导数单元进阶训练
导数的运算专项练习(含答案)
导数的运算一、单选题（共33题；共66分）′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B.3 C.4 D. －2.函数的导数为（）A. B.C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B.C.D.4.设则等于( )A. B.C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A.B.C. 1D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B. C. D.8.已知函数的值为（）A.B. C .D.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B.C. D .11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin2x C. 1-2sin2x D. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D.＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B.－4 C. －2 D. 2 14.设，若，则（）C.D.15.已知函数，则其导数（）A. B.C.D.16.若函数，则的值为（）A. 0 B . 2 C.1 D.－117.已知函数，且，则的值为（）A. B.C.D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A.B.C.D.19.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B . C.21.若，则函数的导函数（）A. B.C. D.22.函数的导数为（）A. B.C.D.23.下列导数式子正确的是（）A. B.C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B.C.D.26.已知，则（）A.B.C.D.27.设，，则x0＝( )A. e2B.e C.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞) C. (－1，0) D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C.D.31.已知，则( )A. B.C.D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B.e C.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。
导数的四则运算综合训练
例 4、已知函数 f ( x) x3 bx2 cx d 的 图像过点 P(0，2)，且在点 M(-1，f(-1))处 的切线方程为 6x y 7 0 .求函数 y=f(x) 的解析式.
例 5、已知函数 f ( x) 2x3 ax 与 g(x) bx2 c 的图像都经过点 P(2，0)， 且在点 P 处有公共切线，求 f(x)，g(x) 的表达式。
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时
变化率：（1） 90% （2） 98%
例 3、求满足下列条件的函数 f(x)： (1) f(x)是三次函数, 且 f (0) 3, f '(0) 0, f '(1) 3, f '(2) 0 (2) f '( x) 是一次函数,
x2 f '( x) (2x 1) f ( x) 1
则 a 的值等于（
19
A. 3
13
C. 3
）
16
B. 3
10
D. 3
特别的： [c f ( x)]' cf '(x)
3.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母
的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方 f ( x) f '( x)g( x) f ( x)g '( x)
g(
x)
'
g2(x)
(g( x) 0)
特别的:
1 g x
g
x
g2 x
知识应用
例 1、求下列函数的导数：
(1) y x2(ln x sin x)
(2) y
cos x x2x例 2、日常生活中的饮水通常是经过净化的．
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
数学导数练习题和答案
数学导数练习题和答案1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数。
解：首先应用幂函数的导数规则，\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
2. 计算函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \) 的导数。
解：利用三角函数和指数函数的导数规则，\( g'(x) = \cos(x) + e^x \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解：对数函数的导数为 \( \frac{1}{x} \)，因此 \( h'(1) = 1 \)。
4. 求函数 \( k(x) = \frac{1}{x} \) 的导数。
解：使用商的导数规则，\( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \)。
5. 计算复合函数 \( F(x) = (x^2 + 1)^3 \) 的导数。
解：应用链式法则，\( F'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x =6x(x^2 + 1)^2 \)。
6. 求函数 \( G(x) = \sqrt{x} \) 的导数。
解：使用根号函数的导数规则，\( G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)。
7. 计算函数 \( H(x) = e^{2x} \) 的导数。
解：指数函数的导数规则表明，\( H'(x) = 2e^{2x} \)。
8. 确定函数 \( I(x) = \tan(x) \) 的导数。
解：正切函数的导数为 \( \sec^2(x) \)，因此 \( I'(x) =\sec^2(x) \)。
9. 求函数 \( J(x) = \arcsin(x) \) 的导数。
解：反正弦函数的导数为 \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)，所以 \( J'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)。
高中数学总复习单元练习题15 导数及其运算
高中数学总复习单元练习题15 导数及其运算模拟训练（分值：30分 建议用时：20分钟）1．设函数f(x)＝g(x)＋x 2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ( )A ．2B ．－14C ．4D ．－12 【答案】C【解析】由已知得g ′(1)=2,又 f′(x) ＝g ′(x)+2x, 所以f′(1) ＝g ′(1)+2=4.2．设a ∈R ，函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y ＝f(x)在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x【答案】A3．若P 、Q 是函数f(x)＝x 2－x(－1≤x≤1)图象上任意不同的两点，那么直线PQ 的斜率的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,1)C ．(0,3)D ．(－4,2)【答案】A【解析】由y′＝2x －1(－1≤x≤1)，得A 点处曲线切线斜率k 1＝－3，B 点处曲线切线斜率k 2＝1.又由于P ，Q 是f(x)＝x 2－x(－1≤x≤1)上任意不同的两点，结合右面图象分析得直线PQ 的斜率的取值范围为(－3，1)，故选A.4．如图，曲线y ＝f(x)上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ，过P 作PT 垂直于x 轴于T ，若△PTQ 的面积为12，则y 与y′的关系满足( )A ．y ＝y′B ．y ＝－y′C ．y ＝y 2D ．y 2＝y′【答案】D5．已知函数的图像在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）A ．20122011B.20112010 C ．20102009D ．20092008【答案】A 【解析】∵，∴f′(x)＝2x -b.∴f′(1)＝2-b. 又的图像在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线平行， ∴2-b ＝3，∴b ＝-1.所以，则n S =，2011S =20122011. 6.过曲线上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.[)π,0 【答案】B【解析】∵y ＝x 2-2x ＋3，∴y′＝2x-2.∵切点P 的横坐标的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21∴曲线在点P 处的切线斜率-1≤k≤1. ∴切线的倾斜角的取值范围是7．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．【答案】－2≤b≤2【解析】由导函数的几何意义知，切线的斜率k ＝f′(x)＝x 2＋2bx ＋4≥0恒成立⇔Δ＝4b 2－16≤0⇔－2≤b≤2.8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x 2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________. 【答案】6【失分点分析】在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x 0)与(f(x 0))′是不一样的，f′(x 0)代表函数f(x)在x= x 0处的导数值，不一定为0；而(f(x 0))′是函数值f(x 0)的导数，而函数值f(x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x 0))′=0.9直线kx y =是曲线x y sin =的一条切线，则符合条件的一个k 的值为 ． 【答案】1【解析】'cos y x =,设切点为()00,x y 则切线方程为，即与y kx =对比知，所以，00tan x x =，显然00x =是其中一个满足的结果，所以【规律总结】（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P （x0，y0），然后求其切线斜率k=f ′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.10.已知的图象在点(,())k k a f a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，求135a a a ++的值.【解析】由，得x y 2='，则，则在点(,())k k a f a 处的切线方程为，与x 轴的交点的坐标为（1k a +，0），则得211=+k k a a ，所以数列}{n a 以116a =为首项，以21为公比的等比数列，，所以135a a a ++的值是21.11．已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？个交点(－2,32)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.【规律总结】①若直线与曲线相切，该切线与曲线不一定只有一个切点是它们的公共点，还可能有其它的公共点．②求切线方程一般要先求出切点坐标．12.设函数f(x)＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y ＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【解析】(1)f′(x)＝a －1x ＋b2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －12＋b 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）13.( 5分)已知函数，且在()f x 图象上点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是（ ）A ．（-1，1）B ．2(,1)3C ．2(,1)3-D ．2(1,)3-【答案】C14．(5分)已知f(x)=33x x m -+，在区间[0,2]上任取三个数,,a b c ,均存在以为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >B. 4m >C. 6m >D. 8m > 【答案】C 【解析】由得到（舍去）所以函数)(x f 在区间)1,0(单调递减，在区间)2,1(单调递增，则，m f =)0(，由题意知，①，，得到 ②，由①②得到m ＞6为所求。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
高中数学导数单元测试试题(附答案)教学教材
高中数学导数单元测试试题(附答案)（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
高中数学导数专题训练精选练习题(有答案)
高中数学导数专题训练精选练习题注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前5分钟收取答题卡一、选择题1.函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．2.函数的单调递增区间是（）A． B． C．D．3.函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2ex－e－1 B．y＝2ex－e ＋1C．y＝2ex＋e－1 D．y＝2ex＋e ＋14.函数的导数是（）A. B. C.D.5.设，若，则=A． B．C． D．6.函数y＝的最大值为( )A．e－1 B．eC．e2 D.7.对函数f(x)＝－x4＋2x2＋3有( )A．最大值4，最小值－4 B．最大值4，无最小值C．无最大值，最小值－4 D．既无最大值也无最小值8.函数在处的切线方程是.A． B． C．D．9. 函数的导数是( )A. B. C. D.二、填空题1.已知函数的导函数为，且满足，则______.2.曲线在点处的切线方程为________．3.已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.4.函数y=sin2x-x,x∈［-,］的最大值是________，最小值是________.5.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形面积为________．三、解答题1.求下列函数的导数.y=.2.设函数，．（1）当时，函数取得极值，求的值；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最大值；（3）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的值．3.已知函数(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数的单调性。
4.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数b的最大值。
5.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.6.已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．7.已知函数，.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.8.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)．x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．参考答案一、选择题1、【答案】A2、【答案】D函数的定义域为，且，解不等式，即，由于，解得.因此，函数的单调递增区间为，故选：D.3、【答案】A解析：f(1)＝e－1，f′(x)＝ex(1＋x)＋－1，f′(1)＝2e，∴在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝2e(x－1)，即为y＝2ex－e－1.4、【答案】A【解】故选A5、【答案】C6、【答案】A令y′＝＝0(x＞0)，解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0. y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以ymax＝.7、【答案】B8、【答案】A9、【答案】A二、填空题1、解：求导得：，令，得，解得：∴，，故答案为-2．2、因为曲线，所以将带入曲线中可得，带入导函数中可得，所以曲线在点处的切线方程为，即。
(完整版)导数测试题(含答案)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之 成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.
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【解析】
【分析】
利用导数与函数单调性的关系即可求解.
【详解】
由导函数 的图象知在区间 上， ，
所以函数 在 上单调递增．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由导数的图像研究函数的单调性，需掌握导数与函数单调性的关系，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
先对函数求导，再求函数的单调区间，即得函数的最大值.
A． B． C． D．15．曲线 在点 源自的切线方程为（）.A． B．
C． D．
6．设函数 ，则下列说法中正确的是（）．
A． 在区间 ， 内均有零点B． 在区间 ， 内均无零点
C． 在区间 内有零点，在区间 内无零点
D． 在区间 内无零点，在区间 内有零点
7．如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（）
【详解】
因为直线 是曲线 在 处的切线，
所以 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，由图像可知 ，
所以 ， ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查导数的乘法法则，若函数 ，则 ，考查推理能力，是简单题.
15．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对函数 进行求导，根据 可求出 和 的值．
6．D
【解析】
【分析】
计算 ，根据 符号判断原函数的单调性，然后代入所给区间端点值计算，简单判断即可.
【详解】
由题可知：
则
若 ， ，函数 单调递减
若 ， ，函数 单调递增
所以函数 在 ， 单调递减，
又 ， ，
所以函数 在 无零点，在 有零点
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数判断在所给区间零点问题，掌握导数与原函数的关系，属基础题.
导数单元进阶训练（渐入佳境）
一、单选题
1．函数 的导数为（）
A． B．
C． D．
2．已知函数 在区间 上可导，则“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 在点 处的切线的倾斜角是 ，则 的值为（）
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
故答案为： .
【点睛】
本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
12．2
【解析】
【分析】
求出导函数，由 时的导数值等于3可得 ．
【详解】
由 求导可得： ，故在 处切线斜率为 ，由题意， ，所以 .
故答案为：2．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，掌握导数的运算是解题基础．
【详解】
解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故 ，即 ，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则 ，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
A．函数 的图像在点 处的切线方程为
B． 是函数 的一个极值点
C．当 时，
D．当 时，不等式 的解集为
三、填空题
11．曲线 在 处的切线方程为______.
12．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则 __________.
13．已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则a＋b＝_______.
14．如图， 是可导函数，直线 是曲线 在 处的切线，令 ，其中 是 的导数，则 ________．
②在x 2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈∅，
③在﹣2 1时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值 0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
（Ⅱ）将 和 的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．
试题解析：
（1）
由题意可知：
（2）
16．(1)f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【解析】
【分析】
（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f（x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 3（x﹣1） 6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1） 3[﹣（x﹣1）+（ ）]≤﹣3（2 ）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1） 6最大值为0，∴（ ）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
x
﹣3
（﹣3，﹣2）
﹣2
（﹣2， ）
（ ，1）
1
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
【详解】
f′(x)＝ ，
当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝ .
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
9．AB
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
11．
【解析】
【分析】
根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.
【详解】
解：对 求导得： ，
故在 处切线斜率为 ，所以切线方程为 .
【解析】
【分析】
求导，令 ，故 或 ，经检验可得 点的坐标.
【详解】
因 ，令 ，故 或 ，所以 或 ，
经检验，点 ， 均不在直线 上，
故选：AB
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．
10．ACD
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到 ，求出函数 的图像在点 处的切线方程，即判断A；根据 时， 恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出 时， 的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断 时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
四、解答题
15．设 与 是函数 的两个极值点.
（1）试确定常数 和 的值；
（2）求函数 的单调区间；
16．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
A．在区间 上 是增函数B．在区间 上 是减函数
C．在区间 上 是增函数D．在区间 上 是增函数
8．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0B． C. +1D．
二、多选题
9．曲线 在点P处的切线平行于 ，则点P的坐标为（）
A． B． C． D．
10．关于函数 ，下列判断正确的是（）
【详解】
为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当 ， 时， ，结合幂函数图象知 无最小值，必要性不成立
“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的充分不必要条件
故选：
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为 ，但导数值为 的点未必是极值点.
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．