα2－2α－3(常数α∈ )为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．解析：根据幂函数的性质，要使函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈ ，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.答案：16．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.答案：⎣⎡⎦⎤32，37．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)＜0， 解得－4＜a ＜4.答案：(－4,4)8．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：89．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．(2018·上海七校联考)已知a ，b 为实数，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，且函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，函数g (x )＝－b ·f (f (x ＋1))＋(3b －1)·f (x ＋1)＋2在区间(－∞，－2]上是减函数，在区间(－2,0)上是增函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求实数b 的值；(3)设h (x )＝f (x ＋1)－2qx ＋1＋2q ，问是否存在实数q ，使得h (x )在区间[0,2]上有最小值－2？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以(x ＋1)2＋a (x ＋1)＋1＝(－x ＋1)2＋a (－x ＋1)＋1，所以4x ＋2ax ＝0，所以a ＝－2，所以f (x )＝(x －1)2.(2)由(1)知，g (x )＝－b ·f (f (x ＋1))＋(3b －1)·f (x ＋1)＋2＝－bx 4＋(5b －1)x 2＋2－b ， 令t ＝x 2，则u (t )＝－bt 2＋(5b －1)t －(b －2)，在区间(－∞，－2]上，t ＝x 2是减函数，且t ∈[4，＋∞)，由g (x )是减函数，可知u (t )为增函数；在区间(－2,0)上，t ＝x 2是减函数，且t ∈(0,4)，由g (x )是增函数，可知u (t )为减函数， 所以u (t )在(0,4)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，可得二次函数开口向上，b ＜0且－5b －1－2b＝4， 所以b ＝－13. (3)h (x )＝f (x ＋1)－2qx ＋1＋2q ＝x 2－2qx ＋1＋2q ，x ∈[0,2]．则h (x )的对称轴为直线x ＝q .当q ＜0时，h (x )min ＝h (0)＝1＋2q ＝－2，q ＝－32； 当0≤q ≤2时，h (x )min ＝h (q )＝－q 2＋2q ＋1＝－2，所以q ＝3或－1，舍去；当q ＞2时，h (x )min ＝h (2)＝－2q ＋5＝－2，q ＝72.综上所述，q ＝－32或q ＝72. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 2．(2018·启东检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a (a ＞1)，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．又已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a 2－2a 2＋5＝1，f (1)＝1－2a ＋5＝a ， 解得a ＝2.(2)由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x.(*) 令1x＝t ，t ∈[2,3]， 则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t . 记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －522＋258， 则g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫52＝258，所以a ≥258； 记h (t )＝12t 2＋52t ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋522－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7，综上所述，258≤a ≤7. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤258，7.。