西华大学计算方法试题2011 (11)

西华大学研究生课程考试试题
课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2010 学时： 60 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号:
一、设下列各近似值均有4位有效数字,*0.001428x =,*13.521y =,*
2.300z =,试指出它
们的绝对误差限和相对误差限. 解: 1) 由*
24611||101022x x ----≤
⨯=⨯,得*x 的绝对误差限为61
102
-⨯,相对误关节限为 6
410 3.51020.001428
--≈⨯⨯;
2) 由*
24211||101022y y ---≤
⨯=⨯,得得*y 的绝对误差限为21
102
-⨯,相对误关节限为2
410 3.710213.521
--≈⨯⨯;
3) 由*
14311||101022z z ---≤
⨯=⨯,得得*y 的绝对误差限为31
102
-⨯,相对误关节限为3
410 2.2102 2.3
--≈⨯⨯.
二、对于给定值0a >,应用Newton
. 解: 令21()f x a x =
-,
()0f x =的根
, 的迭代公式为1()()n n n n f x x x f x +=-',化简得:2
10.5(3)n n n x x ax +=-.
三、设方程组b AX =：⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111163852741321x x x 1．求出三角分解式LU A =
2．利用上述分解求出b AX =的解
解: 1. 100230362L ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
, 147012001U ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦, A LU =; 2. 先解方程123100123013621y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得1231130y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
;再解方程1231147101230010x x x ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得原方程的解为113x =-,21
3
x =,30x =.
四、设
0.60.50.10.3A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
计算1||||A ,2||||A ,||||A ∞以及()A ρ。

解: 2
112
1
max
||max(0.7,0.8)0.8ij
j i A a
≤≤====∑; 2
12
1
max ||max(1.1,0.4) 1.1ij i j A a ∞≤≤====∑;
0.370.330.330.34T A A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
, 2
det()0.710.0059T I A A λλλ-=-+,得特征值:10.6853λ≈, 20.0247λ≈,
所以20.8278A ≈;
2
det()0.90.13I A λλλ-=-+,得特征值:
10.7193λ≈, 20.1807λ≈,所以
()0.71
A ρ≈.
五、给定方程组b AX =：⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111211*********x x x
（1）分别写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的迭代公式;
（2）判断Gauss-Seidel 迭代法是否收敛.
解: (1) Jacobi 迭代公式(1)()()123(1)()()
213
(1)()()3121(1)211(1)2k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=+-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-++⎪⎩
,
Gauss-Seidel 迭代公式(1)()()1
23(1)(1)()
213
(1)(1)(1)3121(1)2
11(1)2k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=+-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-++⎪⎩
; (2)
00.50.500.50.5000.5s B -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
,2
det()(0.5)S I B λλλ-=+,()0.51S B ρ=<,故Gauss-Seidel 迭代法收敛
六、试用Newton 插值公式求经过点(3,1),(0,2),(3,2),(6,10)---的三次插值公式.。

解: (3)1f -=-, [2,0]1f -=, 7[3,0,3]18f -=-, 23
[3,0,3,6]162
f -=-, 37
23
()1(3)(3)(3)(3)
18162
N x x x x x x x =-++-
+++-
七、求数据(1,0),(2,2),(3,2),(4,5),(5,4)的最小二乘拟合y a bx =+.
解: 矛盾方程为0223245
54
a b a b a b a b a b +=⎧⎪+=⎪⎪
+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩, 法方程为51513155550a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解之得0.7a =-, 1.1b =.故最小二乘拟合为0.7 1.1y x =-+
八、假设函数()f x 在[,]a b 可积,n T 为积分
()b
a
f x dx ⎰
的复化梯形公式,证明:
lim ()b n a
n T f x dx →∞
=⎰.
证明: 设b a
h n
-=, k x a kh =+, 0,1,2,
,k n =,则[]1
10
()()2n n k k k h T f x f x -+==+∑, 将区间
[,]a b n 等分,得k x h ∆=. 取k k x ζ=,得积分和1
1
10
()()n n k k k k k S f x x h f x --===∆=∑∑,取
1k k x ζ+=,得积分和11
2110
()()n n k k k k k S f x x h f x --++===∆=∑∑.由于()f x 在[,]a b 可积, 所以
12lim lim ()b a
n n S S f x dx →∞
→∞
==⎰,故lim ()b
n a
n T f x dx →∞
=⎰.
九、用梯形公式求解初值问题83,(12)
(1)2
y y x y '=-≤≤⎧⎨
=⎩.取0.2h =计算,要求小数点后保留5
位有效数字. 解: 初值问题83,(12)(1)2
y y x y '=-≤≤⎧⎨
=⎩梯形公式为11(8383)2n n n n h
y y y y ++=+-+-,解出
1n y +得：116232323n n h h
y y h h
+-=
-++，又01x =，0.2h =，5n =， 10.1538y ≈，2 1.1480y ≈，30.6126y =，40.9009y ≈，50.7457y ≈。

十、应用显式Euler 公式解初值问题
010(0)y y
y y '=-⎧⎨
=⎩
, 为保证绝对稳定性,问步长h 应加什么限制? 解: 取定步长h , 初值问题的显式Euler 公式为10
(110)n n
y h y y +=-⎧⎨
⎩, 设在k y 有摄动δ, 即
k k y y δ=+,那么有
1(110)m m y h y +=-, m k ≥
因此
11|||110|||m m m m y y h y y ++-=-- 211|110|||m m h y y --=--
1|110|||m k k k h y y +-=--, 1m k ≥-
于是, 若|110|1h -<,则11||m m y y δ++-<,Euler 公式是绝对稳定的, 由|110|1h -<, 得
105h <<
, 故为保证绝对稳定性,步长h 应105
h <<.。