法向量的有关概念及求法
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
法向量的求法
法向量的求法
求法向量是物理学中一个重要的概念，它可用于描述物体在空间中的移动和变化之间的关系。
通过求法向量，物体的位置和动量在任何时间以及任何方向上都可以得到准确的表达。
因此，求法向量在物理学研究中占据十分重要的地位和作用。
法向量是由单位向量构成的，它可以用来描述物体的变化，特别是当物体的变化是在逐渐发生时，求法向量尤为重要。
举例来说，如果你要表达物体在不同时间和不同位置 t 的变化，你可以采用如下公式来求出法向量 f (t)。
f (t) = r(t) - r(t-1)
其中，r(t) 代表物体在t时间单位的位置，而 r(t-1) 则代表这物体在 t-1 时间单位的位置。
事实上，问题就是求出物体在 t 时刻和 t-1 时刻的位置之间的距离。
这种距离可以被认为是一种“ 变化率”，可以用来描述物体的移动过程。
几何学中的求法向量并不仅仅限于空间上的运动，而且也可以应用于函数的导数中。
函数的导数，可以用公式 d f (x) / d x 来表示，其中 d f (x) 表示函数在 x 时刻的变化率，而 d x 表示这个变化率与 x 之间的距离。
另外，在机器学习中也大量应用到求法向量方法。
通过求法向量，可以确定每一个变量和优化目标之间的关系，并对数据进行分析，从中学习出最佳的解决方案。
总之，求法向量是一种常用的数学方法，用来表达变量们的空间变化关系，在机器学习等领域有着重要的应用价值。
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量是指在三维空间中一个平面的垂直向量，常用于计算渲染、碰撞检测等领域。
本文将介绍两种快速求解法向量的方法。
方法一：叉积法
叉积法是最常见的求解法向量的方法。
对于平面三角形ABC，其法向量N可以通过向量AB和向量AC的叉积计算得出：
N = AB × AC
其中×表示向量的叉积运算。
注意，在使用叉积法时，需要保证向量AB和向量AC不共线。
方法二：行列式法
行列式法是另一种常用的求解法向量的方法。
对于平面三角形ABC，其法向量N可以通过以下公式计算得出：
N = 1/2 * |AB AC|
其中 |AB AC| 表示向量AB和向量AC所组成的行列式。
该公式
得到的法向量大小是向量AB和向量AC所组成平行四边形面积的一半。
需要注意的是，行列式法只适用于三角形，而叉积法适用于任意平面。
总结
以上介绍了两种快速求解法向量的方法，叉积法和行列式法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法。
- 1 -。
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
平面的法向量
平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。
普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。
二、矢量积公式。
三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。
叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。
造0法：构造0时，加减乘除都行。
法向量的算法与举例
法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。
然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。
[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。
[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。
如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。
关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。
由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。
二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。
由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。
平面方程求法向量公式
平面方程求法向量公式一、平面方程的定义和表示方法平面是三维空间中的一个二维几何图形，可以由其上的一点和法向量来确定。
平面方程是表示平面的一种数学表达式，通常形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
二、平面方程求法向量的原理对于平面方程Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，可以通过以下公式求得法向量：法向量 = (A, B, C)三、求解法向量的步骤1. 确定平面方程的系数给定一个平面方程Ax + By + Cz + D = 0，需要确定A、B、C、D 的值。
2. 提取法向量分量根据平面方程的一般形式，法向量的分量即为平面方程的系数A、B、C。
3. 得到法向量将法向量分量A、B、C组合起来，得到平面的法向量。
四、示例以平面方程2x + 3y - z + 4 = 0为例，我们来求解其法向量。
1. 确定平面方程的系数根据给定平面方程，可以得到A = 2，B = 3，C = -1，D = 4。
2. 提取法向量分量根据平面方程的一般形式，法向量的分量即为平面方程的系数A、B、C，即A = 2，B = 3，C = -1。
3. 得到法向量将法向量分量A、B、C组合起来，得到平面的法向量为(2, 3, -1)。
因此，平面方程2x + 3y - z + 4 = 0的法向量为(2, 3, -1)。
五、总结通过以上的讲解，我们可以发现，平面方程求法向量的方法其实很简单。
只需要根据平面方程的系数，提取出A、B、C的值，然后将其组合起来，就可以得到平面的法向量。
这个方法在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
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|=
|n m| | n || m |
.
|n m| 当二面角为钝二面角时，cosθ= . | n || m |
特殊关系： ①α⊥β 直)； n ⊥m n· m=0 (用于证明面面垂
②α∥β
n ∥m 存在实数λ，使
(用于 n=λ m
证明面面平行).
(4)点到平面的距离：若AB是平面α外的一条线段，
则B1F⊥EF，所以B1F⊥EF，
B1F· AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0，
则B1F⊥AF，所以B1F⊥AF. 又因为EF∩AF=F，所以B1F⊥平面AEF.
点评：线面和面面平行或垂直关系的论证应
用空间向量法时既可以选择基向量，将问题涉及 的线面对应的向量用基向量表示，然后通过向量 平行或垂直的判定实现问题论证，也可以通过建 立空间直角坐标系，利用坐标运算判定线面平行
120°)=30°.
4.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(-1, 0,0)， A（0，1，0），B（-4，0，0），C（0，0， 2），则该三棱锥底面ABC上的高h= .
解析： 由已知可得，
AP (1, 1,0)， AB (4, 1,0)， AC 0, 1,2 .
好)，便得平面法向量n的坐标.
2.立体几何中的向量方法 (1) 线线关系：若不重合的两直线 AB 、 CD 的方 向向量分别为AB、CD.
( ［0, ］ )， 则 cos | cos 〈AB， CD〉 | . 2 | AB || CD | 特殊关系：①AB CD AB CD
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为 n，下列结论成立的是( ) C
A.若a∥n，则a∥α B.若a· n=0，则a⊥α
C.若a∥n，则a⊥α D.若a· n=0，则a∥α
解析： 由方向向量和平面法向量的定义可知
应选C.对于选项D，直线a n=0. 平面α也满足a·
2.已知α、β是两个不重合的平面，其法向量分 别为n1、n2，给出下列结论：
D1(0, 0,2).
设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 n1·AD =(x1,y1,z1)· (2,0,0)=0 n1· DE=(x1,y1,z1)· (2,2,1)=0,
所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0. 令y1=1,得n1=(0,1,-2). 同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).
B是AB与平面α的交点，平面α的法向量为n.
设点A到平面α的距离为d，则 d 等于AB在n上的
射影的绝对值.即d=||AB|cos〈AB,n〉 |= | AB n | .
|n|
考点1：利用空间向量证明
平行和垂直关系
例题2： 如图，已知直三棱柱
ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直
角三角形，∠BAC=90°，且AB = AA1，D 、 E、F分别为B1A、
设平面ABC的法向量n=(x,y,z), AB 4 x y 0 则 n·
n· AC y 2 z 0
得 y=-4x
y=2z，
取x=-1，得n=(-1,4,2). 则
n· AP 1 1 (1) 4 0 2 3 21 h | | . |n| 7 21 (1)2 42 22
C1C、BC的中点.
（1）求证：DE∥平面ABC；
证明：如图所示，分别以AB、AC、AA1所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令
AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2), F(2,2,0),B(4,0,0), B1(4,0,4),C(0,4,0), D(2,0,2)，A1(0,0,4).
或垂直.
拓展训练:正方体ABCDA1B1C1D1中，
E、F分别是BB1、CD的中
点. (1)证明：平面AED⊥平面 A1FD1; 解析： (1)证明：建立如 图所示的空间直角坐标系D-xyz, 不妨设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1), F(0,1,0), A1(2,0,2),
使AB=λn(用于证明线面垂直 )；
| AB n | 特殊关系：①AB⊥α | AB | | n | .
一般关系：设直线AB与平面α所成的角为θ(θ∈
.
存在实数λ，
AB∥n
②AB∥α AB⊥n AB· n=0(用于证明线面平行).
(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平面β的
法向量为m. 一般关系：设以α，β为面的二面角为 θ(θ∈[0,π])，则θ与〈n,m〉 . 相等或互补 当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=|cos〈n, m〉
（1）因为DE=(-2,4,0). 又平面ABC的法向量为AA1=(0,0,4).
且DE· AA1=-2×0+4×0+0×4=0，
所以DE∥平面ABC.
（2）求证：B1F⊥平面AEF.
证明： B1F=(-2,2,-4)，
EF=(2,-2,-2)，AF=(2,2,0)，
B1F· EF=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，
AB· CD 0
一般关系：设直线AB与CD所成的角为θ
| AB CD |
(用于证明线线垂直);
②AB∥CD
AB∥ CD 存在实数λ，使
AB CD
(用于证明线线平行).
(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方向向量
为AB ，平面α的法向量为n.
［0, ］)，则有sinθ=|cos〈AB,n〉| = 2
1.法向量的有关概念及求法
如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量
是平面的一个法向量.
法向量的求法步骤：
(1)设：设平面的法向量为n=(x,y,z)；
(2)列：根据n· a=0且n· b=0可列出方程；
(3)解：把z看作常数，用z表示x,y；
(4) 取：取 z 为任意一个正数 ( 当然取得越特殊越
①若n1∥n2，则α∥β；
②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1· n2=0，则α⊥β； ④若n1· n2=0，则α∥β. 其中正确的是( A )
A.①③
C.②③
B.①②
D.②④
3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角 30° . 等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 解析：由题设，l与α所成的角θ=90°-(180°-