数学苏教版选修1-1作业：第1章1.1.2 充分条件和必要条件

[基础达标]
1．设x ∈R ||，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的________条件． 解析：由不等式2x 2＋x －1>0||，即(x ＋1)(2x －1)>0||，得x >12或x <－1||，所以由x >12
可以得到不等式2x 2＋x －1>0成立||，但由2x 2＋x －1>0不一定得到x >12||，所以x >12
是2x 2＋x －1>0的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2．(x ＋1)(x ＋2)>0是(x ＋1)(x 2＋2)>0的________条件．
解析：(x ＋1)(x ＋2)>0⇒x <－2或x >－1||，(x ＋1)·(x 2＋2)>0⇒x >－1||，因为x >－1⇒x <－2或x >－1||，x <－2或x >－1 x >－1||，所以应填“必要不充分”． 答案：必要不充分
3．设p 、r 都是q 的充分条件||，s 是q 的充分必要条件||，t 是s 的必要条件||，t 是r 的充分条件||，那么p 是t 的________条件||，r 是t 的________条件． 解析：由题意知p ⇒q ||，r ⇒q ||，s ⇔q ||，s ⇒t ||，t ⇒r ||，所以p ⇒t ||，r ⇔t . 答案：充分 充要
4．若a ∈R ||，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的________条件．
解析：因为a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0||，而(a －1)(a －2)＝0a ＝2||，故“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
5．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的________条件．
解析：当m ＝12
时||，两直线斜率乘积为－1||，从而可得两直线垂直||，故原命题为真．而当m ＝－2时两直线一条斜率为0||，一条斜率不存在||，但两直线仍然垂直||，所以其逆命题为假．
答案：充分不必要
6．设a ||，b ||，c ∈R ＋||，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c
≤a ＋b ＋c ”的________条件． 解析：当a ＝b ＝c ＝2时||，有1a ＋1b ＋1c
≤a ＋b ＋c ||，但abc ≠1||，所以必要性不成立；当abc ＝1时||，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc
＝bc ＋ac ＋ab ||，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ||，所以充分性成立||，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．求使关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0的两根都大于2的充要条件．
解：设关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0的两根为x 1||，x 2||，依题意||，得⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0x 1>2，x 2>2
不等式组等价于
⎩⎨⎧ (2m )2－4(m 2－m －2)≥0(x 1－2)＋(x 2－2)>0
(x 1－2)(x 2－2)>0||，
⎩⎨⎧ 4m ＋8≥0
2m >4m 2－5m ＋2>0||，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m >2m <5－172或m >5＋172
||，
∴m >5＋172. 即关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0
的两根都大于2的充要条件为{m |m >5＋172
}． 8．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：充分性：因为a －b ＋c ＝0||，
即a ·(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝0||，
所以－1是ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．
必要性：因为ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1||，
所以a ·(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝0||，即a －b ＋c ＝0.
综上可得ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.
[能力提升]
1．已知α1||，α2||，α3是三个相互平行的平面||，平面α1||，α2之间的距离为d 1||，平面α2||，α3之间的距离为d 2.直线l 与α1||，α2||，α3分别相交于P 1||，P 2||，P 3||，那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的________条件．
解析：(1)当直线l 与三个平行平面α1||，α2||，α3垂直时||，显然P 1P 2＝P 2P 3⇔d 1＝d 2.
(2)当直线l 与α1||，α2||，α3斜交时||，过点P 1作直线P 1A ⊥α2分别交α2||，α3于点A ||，B ||，则P 1A ⊥α3||，故P 1A ＝d 1||，AB ＝d 2||，显然||，相交直线l 与直线P 1A 确定一个平面β||，
∵α1∥α2∥α3||，∴P 2A ∥P 3B ||，∴P 1P 2P 2P 3＝d 1d 2
.故P 1P 2＝P 2P 3⇔d 1＝d 2.综上知应填充分必要条件． 答案：充分必要
2．设n ∈N *||，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：由题意得x ＝4±16－4n 2
＝2±4－n ||，因为x 是整数||，即2±4－n 为整数||，所以4－n 为整数||，且n ≤4||，又因
为n ∈N *||，取n ＝1||，2||，3||，4||，验证可知n ＝3||，4符合题意；反之n ＝3||，4时都可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．
答案：3或4
3．已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}||，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}||，若p 是q 的充分不
必要条件||，求实数a 的取值范围．
解：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}||，
∵p 是q 的充分不必要条件||，
∴p ⇒q ||，q p ||，即A B ||，
可知A ＝∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根在区间[1||，2]内||，
∴Δ＝a 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥01≤－a 2≤24＋2a ＋1≥01＋a ＋1≥0||，
得－2≤a <2.
即实数a 的取值范围为－2≤a <2.
4．已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)>0}||，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}．
(1)求a 的一个值||，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件；
(2)求a 的一个取值范围||，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要不充分条件． 解：M ＝{x |x <－3或x >5}||，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}．
(1)显然||，当－3≤－a ≤5||，即－5≤a ≤3时||，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}．取a ＝0||，由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．
(2)当M ∩P ＝{x |5<x ≤8}时||，－5≤a ≤3||，此时有a ≤3||，但当a ≤3时||，推不出M ∩P ＝{x |5<x ≤8}．所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要不充分条件．。