圆周运动的案例分析-例题思考
匀速圆周运动的实例分析例题
匀速圆周运动的实例分析典型例题1——关于汽车通过不同曲面的问题分析1.一辆质量t的小轿车，驶过半径m的一段圆弧形桥面，求：（重力加速度）（1）若桥面为凹形，汽车以20m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形，汽车以10m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？解：典型例题2——细绳牵引物体做圆周运动的系列问题1.一根长的细绳，一端拴一质量的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时的最小速度？（2）若小球以速度通过周围最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动．典型例题3——转动系统中的惯性力1.一辆质量为的汽车以速度在半径为的水平弯道上做匀速圆周运动．汽车左、右轮相距为，重心离地高度为，车轮与路面之间的静摩擦因数为．求：（1）汽车内外轮各承受多少支持力；（2）汽车能安全行驶的最大速度是多少？2、关于地球的圆周运动例1：把地球看成一个球体，在地球表面上赤道某一点A，北纬60°一点B，在地球自转时，A与B两点角速度之比为多大？线速度之比为多大？3、关于皮带传送装置的圆周运动特点例2：如图所示，皮带传送装置A、B为边缘上两点，O1A=2O2B，C为O1A中点，皮带不打滑．求：（1）νA:νB:νC=（2）ωA:ωB:ωC=4、如图5－26所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径．已知r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_________ ，角速度之比是_________ ，向心加速度之比是__________ ，周期之比是_________．关于汽车通过不同曲面的问题分析例1：一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，求：（重力加速度g=10m/s2）（1）若桥面为凹形，汽车以20m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形，汽车以10m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？2、当小汽车以10m/s的速度通过一座拱桥的最高点，拱桥半径50m，求此车里的一名质量为60kg的乘客对座椅的压力4、关于光滑水平面上物体的圆周运动如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？5、关于静摩擦力提供向心力的问题如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（）A、受重力、支持力B、受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C、重力、支持力、向心力、摩擦力D、以上均不正确6、明确向心力的来源如图所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为，当碗绕竖直轴匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．一圆筒绕其中心轴OO1匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动相对筒无滑动，如图2所示，物体所受向心力是（）A．物体的重力B．筒壁对物体的静摩擦力C．筒壁对物体的弹力D．物体所受重力与弹力的合力7、关于绕同轴转动物体的圆周运动如图所示，两个质量分别为m1=50g和m2=100g的光滑小球套在水平光滑杆上．两球相距21cm，并用细线连接，欲使两球绕轴以600r／min的转速在水平面内转动而光滑动，两球离转动中心各为多少厘米？绳上拉力是多少？8、细绳牵引物体做圆周运动的系列问题一根长的细绳，一端拴一质量的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时的最小速度？（2）若小球以速度通过周围最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动．。
【原创】圆周运动实例分析2(临界问题)
练习：如图所示，半径为R的 光滑半圆球固定在水平面上， 顶部有一小物体 A 。今使无初 速度放置在球的最高点 , 现在 给其一扰动，则物体将（ ） A、沿球面下滑至M点 B 、沿球面下滑至某一点 N ， 便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运 动 D、以上说法都不正确
m R O
N
M
一 水平面内的圆周运动(1)
Ｏ ω
Ｏ'
例,如图，在质量为M的电动机的飞轮 上，固定着一个质量为m的重物（m的 体积和大小可忽略），重物m到飞轮中 心距离为R，飞轮匀速转动时，为了使 电动机的底座不离开地面，转动的角 速度ω最大为多少？
O
R m
M
思考：如果旋转电机转速突然 加快，可能会怎么样？
临界情况及原因？
归纳：
圆周运动的向心力分为两种 受力方面称为提供的向心力
圆运动方面称为需要的向心力
当供和需可以相等时做圆周运动
当供>需，做近心运动
当供<需，做离心运动
简化建模动(1)
解析： 当 ω由 0逐渐增大时，小球的受力情况及 运动轨道半径的变化，可用图表示．
2． 4rad/s<ω<3.2rad/s 显然，当 ω＝ 4rad/s时，小球处于图(d)状态， θ>45° 所以有：
F2cosθ＝ mg 2 F sin θ ＝ mω lBCsinθ 2
因： lBC＝ 2m，代入后解得： F2＝ 2.3N， F1＝ 0
管道
杆球、双管模型 特点：最高点无速度最小值要求，杆可能 产生拉力或支持力
杆球、双管模型规律分析
1.在最高点时若v= gr ， 杆对球作用力为（零）。 2.在最高点时若v＞ gr , 杆对球作用力方向（拉力） 大小(T=mv2/r -mg) 3.在最高点时若v＜ gr , 杆对球作用力方向（压力） 大小(T=mg-mv2/r)
圆周运动的实例分析
物体沿圆的内轨道运动
A
mg
N
N
N
【例题5】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为（ ） 0 mg 3mg 5mg
C
2、轻杆模型
五、竖直平面内圆周运动
质点被一轻杆拉着在竖直面内做圆周运动
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动
过最高点的最小速度是多大?
V=0
Ｌ
R
【例题6】用一轻杆栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动,则下列说法正确的是（ ） A.小球过最高点时,杆的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,杆对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
BD
【例题4】如图所示，火车道转弯处的半径为r，火车质量为m，两铁轨的高度差为h（外轨略高于内轨），两轨间距为L(L>>h)，求： 火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？
四、汽车过拱形桥
T
mg
T
mg
过最高点的最小速度是多大?
O
【例题1】如图所示,一质量为m的小球用长为L的细绳悬于O点,使之在竖直平面内做圆周运动,小球通过最低点时速率为v,则小球在最低点时细绳的张力大小为多少? O mg T
【例题2】用细绳栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R。则下列说法正确的是 A.小球过最高点时,绳子的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
圆周运动的实例分析
圆周运动的实例分析圆周运动是指物体在固定圆周上做匀速旋转的运动。
它在生活中有着广泛的应用，例如车轮的旋转、地球绕太阳的公转等。
本文将通过分析两个具体实例来说明圆周运动的特点和应用。
实例一：车轮的旋转当车辆行驶时，车轮就会以一个轴为中心进行匀速旋转，这就是典型的圆周运动。
车轮的旋转不仅能够驱动车辆前进，还可以改变行驶方向。
根据牛顿第一定律，车轮受到的作用力与向心加速度成正比。
当车辆加速时，作用力增加，车轮的旋转速度也会增加，从而使车辆更快地行驶。
相反，当车辆减速或停止时，车轮的旋转速度也会相应减小或停止。
这种以车轮为例的圆周运动，为我们提供了便利的交通工具。
实例二：地球绕太阳的公转地球围绕太阳做匀速的圆周运动，这就是地球的公转。
这种公转使地球维持着相对稳定的轨道，保持了恒定的距离和倾斜角度，从而使我们能够有四季的交替和昼夜的变化。
地球公转的轨迹是一个近似于椭圆的轨道，太阳位于椭圆焦点之一。
地球公转的周期是365.24天，也就是一年的长度。
这个周期的长短决定了季节的变化和地球上生物的繁衍。
除了以上两个实例，圆周运动还广泛应用于其他领域。
例如，在工程中，我们常常需要使用电机来驱动各种设备的旋转，如风扇、洗衣机等。
这些旋转运动都是圆周运动的实例。
在体育竞技中，篮球、足球等球类运动都有着明显的圆周运动特点。
球员的投篮和射门都需要进行准确的角度和力度的控制，以确保球能够按照预定的轨道运动。
总之，圆周运动在我们的生活中随处可见，它是物体在固定圆周上做匀速旋转的运动。
不仅在自然界中存在着典型的实例，如车轮的旋转和地球的公转，而且在我们的日常生活和工程技术中也广泛应用。
圆周运动的特点和应用使得我们的生活更加便利、丰富多样，并为科学研究和技术发展提供了基础。
圆周运动典型例题及答案详解
“匀速圆周运动”的典型例题【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是R A=R C=2R B．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么[ ]A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则[ ]A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C．当转台转速增加时，C最先发生滑动D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m．长L=1m 的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．若细线能承受的最大张力T m=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义．对本题，还应该熟练掌握数列求和方法．如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。
圆周运动转盘绳两个物体例题
圆周运动转盘绳两个物体例题【例题】。
一个质量为 1 kg 的小球以 10 m/s 的速度沿着圆周运动，绕圆心半径为 2 m 的圆周运动。
固定在圆心上的转盘上系有一根长为 4 m，质量可以忽略不计的细绳，绳的一端系在转盘上，另一端系在小球上。
不考虑绳的拉力，求小球和转盘分别绕圆心的圆周运动速率。
【解题思路】。
当物体做匀速圆周运动时，它们受到向心力（就是所谓的离心力，是一种惯性力）的作用，大小为 Fc = mv^2 / r，方向指向圆心。
因为小球和转盘被绳子连接，它们应该沿着相同的圆周运动轨迹运动，即半径相同，因此它们的向心力大小应该相同。
另外，因为小球和转盘被绳子连接，它们沿着相同的圆周运动轨迹运动，因此它们的速率也应该相同。
根据等速圆周运动关系，v=2πr/T，可以得到小球和转盘的运动周期T相等。
因此，它们的角速度大小和角速度方向也相同。
最后，因为绳子是紧绷的，所以小球和转盘之间的距离应该保持不变。
因此，它们在圆周上的角度也应该相同。
因此，我们可以用比例关系求出小球和转盘的圆周运动速率。
【解题过程】。
首先计算小球的向心力大小：Fc = mv^2 / r = 1 × 10^2 / 2 = 50 N。
因为小球和转盘的向心力大小相同，所以转盘上的绳子也受到50N的向心力作用。
接下来，我们考虑绳的长度和小球离圆心的距离的关系。
由于绳长为4m，小球离圆心的距离为2m，因此绳与水平面夹角为60度。
因为转盘和小球之间的距离保持不变，所以它们之间的夹角也保持不变。
因此，转盘上的绳子与竖直方向夹角也为60度。
我们可以把这个问题分解成水平方向和竖直方向两个部分。
在水平方向上，绳子向心力与重力平衡，因此小球沿圆周运动速率为：v=(Fc/m)1/2=(50/1)1/2≈7.07m/s。
在竖直方向上，绳子向心力必须与重力平衡。
因为绳子的长度为4m，所以绳子的张力也必须等于重力。
因此，转盘上的绳子受到10N的张力，沿圆周运动速率也为7.07m/s。
(完整版)圆周运动典型例题及答案详解
vA∶vB∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【例2】【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．
【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g＝10m·s-2）
（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1．
（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度ω2．
D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动
【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．
“匀速圆周运动”的典型例题
【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么
【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？
圆周运动经典例题
vA
A
例5、如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个
质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度
ω做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的
最大压力和最小压力的数值之差为多少？
【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点 时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时F1>mg。当小铁 块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力 F2），如图所示： 【解析】对铁块，由牛顿第二定律得： 甲：F1-mg=mω2r ① 乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r) ② 由①②两式得： F1±F2=2mω2r. 由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为： 2mω2r. 铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小为： FN=Mg±F2，其中M为电动机的质量. 电动机对地面的最大压力为：F′N=Mg+F1 故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r
解：先求出弹力为0 时的速率v0
v mg m r
2
m
v0 rg 2.25m / s
球应受到内壁向上的支持力N1
2 1
A
O m A
(1) v1=1m/s < v0
v m g N1 m r
N1 1.6( N )
球应受到外壁向下的弹力力N2
(2) v2=4m/s &另一端通过光滑小孔吊着质量 m=0.3千克的物体 ，M与圆孔距离为0.2米，并知M和水平面的最大静摩擦 力为 2 牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在 什么范围m会处于静止状态？(g取10米/秒2) M
O r
m
解：当具有最小值时，M有向圆心运动 趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力2牛。
2.3 圆周案例分析
2.3圆周运动的案例分析【基础知识】一．自行车、汽车转弯问题分析1、自行车转弯自行车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜程度都受到自行车与地面的静摩擦因数μ的限制，如图所示，为了在转弯处不翻倒，要求有足够的静摩擦力提供质心(质量中心)O 做圆周运动所需的向心力．①自行车转弯时的最大速度v 0自行车转弯时所需的向心力由地面的静摩擦力提供，且必须满足F 向≤f max ，即μmg ≥mv 2R，所以最大转弯速度为v 0＝μRg ．2、高速公路上汽车的转弯通常在水平路面上做圆周运动的汽车，是靠路面对汽车的摩擦来提供向心力的．设汽车以速度v 转弯，要转的弯的半径为R ，则需要的侧向静摩擦力f ＝m v 2R． 若该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为f max ，有f max ＝m v 2R得，转弯的最大速率v max ＝f max R m，超过这个速率，汽车就会侧向滑动．二、火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．2．向心力的来源分析(如图所示)火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F ＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mg tan θ＝m v 20R，可得v 0＝gR tan θ.(R 为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v 0为转弯处的规定速度)．4．速度与轨道侧压力的关系①当火车行驶速度v ＝gR tan θ时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。
②当火车行驶速度v ＞gR tan θ时，轮缘对外轨有侧压力。
③当火车行驶速度v ＜gR tan θ时，轮缘对内轨有侧压力。
三、汽车过拱形桥1．凹形桥汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F 和阻力f ，在竖直方向受到桥面向上的支持力F N1和向下的重力G ＝mg ，如图所示。
高三物理圆周运动实例分析试题答案及解析
高三物理圆周运动实例分析试题答案及解析1.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F一v2图象如图乙所示。
不计空气阻力，则A．小球的质量为B．当地的重力加速度大小为C．v2=c时，杆对小球的弹力方向向下D．v2=2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等【答案】AC【解析】A、在最高点，若v=0，则N=mg=a；若N=0，则，解得，，故A正确，B错误；C、由图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2=c时，杆对小球弹力方向向下，所以小球对杆的弹力方向向上，故C正确；D、若c=2b．则，解得N=a=mg，故D错误．【考点】圆周运动及牛顿定律的应用。
2.如图所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于="4" m/s，g取10m/s2。
水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
【答案】（1）2N（2）2m/s（3）【解析】（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为，在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。
则①②设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则③由②③式，得④由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为，此时滑块的速度为V。
在上升过程中，因系统在水平方向不受外力作用，水平方向的动量守恒。
以水平向右的方向为正方向，有⑤在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则⑥由⑤⑥式，得⑦（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始位置点间的距离为，滑块向左移动的距离为，任意时刻小球的水平速度大小为，滑块的速度大小为。
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圆周运动的案例分析-例题思考
1.竖直面内的变速圆周运动是经常考查的一个重点内容.主要对两种物理情景进行考查，即线拉物体和杆连物体；主要对这两种情景中的物体在最高点和最低点两个状态进行考查.在最低点，不论是线拉物体还是杆连物体，线或杆的弹力指向圆心(竖直向上)，物体的重力竖直向下，二者的合力
提供向心力，则有T －mg ＝mr ω2
＝m r
v 2
;在最高点时，线拉物体的临界状态是T ＝0，重力提供向心
力mg ＝m r
v 2
，即v ＝gr .因此可以看出速度必须大于或等于gr 才能保证物体做圆周运动.而杆
连物体时，杆可以对物体提供支持力，因此物体在最高点速度可以为零.当0＜v ＜gr 时，杆对物体提供支持力；当v ＝gr 时，重力刚好提供向心力，杆施加的力为零；当v ＞gr 时，杆对物体施加的是拉力，此时和线拉物体的效果是一样的.
【例1】 如图所示，质量为0.5 kg 的小杯里盛有1 kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做
“水流星”表演，转动半径为1 m ，小杯通过最高点的速度为4 m/s ，g 取10 m/s 2
.求：
(1)在最高点时，绳的拉力；
(2)在最高点时水对小杯底的压力；
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
思路：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点.
解析：(1)求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T 的合力.则有
mg +T =m r
v 2
代入数据，解得T ＝9 N.
(2)求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力.水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N 的合力.即
mg +N =m r
v 2
，
代入数据解得N ＝6 N.
(3)水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力.即
mg =m r
v 2
解得v =10 m/s.
【例2】 如图所示，小球A 质量为m ，固定在轻细直杆L 的一端，并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动.如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力.求：
(1)球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为gL 6，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小. 思路：竖直平面内的杆连物体的圆周运动，主要就是注意在最高点时，有杆提供拉力、支持力和没有力三种情况.在受力分析时应该注意力的方向.
解析：(1)小球A 在最高点时，对球作受力分析：重力mg 、拉力F =mg . 根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力
mg +F =m L
v 2
① F =mg
②
解①②两式，可得v =gL 2.
(2)小球A 在最低点时，对球作受力分析：设向上为正 根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力
F －mg =m L v 2
,
解得F ＝mg ＋m L v 2
=7mg
而球的向心加速度a =L
v 2
=6g .
2.运动物体在转弯时所需的向心力也是由物体所受到的合力来提供的.这时应该注意做圆周运动的圆面和受力不在同一个平面内，但合力却一定在圆面内，沿半径方向.
【例3】 汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).问：
(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
(2)若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？
思路：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小.
解析：(1)汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大.由
μmg =m r
v 2
解得v =gr μ.
(2)当转弯处路面倾斜，且重力和支持力的合力恰等于向心力时，车与路面间无摩擦力，转弯速
度最为理想，则有mg tan α=m r
v 2
解得v =αtan gr .
【例4】 飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象也叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重.过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至昏厥.飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力.图是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测验人的抗荷能力.离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，若被测者所受的重力为G ，现观察到图中的直线AB (即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角.求：
(1)被测者做匀速圆周运动所需的向心力多大？ (2)被测者对座位的压力多大？
解析：被测者做匀速圆周运动的向心力由他所受的重力和座位对他的支持力的合力来提供，对其受力分析如图所示.
(1)做匀速圆周运动需要的向心力
F 向=
G cot30°=3G .
(2)座位对其的支持力为F ＝G /sin30°=2G
由牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力大小也为2 G .
点评：该题考查了做匀速圆周运动的物体的向心力是由物体所受的重力和支持力的合力来提供的.情景设置比较新颖，但题目的难度不大，乍看起来，好像是条件不足，但实际上，在解答时，只
要正确地判断向心力的来源，能够作出力的合成图示，就可以正确地求解.。