侯立伟选修3-6《三等分角与数域扩充》
2.利用刻度尺的作图法-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
利用刻度尺的作图法—湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学目标1.了解三等分角的基本概念。
2.掌握利用刻度尺的作图法进行三等分角的方法。
3.了解数域扩充的基本概念并能够运用到作图中。
4.能够利用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1.利用刻度尺的作图法三等分角。
2.掌握数域扩充的原理和方法。
三、教学难点1.基于三等分角的作图需要极高的精度，因此需要学生掌握良好的手眼协调和计算精度。
2.数域扩充的难点在于需要理解数域扩充的原理以及掌握良好的运算技能。
四、教学方法1.讲授2.演示3.实践五、教学过程5.1 引入首先，引入三等分角和数域扩充的概念，让学生了解作图的背景和意义。
5.2 讲授1.三等分角的基本概念：三等分角是指将一角分成三个等角的过程。
2.利用刻度尺的作图法进行三等分角的方法。
1.给定一个角ABC。
2.在AB、BC两边分别取一点E、D，使得AE=BD。
3.连接CD，并将CD平分成两段，取中点F。
4.连接EF，则角AEF为所求的一等分角。
5.再次在BE、DE两边分别取点G、H，使得BG=DH=AE=BD。
6.连接GH，并将GH平分成两段，取中点I。
7.连接AI，则角BAI为所求的二等分角。
8.再次在AG、DH两边分别取点J、K，使得AJ=GK=BG=DH=AE=BD。
9.连接JK，并将JK平分成两段，取中点L。
10.连接BL，则角ABL为所求的三等分角。
3.数域扩充的基本概念：将数域中不存在的数引入数域中，扩充数域的范围，以便进行更广泛的运算和计算。
4.将所学知识运用到实际问题中。
5.3 实践与演示1.让学生跟随教师一起进行三等分角的作图，并注意计算精度和手眼协调。
2.让学生掌握数域扩充的方法。
3.给学生练习题目，并在实践中掌握所学知识。
六、教学反思三等分角是几何中比较常见的一个部分，对于学生来说，掌握其作图方法对于学习几何学是一个基础。
但是，因为三等分角要求计算精度较高，因此在授课的时候要注意让学生注意计算精度。
5.更多的问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
5.更多的问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学内容本节内容为选修3-6三等分角与数域扩充，主要包括以下几个方面的内容：1.三等分角的定义和性质；2.基于三等分角的相关公式以及推导过程；3.数域的定义和性质；4.数域扩充的概念以及数域扩充的基本方法。
二、教学目标1.了解三等分角的定义和相关性质；2.能够掌握对三等分角的计算方法及其推导过程；3.了解数域的定义和性质；4.能够使用数域扩充的基本方法解决相关问题。
三、教学重点和难点本节课程的教学重点为三等分角的计算方法和数域扩充的基本方法；教学难点为数域扩充的概念以及数域扩充的具体操作过程。
四、教学方法本节课程采用讲授与实践相结合的教学方法。
在讲解概念和公式的基础上，利用实际算例进行练习和讨论，帮助学生加深对相关知识的理解和掌握。
五、教学过程1.三等分角的定义和性质（1）引入三等分角的概念和相关定义；（2）讲解三等分角的性质，如角度相等等；（3）使用实例说明三等分角的计算方法和推导过程。
2.基于三等分角的相关公式以及推导过程（1）介绍三等分角的相关公式，如正弦公式等；（2）讲解这些公式的推导过程，以及它们的应用。
3.数域的定义和性质（1）引出数域的概念，并讲解其定义和性质；（2）使用实例说明数域的操作方法和注意事项。
4.数域扩充的概念以及数域扩充的基本方法（1）介绍数域扩充的概念和基本方法；（2）使用实例说明数域扩充的具体操作过程，包括构造和判断。
六、教学评价本节课程通过理论讲解和实际计算操作相结合的方式，帮助学生全面掌握三等分角和数域扩充的相关知识。
同时，让学生在课堂中进行实践练习，从而更好地理解和掌握相关的计算方法和推导过程。
对于教学效果和学生学习水平的评估，可以采用课堂测试和讨论等方式进行评价。
高中数学专题讲座
2、 课程开设的逻辑顺序
必修1是必修2-5的基础。 必修系列是选修1，2系列的基础。 选修3，选修4系列不依赖其他系列， 且不考虑先后顺序。
必修 系列
选修 系列
数数 数 数数
学学 学 学学
12
3
45
系系系系 列列列列 1234
选修1系列课程是为那些希望在人文、社会 科学等方面发展的学生而设置的。
（3）理科升学要求:
学生完成10学分的必修课程，在 选修2系列课程中学习选修2-1，选修22和选修2-3，获得6学分；在选修3系列 中任选2个专题，获得2学分；在选修4 系列中任选2个专题，获得2学分，总 共取得20学分。
4.(以下为详细材料,备用)学生的5种基 本选择和课程组合的基本建议
学生的志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数
平山中学高中数学组新课程理论学习
专题讲座
高一备课组 袁小林
1.高中数学课程框架
选修1-2 选修1-1
选修2-3 选修2-2 选修2-1
选修3-6
选修3-2 选修3-1
…… ……
选修4-10
选修4-2 选修4-1
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
代表模块，每模块2学分
数学科共有36学分
代表专题，每专题1学分
课程的组合具有一定的灵活性，不同的 组合可以相互转换.学生做出选择之后，可 以根据自己的意愿和条件向学校申请调整， 经过测试获得相应的学分即可转换.
➢高三下学期，学生应保证必要的体育、艺术等活动 时间，同时可继续选修某些课程，也可以进行总复 习。
➢ 高中生获得的学分由学校认定，同时建立国家高 中教育质量监测体系。
平山高中数学新课程实施意见 -----普通高中数学实施建议
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：若干例子
z5 1 在有理数范围内有因式分解
z5 1 z 1 z4 z3 z2 z 1 .
为了作图的方便，写
cos 72 ຫໍສະໝຸດ 12
1
2
2
1
2
1. 2
谢谢
若干例子
除了古希腊三大作图问题以外，还有个同样饶有趣味而 且历史悠久的作图问题是：
等分圆周：任意给定一个圆，并给定一个整数≥2，在 给定的圆周上依次作出n个点，将圆周n等分.
当n≥3时，等分圆周问题也等价于正多边形的作图问题： 给定一个圆，作它的内接n边形.
和三等分角问题相比较，很容易发现，n等分圆周实际 上就是n等分周角360°。它比三等分角问题容易的是：三等 分角是要三等分任意角，而这里等分的却只是一个固定的角 360°。
研究 cos 360 cos72 的作图问题。
5
我们知道，若复数 的模为r，幅角为 ，则
r cos i sin , k rk cos k i sin k .
于是得到
z15 cos72 5 i sin 72 5
cos360 i sin 360 1.
3.尺规作图能作哪些新的实数-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
3.尺规作图能作哪些新的实数-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学目标1.了解尺规作图能够作出哪些新的实数；2.掌握三等分角的构造方法；3.了解数域扩充的概念。
二、教学重点1.尺规作图能够作出哪些新的实数；2.三等分角的构造方法。
三、教学难点1.了解数域扩充的概念。
四、教学过程1. 学习尺规作图能够作出哪些新的实数尺规作图能够作出哪些新的实数是一个重要的问题。
在古希腊时期，有两个著名的哲学家亚里士多德和欧多克索斯曾经争论过这个问题。
后来，哥德尔证明了尺规作图只能作出那些可以由有理数、基本四则运算和平方根构成的实数。
这个结论被称为“哥德尔定理”。
2. 学习三等分角的构造方法三等分角是一个极为重要的问题，因为它是许多几何问题的基础。
我们可以使用尺规作图构造出三等分角。
下面是一个三等分角的构造步骤：1.在直线上任取一点O；2.以O为圆心，画一条半径为r的圆；3.连接圆上两个相邻的点A和B；4.以B为圆心，画一条半径为r的圆；5.以A为圆心，以AB为半径，画一条圆C；6.连接C与圆A、B的交点D和E，AE即为所求的三等分角。
3. 学习数域扩充的概念数域扩充是一个非常重要的概念，它涉及到了数论和代数等多个领域。
在基本的有理数域中，许多方程都无法求解，因为它们需要使用开方等无理数操作。
但是，通过扩充数域，我们可以将这些无理数“加入”到数域中，这样，原本无法求解的方程就有了解。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解和演示的方式，让学生了解尺规作图的理论知识；2.实验法：通过实验，让学生了解三等分角的构造步骤；3.案例法：通过案例，让学生了解数域扩充的概念和应用。
六、教学反思本节课主要介绍了尺规作图能够作出哪些新的实数、三等分角的构造方法以及数域扩充的概念。
通过教学，学生们对于这些理论知识有了更深入的了解，并且掌握了一些实用的技能。
同时，这些知识也可以为他们今后的学习和工作提供帮助。
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验研究的开题报告
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验研究的开题报告一、研究背景及意义高中数学选修专题是高中数学教学中的重要内容，涵盖了数学的多个重要方面。
其中，三等分角是一个重要的几何问题，解决了三等分角的方法和定理对于学生的数学学习起到铺垫和加强作用，同时也与实际生活息息相关，如三等分钟表上的60°刻度等。
然而，三等分角的解法并非单一，不同的方法适用于不同的场合和具体问题，因此需要深入研究和探讨。
数域扩充的概念在数论和代数学中有着广泛的应用，对于高中数学教学中的选修专题也有着重要的指导和启发作用。
数域的扩充可以让原本不能解决的问题变得可以解决，同时也可以从不同的角度和层面理解和解释数学问题，对于学生的数学思维能力提升和数学素养的提高有着极大的促进作用。
因此，本研究旨在通过对于三等分角和数域扩充的研究，探讨不同的解法和应用，同时也探讨数域扩充在高中数学教学中的应用和意义，为高中数学教学提供有益的借鉴和探索。
二、研究内容和方法本研究的主要内容包括：1.对于三等分角的不同解法和应用进行研究和比较，深入探讨其各自的优缺点和适用情况。
2.对数域的概念进行深入研究，综合比较数域的不同定义和扩充方法，结合具体例子进行具体讨论和探究。
3.在研究的基础上，探讨数域扩充在高中数学教学中的应用和意义，并提出相应的教学策略和方法，为高中数学教学提供有益的借鉴和启示。
本研究采用文献资料法、实验研究法和数学模型等方法进行研究。
具体来说，我们将通过查阅相关的文献和资料了解和掌握研究中涉及到的各种概念和方法，同时通过实验和模拟等手段验证和比较不同的方法和结论，深入探讨数学问题的本质和规律。
同时，我们也将通过对于数学教学实践的观察和分析，总结出适合于高中数学教学的数域扩充策略和方法，为教学提供有益的思路和指导。
三、预期成果和意义本研究的预期成果包括：1.总结出三等分角的不同解法和应用，深入探讨其各自的优缺点和适用情况，为学生提供有益的参考和指导，促进学生的数学思维能力和学习兴趣的提升。
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：立方倍积问题
三等分角、立方倍积、化圆为方是古希腊三大作图难题. 这些问题，通过数域扩张的代数理论都得到了解决，证 明了它们用尺题，传说爱琴海中第罗斯岛 上发生瘟疫，人们求教于巫神，祈求去病除邪妙方，巫神说 神谕：要去病除邪，须把神殿前立方体祭坛的体积扩大一倍， 第罗斯人把原祭坛棱长放大一倍，发现新祭坛体积不是原祭 坛之二倍，这时瘟疫流行更加严重，第罗斯人又去求教柏拉 图，柏拉图告诉他们说巫神之意并不在于要双倍大的祭坛， 而只是为借此谴责希腊人不重视数学，对几何不够尊崇。
谢谢
柏拉图（公元前427年—公元前347年）
柏拉图是古希腊伟大的哲学 家，也是全部西方哲学乃至整个 西方文化最伟大的哲学家和思想 家之一。
他和老师苏格拉底，学生亚 里士多德并称为希腊三贤。另有 其创造或发展的概念包括：柏拉 图思想、柏拉图主义、柏拉图式 爱情等。柏拉图的主要作品为对 话录，其中绝大部分对话都有苏 格拉底出场。但学术界普遍认为， 其中的苏格拉底形象并不完全是 历史上的苏格拉底。
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：三等分角尺规作图问题的解决
这就证明了：用尺规作图不能三等分60°角。这说明了 不存在三等分任意角的尺规作图法。
谢谢
出发，经过有限次允许的作图作出 cosEk1 的情况，但在此情况下 Ek Ek1, 由 Ek1 到 Ek 并没有真正将范围扩大，当然
还是数域。
E0 Ek
k 0,1,2,,n
8x3 6x 1 0 cos 20 .
根据数学归纳法远离，可知上式方程在所有 Ek 的中都没 有根（k 0,1,2,,n ）。
已经知道这个方程在有理数集合Q中没有根。只用加、减、乘、 除也不可能把Q在扩大。要想用尺规作图把Q扩大使之包含无理
数 x cos 20 ，剩下的唯一希望是开平方。
定理6 不存在三等分任意角的尺规作图法.
证明
若不然，设存在一种尺规作图法，它能三等分任意角，
当然也能三等分60°角。这也就是说，能够从已知数1与 cos60 1
三等分角尺规作图问题的解决
将3.5定理和4和3.6定理5用于一元二次方程，得到一下 命题.
证明 如果 D F 或者b 0 ，则 x1 F, x1 就是方程在F中的根。 故设 D F 并且 b 0 ，从而 x1 F 。
现在将命题5应用于 cos 20 所满足的三次方程
8x3 6x 1 0
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开课准备
收集资料
研读、 设计教案
精疲力尽……
定义出发
从问题出发
合作学习
一.课程设计的目标：
1.让学生体会将几何问题转化为代数问题的解决 问题的思想方法
2．培养学生数学应用意识，
体会数学建模思想.
3．提高抽象思维能力。
学生的情感目标:
3 3 3 如何作出方程 cos 4 x 3x的实数根？
cos 4 cos
3
3cos
（四）．对三等分角问题的分析
尺规作图能作出什么样的实数
引理1：设S1是包含1的已知的实数的集合。 则由尺规作图可以作出S1中的任意两数的和 差积商以及S1中任意正实数的平方根 引理2：设S0是包含1的已知的实数的集合。 X是任意实数，则由S0出发经过尺规作图可 以作出x的充要条件是由S0中的数经过有限 次的加减乘除和开平方运算可以得到x 引理3：由已知数1出发，经过尺规作图可 以作出所有的有理数
2.古希腊三大作图问题 倍立方体：求作一个立方体的边，使该 立方体的体积为给定立方体的两倍. 化圆为方：求作一个正方形，使其面积 与一个给定的圆的面积相等. 三等分角：求作一个角，使其等于给定 的角的三分之一.
(二).学生动手实践环节 三等分角的近似作法
方法一：阿基米德的作法；
采取小组合作学习的 模式，在读懂阿基米 德三等分角作法的基 础上，制作实物模型
本模块对学生的考核
制作一个三等分角的 近似工具 提交一个学习本模块 的学习报告 了解常见的数学软件 的使用方法
调查市场上的《三等分角绘图仪》
本实用新型涉及一种三等分角 绘图仪，其特征在于是由丁字 尺、直角尺及辅助直尺组成， 丁字尺的尺头两端分别设有一 铰轴，丁字尺的尺身工作边与 两铰轴的轴心距离的中点位于 同一直线；直角尺竖直边上端 铰接于丁字尺尺头一端的铰轴 上，直角尺竖直边上从铰轴的 轴心到直角尺水平边底边缘的 垂直距离等于丁字尺的两铰轴 的轴心距离的二分之一；辅助 直尺铰接于尺头的另一铰轴上， 其工作边与铰轴轴心位于同一 直线。本实用新型的有益效果 是：通过将丁字尺、直尺及直 角尺的巧妙组合，提供出一种 无须计算、准确快速三等分任 意角的绘图仪，结构简单，操 作容易，为平面几何制图带来 方便。
发明设计人：赵建科 专利代理机构：天津市三利有限责任专利代理事务所
方法二：二分法；
如何通过二分法近似作出三等分角
1 1 1 进而作出 , ， , 4 8 16
1 已知，作出 ， 2
1 当m无限增加时，接近于 3
1 1 m1 1 1 1 1 1 4 4 2 m m 1 4 4 4 3 3 4 1 4
（三）.介绍尺规作图 的典型案例
通过回顾尺规作的典型案例， 激发学生学习的兴趣和热情
案例1：正17边形的尺规作图问题 --------高斯19岁时发现（我辈只能膜拜）
案例2：用尺规作图，把任意线段三等分
案例3： 用尺规作图作出方程x2 x 1 0的根
问题的背景就是如何用尺规作图作出线段的黄金分割点
对三等分角问题的分析
设 60，则由{1，cos60}出发，经过尺规作图 得到的实数是否包括了
4x 3x cos 0的根x=cos20
3
1 讨论方程4 x 3 x 0是否有有理根？ 2
3
即讨论方程8x3 6 x 1 0是否有有理根？
实际上该方程没有有理根
1．培养学生的科学探索精神
2．锻炼和培养动手能力。 3．在信息技术的支持下，获
取新数学知识的能力
二.课程教学设计： （一）介绍尺规作图的发展历史
1.圆规直尺作图是指：使用直尺，我们能过任何给定的不同 两点，作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为圆心， 任意长为半径作一个圆. 在作图中，使用的直尺是没有刻 度标记的直尺；