编号37山西大学附中高三年级三角函数的图象与性质(二)
2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题+答案解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，，则复数z 的模等于( )2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题A. 1B.C.D. 22.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知a ，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数在下列哪个区间上单调递增( )A.B.C.D.5.已知双曲线，若对任意实数m ，直线与C 至多有一个交点，则C 的离心率为( )A.B.C.D. 6.考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则( )A.B.C.D.7.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC 上，则线段PQ长度的最小值是 ( )A. B. C. D.8.已知，则( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序相等数据相邻排列排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则( )A.B. 该组数据的均值一定为90C. 该组数据的众数一定为84和96D. 若要使该总体的标准差最小，则10.如图，棱长为2的正方体的内切球球心为O，分别是棱的中点，G在棱上移动，则( )A. 对于任意点G，平面B. 存在点G，使平面C. 直线的被球O截得的弦长为D. 过直线的平面截球O所得截面圆面积的最小值为11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为( )A. B. C. D.12.已知函数为自然对数的底数，过点作曲线的切线．下列说法正确的是( )A. 当时，若只能作两条切线，则B. 当，时，则可作三条切线C. 当时，可作三条切线，则D. 当，时，有且只有一条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
三角函数公式、图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
数学精华课件：三角函数的图象和性质
课堂互动讲练
跟踪训练
5π π π (2)由于区间[－ ， )的长度为 ， 12 12 2 为半个周期． 5π π 又 f(x)在－ ， 分别取到函数的最 12 12 3 3 3 3 小值 －1，最大值 ＋1，所以函数 2 2 5π π 3 3 f(x)在区间[－12，12 )上的值域为[ 2 － 3 3 1， 2 ＋1)．
对称性
π 对称轴l： x＝kπ＋ (k∈Z) 2
对称轴l： x＝ kπ(k∈Z)
基础知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称中心是 正弦函数、余弦函数与x轴的交点，所以 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的对称中心就是 该函数与x轴的交点，这种说法对吗？ 【思考· 提示】 不正确，应是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋B与直线y＝B的交点．
三基能力强化
2．(2009年高考福建卷改编)函数f(x) ＝sinxcosx的最小值是________．
1 1 解析：f(x)＝sinxcosx＝2sin2x≥－2. 1 答案：－2
三基能力强化
3．(2010 年绍兴质检)关于函数 y＝1＋ cos2x 的图象， 下面说法正确的是________． ①关于 x 轴对称 ②关于原点对称 π π ③关于点( ， 0)对称 ④关于直线 x＝ 对称 4 2
课堂互动讲练
考点二 三角函数的单调性
1．准确记忆三角函数的单调区间是求 复合三角函数单调区间的基础． 2．形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 函数的单调区间， 基本思路是把 ωx＋φ 看作 π π 一 个 整 体 ， 由 － 2 ＋ 2kπ≤ωx ＋ φ≤ 2 ＋ π 2kπ(k∈Z)求得函数的增区间， 2＋2kπ≤ωx 由 3π ＋φ≤ 2 ＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．
学案4 山西大学附中任意角的三角函数学案(2)
山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号4任意角的三角函数【学习目标】1、知道三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域。
2、认识正弦线、余弦线、正切线3、已知一个角能作出该角的正弦线、余弦线和正切线【学习重点】三角函数线的理解【学习难点】三角函数线的应用【学习过程】一、导学例题6、求下列函数的定义域：(1)x x y cos sin += (2) x x y tan sin += （3) x x y tan sin +=（五）三角函数的几何表示问题1 ：回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?请在单位圆上，作出角α的正弦线、余弦线、正切线。
例7、如右图βα,的终边分别与单位圆交于点Q P ,,过点)0,1(A 作切线AT ,交射线OP 于点T ,交射线OQ 的反向延长线于'T ，点Q P ,在x 轴上的射影分别为点N M ,,则sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.二、.课堂自测 三角函数 定义域αsin αcos αtan1.若4π<θ<2π,则θθθtan ,cos ,sin 的大小关系是( ) A. θθθtan cos sin >> B. θθθcos tan sin <<C. θθθcos tan sin >>D. θθθcos sin tan >>2.若πα20<<,则使αsin <23和αcos >21同时成立的α的取值范围是( ) A.(3π-,3π) B.(0,3π) C.(35π,π2) D.(0,3π)∪(35π,π2) 3.在)2,0(π内,使x x cos sin >成立的x 的取值范围是_______.4.利用单位圆和三角函数线证明:若α为锐角,则(1) αsin +αcos >1; (2)1cos sin 22=+αα5.已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得αsin 、αcos 是关于x 的方程012682=+++m mx x 的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由.。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它们在数学和物理中有广泛的应用。
通过研究三角函数的图像和性质，我们可以更好地理解它们的特点和变化规律。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面介绍它们的图像与性质。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的纵坐标y就表示正弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时正弦函数的值是一一对应关系。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为360度或2π（弧度），即sin(x+360°)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤sin(x)≤1。
4. 单调性：正弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
5. 对称轴：正弦函数图像关于直线y=0对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数与正弦函数非常相似，它们的主要区别在于相位差。
余弦函数的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的横坐标x就表示余弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时余弦函数的值是一一对应关系。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期为360度或2π（弧度），即cos(x+360°)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤cos(x)≤1。
4. 单调性：余弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
常见三角函数图像及性质
常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。
正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。
正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。
•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。
•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。
余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。
•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。
•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。
正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。
正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。
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山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号37
三角函数的图象和性质（二）
【学习目标】记忆sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 【学习重点】记忆sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 【学习难点】会用sin()y A x ωϕ=+的图像与性质
【学习过程】
（一）基础梳理：
1．理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；
2．在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．
（二）巩固练习：
1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ）
A ．0
B ．4π
C ．2
π
D ．π 2．方程2
sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ） A ．[3,1]- B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ． 以上都不对
3．函数x x y 2cos 32sin -= )6
6(π
π≤≤-x 的值域为 （ ）A ．[]2,2- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．]0,3[-4．已知函数sin 3
y x π
＝在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．已知在函数()x
f x R
π=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在
222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．定义在R 上的函数|2|2)(,]3,1[),2()()(--=∈+=x x f x x f x f x f 时当满足，则
A ．)6(cos )6(sin
π
πf f < B ．)1(cos )1(sin f f > C ．)3
2(sin )32(cos π
πf f < D ．)2(sin )2(cos f f > （ ）
7．已知不等式()2
cos 044
4x
x x f x m =≤对于任意的566
x ππ-
≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）.
A
．m ≥ B
．m ≤ C
．m ≤ D
．m ≤≤ 8．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________．
9．函数22
()cos 2cos 2
x
f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 10
．当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________ ．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC
，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离 为()f θ，则()f θ＝ ．
12．下列五个命题：①44
sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{,}2
k x x k Z π
=
∈；③在同一坐标系中，sin y x =的图象和y x =的图象有三个公共点；④sin()2y x π
=-
在[0,]π上是减函数；⑤把3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6
π
得到3sin 2y x =的图象。
其中真命题的序号是 ．
13．定义在R 上的函数()f x ：当sin x ≤cos x 时，()cos f x x =；当sin cos x x >时，
()sin f x x =．给出以下结论：①()f x 是周期函数②()f x 的最小值为1-③当且仅当2()x k k π=∈Z 时，()f x 取最大值④当且仅当2(21)()2
k x k k π
ππ-
<<+∈Z 时，
()0f x >⑤()f x 的图象上相邻最低点的距离是2π其中正确命题的序号是 ．
14．（1）函数()lg(sin cos )f x x x =-的定义域 ；
（2
）函数sin
x
y
=
的定义域 ； （3）函数y =的定义域 ．
15．求下列函数的单调减区间： （1）sin(
2)3
y x π
=-； （2）2cos sin(
)
42
x
y x π=
-；
16．求下列函数的最小正周期：
（1）5tan(21)y x =+； （2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．。