动力学系统建模---载荷的描述问题

k 1 l 1
j
N
H jk fl ：它是由互谱密度矩阵 S f
S f

按照Cholesky分解法得到，即
H f H f
T
•
空间相干函数
工程结构的风载荷

n | z z | n | x x | zz ( z , z , n) exp Cz , xx ( x, x , n) exp Cx v v z x
R

为相关函数
工程结构的风载荷
• Davenport风速谱：A.G.Davenport根据不同地点、不同高度处测 得的90次强风记录，认为水平脉动风速谱中，紊流尺度随高度不 变化，并提出了如下经验公式：
Sv
• 式中
2 f 4kv10
x2 f 1 x
2

4 3
Lv f x v10
• 通常对于风敏感复杂结构的风振响应分析和风振系数的求 解主要有四种方法：即频域分析法、时域分析法、风洞试 验法和数值风洞技术。 • 时域分析法可以考虑自然风的时间相关性和结构的非线性 影响，更精确地反映结构的耦合风振情况； • 由于缺乏实测风速时程及应用的局限性，通常采用综合考 虑结构的几何特性和现场风谱模拟生成的脉动风速时程； • 将作用于结构节点上离散的随机脉动风速时程进行模拟就 称之为风场模拟，风场模拟可以为结构动力分析提供激励， 选择风场模拟方法，主要考虑结构的体型特征和动力分析 方法。
1 2 2 2 2 2 n[C z ( z z ) C x ( x x) ] ( z , z , x, x , n) exp vz 互谱密度矩阵中的元素可以通过下式求得：
•
Sij f Sij f e
i f
Sii f S jj f coh f e
• 其中,Rij(mΔt)是M×M阶矩阵，i=1,…，p+1；j=1，… ，p+1； m=1，… ，p。可由功率谱密度通过维纳-辛钦公式求出：
Rij ( ) Sij ( f )cos( 2 f )df , i, k 1,
,M
地震载荷
谢谢大家！
数值风场的验证
• 采用AR法推广到模拟多维风速过程的技术,生成M个点空间相关 脉动风速时程 V(X,Y,Z,t) 随机列向量的AR模型可表示为
V ( X,Y,Z,t )
k p k 1
V ( X,Y,Z,t k t ) N (t )
k
• 式中,X、Y、Z均为坐标向量矩阵,(xi, yi, zi)为空间第i点 的坐标。i=1，…，M；p为AR模型阶数；∆t 是模拟风速 时程的时间步长；φk为AR模型自回归系数矩阵，为 M×M阶方阵，k=1，…，p；N(t)为独立随机过程向量。
v z lg z lg z0 v zs lg zs lg z0
•
•
式中
– z0 为风速等于0的高度，随地面粗糙度而变化，亦称为地面粗糙 度(对数规律)。一般取值略大于地面有效障碍物高度的1/10。
工程结构的风载荷
• 脉动风 • 将脉动风假定为是具有零均值的高斯平稳过程的随机风，具有明显的各 态历经性；
工程结构的风载荷
• 时域模拟的主要方法有：线性滤波法、谐波叠加法、逆傅立叶变换法和 小波分析。 • 时域法之一——谐波叠加法
• 谐波叠加法是一种基于三角级数求和的谱表示法，同时也是以离散谱逼 近目标的随机过程模型的一种离散数值模拟方法。该方法优点是简单直 观，理论基础严密，适用范围广，适用于任意指定谱特征的平稳高斯随 机过程；缺点是当模拟的点数增多时，计算量大，计算时间较长，但是 随着计算机的发展以及此方法的不断改进，此限制已不是问题；
• 风场的运动实际上是关于时间和空间的非均匀的随机过程；
• 将风场假定为具有零均值的多维多变量的高斯随机过程。在给定 的时间间隔内，如果风力大小、方向等不随时间而改变，那么这 部分称为平均风，其对于结构的作用相当于静力作用；如果风力 随时间按照随机规律变化，称之为脉动风，其作用相当于动力作 用。
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工程结构的风载荷
• 通常采用风功率谱密度函数和相关函数来描述脉动风。脉动风的功率谱 主要反映脉动风中各种频率成分对应的能量分布规律，相关函数则反映 各点脉动风速之间在时间或空间的相互影响关系。
• 功率谱与相关函数之间可进行变换（维纳－辛钦公式）： 1 i S R e j d R S e d 2 • 式中， S 为功率谱密度函数
动力学系统建模
---载荷的描述问题
西安交通大学 航天学院 张新华 xhzhang@
参考文献
动力学模型的形式
• 结构动力学方程
工程结构的风载荷
• 风力在不同空间和时间的分布及强度是有差异的，风对结构的作 用非常复杂和多样，不同地区地面条件的差异，结构本身条件的 变化，同一建筑物不同区域内形状、表面粗糙度等的不同都会导 致结构上风荷载的改变。 • 由于地球表面不同区域的大气层所吸收的太阳能量不同，同一高 度处的大气压就会不平衡，空气从高气压区域流向低气压区域， 这样就形成了风。 • 通常认为风的运动形式表现为平均风和脉动风（湍流，波动）两 部分，风场的运动实际上是关于时间和空间的非均匀的随机过程。 • 为了更好的掌握其运动特性，将风场假定为具有零均值的多维多 变量的高斯随机过程。在给定的时间间隔内，如果风力大小、方 向等不随时间而改变，那么这部分称为平均风，其对于结构的作 用相当于静力作用；如果风力随时间按照随机规律变化，称之为 脉动风，其作用相当于动力。
f
频率/Hz；
Lv 湍流整体尺寸，Davenport取为1200； k 表面粗糙度系数。
风场的数值模拟
• 为了使结构能够得到较精确的计算结果，载荷的设计必须 尽可能地符合实际情况，模拟接近于自然风特性的风使研 究结果具有实用性和可靠性；
• 风通常包含平均风和脉动风两部分。平均风在给定时间间 隔内，风力大小和方向等不随时间改变；脉动风则随时间 按随机规律变化，因此风的模拟主要是针对脉动风而言的；
i f
2 2 2 2 2 2 2 f C x xi x j C y yi y j C z zi z j coh f exp v zi v z j

Cx , Cy , Cz 为衰减系数
工程结构的风载荷
• 谐波叠加法就是通过离散傅立叶分析变换将随机信号分解为一系列具 有不同频率和幅值的正弦或其他谐波，谱密度就等于由带宽划分的谐 波幅值的平方，将脉动风假定为具有零均值的平稳高斯随机过程，则 脉动风速可表示成如下形式；
v j t H jk fl 2f cos 2πfl t jk fl kl
k 1 p
• 式中,R为(p+1)M×(p+1)M阶自相关Toeplitz矩阵。
数值风场的验证
• R的表达式
R12 ( t ) R13 ( 2t ) R11 (0) R22 (0) R23 ( t ) R21 ( t ) R R31 ( 2t ) R32 (0) R33 (0) R( p 1)1 ( pt ) R( p 1)2 [( p 1)t ] R( p 1)3 [( p 2)t ] R2( p 1) [( p 1)t ] R3( p 1) [( p 2)t ] R( p 1)( p 1) (0) R1( p 1) ( pt )
v( z , t ) v ( z ) v ( z , t )
式中： • v z —— 高度处的平均风速/m· s-1 • v z, t —— 高度处时刻的脉动风速/m· s-1
工程结构的风载荷
• 平均风的大小和方向不随时间改变，但是不同高度处的平 均风速是不相等的，根据实测资料，最常用的模拟规律有 两种，指数规律和对数规律。 指数律（Davenport等提出）：
工程结构的风载荷
风速的时间历程图（10min，依赖于平均风速）
数值风场的验证
• 数值风速谱的验证方法有两种： • 谱密度的检验和相关函数的检验。脉动风是一个随机过程，对于 其正确性的检验只能是统计意义上的。
数值风场的验证
• 时域法之二——线性滤波法模拟 • 线性滤波方法即白噪声滤波法(white noise filtration method)。 • 白噪声滤波模拟的基本思想是：将随机过程抽象为满足一定条件的白 噪声，然后经某一假定系统进行适当变换而拟合出该过程的时域模型。 • 线性滤波法中的自回归(Auto-Regressive，AR)模型因其计算量小、 速度快，广泛用于随机振动和时间序列分析中。
工程结构的风载荷
• 风速与风压的关系 • Bernoulli方程： • p+1/2ρ v^2+ρgh=常量（其中，p为压强，ρ为流体 密度，v为流体速度，g为重力加速度,h为高度。） • 问题转化为如何对风速进行描述
工程结构的风载荷
• 在任意点、任意高度的风速度可表达为平均风速和 脉动风速之和：
数值风场的验证
• 求解回归系数矩阵ψ • 随机风过程的协方差矩阵R与回归系数ψ之间的关系可 写成以下形式:
R N R 0p
• 其中,φ=[I,φ1,… φp]T ，为(p+1)M×M阶矩阵,I为M阶单位 矩阵。
R N R 0 k R[( j k )t ]
v z z v zs z s

•
•
式中 v (z ) ：任意高度处的平均风速 v (z ：标准高度处的平均风速 s) ：地面粗糙度（指数律用） z：离地面的任意高度 z：离地面标准高度，通常取为 10m s