高考数学二轮专题辅导与训练 专题七第2讲坐标系与参数方程课时训练提能1

专题七 第2讲 坐标系与参数方程
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．极坐标方程ρ－1＝0(ρ≥0)表示的图形是 A ．一条直线 B ．一条射线 C ．一个圆
D ．半圆
解析 由ρ－1＝0得ρ2
＝1，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1， 又ρ≥0，故表示半圆． 答案 D
2．参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ
y ＝－2＋sin θ(θ为参数)所表示的图形是
A ．直线
B ．射线
C ．圆
D ．半圆
解析 把参数方程化为普通方程为 (x －1)2
＋(y ＋2)2
＝1.故参数方程表示圆． 答案 C
3．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1
D ．ρsin θ＝1
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1， 所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C. 答案 C
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t ＋1，(t ∈R )，圆的参数方程
为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ＋1，
y ＝sin θ，(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为 A ．0 B ．2 C. 2
D.2
2
解析 化直线l 的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t ＋1(t ∈R )为普通方程x －y ＋1＝0，化圆的参数方程
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ∈[0,2π))为普通方程(x －1)2＋y 2
＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距
离为
|1－0＋1|12
＋－
2
＝ 2.故选C.
答案 C
5．在极坐标系中，点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为
A ．2
B.
4＋π
2
9
C.
1＋π
2
9
D. 3
解析 极坐标系中的点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆
ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2
＋y 2
＝1，其圆心为(1,0)．
∴所求两点间的距离为－
2
＋3－
2
＝ 3.
答案 D 6．已知曲线C
的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋cos θ，
y ＝1＋sin θ
(θ∈[0，π])，且点P (x ，y )在曲线C
上，则
y ＋x －1
x
的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，
33 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，1＋32 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，43
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，3＋33
解析 由曲线的参数方程可知曲线是以O (2,1)为圆心，
r ＝1的上半圆，如图．
又令t ＝y ＋x －1x ＝1＋y －1
x
， 因为
y －1
x
的范围就是过点P (x ，y )与点A (0,1)的直线的斜率的范围．可算得kP 1A ＝0，kP 2A ＝
33
， 可知0≤k PA ≤
33
， 所以1≤t ≤3＋3
3
.故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·湖北)在直角坐标系xO y 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．已知射线θ＝π
4与曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝t －2
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点
的直角坐标为________．
解析 θ＝π
4在直角坐标系下的一般方程为y ＝x (x ∈R )，将参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝t －
2
(t
为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为y ＝(t －1)2
＝(x －1－1)2
＝(x －2)2
表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有x 2
－5x ＋4＝0，设A 、B 两点及其中点P 的横坐标分别为x A 、
x B 、x 0，则有韦达定理x 0＝x A ＋x B 2
＝5
2
，
又由于点P 在直线y ＝x 上，因此AB 的中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，52 8．(2012·汕头高三模拟)已知直线l 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s (s
为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.
解析 将直线l 1，l 2的参数方程分别化为直角坐标方程为：
l 1：kx ＋2y －k －4＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，
若l 1∥l 2，则k ＝4；
若l 1⊥l 2，则2k ＋2＝0，即k ＝－1. 答案 4 －1
9．(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6(ρ∈R )的距离是
________．
解析 圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝4，圆心C (0,2)， 直线l ：θ＝π
6(ρ∈R )化为直角坐标方程为x －3y ＝0；
点C 到直线l 的距离是|0－23|
2＝ 3.
答案
3
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2012·吉林实验中学高三模拟)已知圆C ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，直线
l ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋4
5t ，y ＝3
5t
(t 为参数)．
(1)求圆C 的普通方程，若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆
C 的极坐标方程；
(2)判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．若相交，请求出弦长． 解析 (1)由圆C 的参数方程消参可得， (x －2)2
＋y 2
＝4，
圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)解法一 由于直线l 过圆心(2,0)， 所以直线与圆相交，且弦长为4. 解法二 l ：3x －4y －6＝0， 圆心到直线的距离d ＝|6－6|32
＋－
2
＝0＜r ，
所以直线l 与圆相交，
由于直线l 过圆心(2,0)，所以弦长为4.
11．(2012·大纲全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2cos φ，y ＝3sin φ
(φ为参数)，以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD
的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2
＋|PB |2
＋|PC |2
＋|PD |2
的取值范围． 解析 (1)由已知可得A ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋π2， C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π
3＋π，2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π
3
＋π，
D ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋
3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．
(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2
＋|PB |2
＋|PC |2
＋|PD |2
，则S ＝16cos 2
φ＋36sin 2
φ＋16＝32＋20sin 2
φ.
因为0≤sin 2
φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
12．(2012·东北四校一模)在极坐标系中，曲线L ：ρ2
sin 2
θ＝2cos θ，过点A (5，α)⎝ ⎛⎭⎪⎫α为锐角且tan α＝34作平行于θ＝π4(ρ∈R )的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点．
(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；
(2)求|BC |的长．
解析 (1)由题意得，点A 的直角坐标为(4,3)， 曲线L 的普通方程为y 2
＝2x ， 直线l 的普通方程为y ＝x －1.
(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩
⎪⎨
⎪⎧ y 2
＝2x ，
y ＝x －1.
①②
把②式代入①式并整理得x 2
－4x ＋1＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. 由弦长公式得|BC |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2 6.。