向量及向量的基本运算
向量的概念与运算
向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。
一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。
二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。
行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。
2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。
3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。
一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。
即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。
2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。
即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。
3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。
即：k * v = (ka, kb, kc)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。
即：v · w = a * x + b * y + c * z。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。
四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式向量运算是数学中的一个重要概念，它可以用来描述力学、物理、几何等领域中的各种现象。
本文将介绍向量的基本运算公式，涵盖向量的加法、减法、数乘、点积、叉积等运算。
1.向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A 和B，它们的加法可以表示为：A+B=(A1+B1,A2+B2,...,An+Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
2.向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的减法可以表示为：A-B=(A1-B1,A2-B2,...,An-Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
3.向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘可以表示为：kA=(kA1,kA2,...,kAn)其中，A1、A2...An是向量A的各个分量，k是一个实数。
4.向量的点积（内积）：向量的点积是指将两个向量的对应分量相乘再求和得到一个标量。
设有两个向量A和B，它们的点积可以表示为：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
5.向量的叉积（外积）：向量的叉积是指将两个向量进行运算得到一个新的向量。
设有两个三维向量A和B，它们的叉积可以表示为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别是向量A和B的三个分量。
6.向量的模（长度）：向量的模是指向量的大小或长度，可以通过向量的分量计算得到。
设有一个n维向量A，它的模可以表示为：A，=√(A1^2+A2^2+...+An^2)7.向量的投影：向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影，得到一个标量。
向量的基本运算和性质
向量的基本运算和性质在数学的广阔领域中，向量是一个极其重要的概念，它不仅在几何、物理等学科中有着广泛的应用，也是我们理解和解决许多实际问题的有力工具。
接下来，让我们一起深入探索向量的基本运算和性质。
向量，简单来说，就是既有大小又有方向的量。
比如，力就是一个常见的向量，它既有大小（力的强度），又有方向（力的作用方向）。
在数学中，我们通常用有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的基本运算主要包括加法、减法和数乘。
向量的加法是将两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点所得到的向量就是它们的和向量。
举个例子，如果有向量 A 和向量 B，将向量 A 的终点与向量 B 的起点相连，那么从向量 A 的起点到向量 B 的终点所构成的向量就是 A ＋ B。
向量加法满足交换律和结合律，也就是说 A ＋ B ＝ B ＋ A，（A ＋ B) ＋ C ＝ A ＋（B＋ C)。
这就好比我们走路，先向东走一段距离，再向北走一段距离，和先向北走一段距离，再向东走一段距离，最终到达的位置是一样的。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
向量 A 减去向量 B，就等于向量 A 加上向量 B 的相反向量（大小相等，方向相反）。
比如，要计算 A B，我们可以把它转化为 A ＋（B)。
数乘向量则是将一个实数与一个向量相乘。
当这个实数大于 0 时，得到的向量与原向量方向相同，大小是原向量的倍数；当实数小于 0 时，得到的向量与原向量方向相反，大小是原向量的倍数的绝对值；当实数为 0 时，得到的是零向量。
数乘向量满足分配律，即 k(A ＋ B)＝ kA ＋ kB。
向量还有一些重要的性质。
首先是向量的模。
向量的模就是向量的长度，对于向量 A ＝（x, y)，它的模可以用公式√（x²＋ y²) 来计算。
模的大小反映了向量的长度，模为 0 的向量就是零向量。
其次是向量的点积。
向量的基本运算
向量的基本运算向量是数学中重要的概念，它用于表示有大小和方向的物理量。
向量可以进行一系列的基本运算，使得我们能够更好地理解和应用向量的概念。
本文将介绍向量的基本运算方法，包括向量的加法、减法、数乘以及点积和叉积运算。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。
设有两个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则它们的加法运算可以通过分别将对应分量相加得到新向量C=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的和为C=(3, 7, 11)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的运算。
设有两个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则它们的减法运算可以通过分别将对应分量相减得到新向量C=(a1-b1,a2-b2, a3-b3)。
例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的差为C=(1, 1, 1)。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。
设有一个向量A=(a1, a2, a3)和一个实数k，它们的数乘运算可以通过将向量的每个分量乘以实数得到新向量B=(ka1, ka2, ka3)。
例如，若向量A=(1, 2, 3)和实数k=2，则它们的数乘结果为B=(2, 4, 6)。
四、向量的点积向量的点积又称为内积或数量积，它是两个向量之间的一种运算。
设有两个向量A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，它们的点积运算可以通过将对应分量相乘，然后将乘积相加得到一个标量c=a1*b1 + a2*b2 + a3*b3。
例如，若向量A=(1, 2, 3)和向量B=(4, 5, 6)，则它们的点积结果为c=1*4 + 2*5 + 3*6=32。
五、向量的叉积向量的叉积又称为外积或向量积，它是两个向量之间产生一个新的向量的运算。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，常用于表示运动、力等概念。
向量的概念和运算是数学中的基础知识，它们在物理、工程、计算机科学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍向量的基本概念和运算，并讨论其在实际问题中的应用。
一、向量的定义与表示向量可以通过有序数对或坐标来表示。
在二维坐标系中，一个向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
类似地，在三维坐标系中，向量可以表示为 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 为向量在 x 轴、y 轴和 z 轴上的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法定义为相同位置上的分量相加。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的和可以表示为 (A1+B1, A2+B2, A3+B3)。
向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A 和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法定义为向量的每个分量乘以一个标量。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，标量为 k，则向量 A 乘以标量 k 后的结果可以表示为 (k*A1, k*A2, k*A3)。
3. 向量的减法向量的减法可以看作加法的逆运算。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的差可以表示为 (A1-B1, A2-B2, A3-B3)。
4. 向量的点积向量的点积也称为内积或数量积，表示为 A·B。
设向量 A 的分量为(A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的点积可以表示为 A1*B1 + A2*B2 + A3*B3。
点积的结果是一个标量。
5. 向量的叉积向量的叉积也称为外积或向量积，表示为 A×B。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的叉积可以表示为 (A2*B3 - A3*B2, A3*B1 - A1*B3, A1*B2 - A2*B1)。
向量的基本概念与运算规则
向量的基本概念与运算规则向量是数学中的一个重要概念，常用于表示具有大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
记作➡️AB，A和B分别表示向量的起点和终点。
二、向量的表示方法向量可以用多种表示方法，常见的有坐标表示法和分量表示法。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以由起点和终点的坐标表示。
例如，向量➡️AB可以表示为(2,3)。
2. 分量表示法：向量可以由沿坐标轴的投影表示，称为向量的分量。
例如，向量➡️AB的水平分量和垂直分量分别为2和3。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘和点乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足"三角形法则"，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
例如，对于向量➡️AB和向量➡️BC，它们的和为向量➡️AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
将被减去的向量取反，即将其方向翻转180度，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 向量的数乘：将一个向量与一个标量相乘，即将向量的大小与标量相乘，同时保持向量的方向不变。
例如，向量➡️AB数乘2的结果是向量➡️AC，AC的大小为原向量AB大小的2倍。
4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量进行数量积运算，其结果为一个实数。
点乘的计算公式为AB·AC=|AB||AC|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别为向量AB和AC的大小。
四、向量的性质向量具有一些重要的性质，其中包括：1. 向量的零向量：零向量是指大小为0的向量，它的方向可以是任意方向。
零向量与任何向量的加法结果均为原向量本身。
2. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的计算和分析中。
下面是向量的基本运算公式的大全，供您参考：1. 向量的加法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的差为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数乘：若向量A = (a1, a2, ..., an)，k为一个常数，则k乘以向量A 的结果为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4. 向量的数量积（内积）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的数量积为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的向量积（叉积）：若向量A = (a1, a2, a3)，向量B = (b1, b2, b3)，则它们的向量积为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)6. 向量的模长（长度）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，则它的模长为：||A|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)7. 两个向量的夹角：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：cos(θ) = (A·B) / (||A|| ||B||)8. 向量的投影：若向量A的投影向量B在向量C上，且向量B在向量C上的长度为h，则有：h = ||A|| cos(θ)，其中θ为向量A和向量C之间的夹角9. 向量的单位向量：若向量A的模长为||A||，则向量A的单位向量为：Ȧ = A / ||A||10. 向量的平行和垂直：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：- 若cos(θ) = 1，则向量A和向量B平行；- 若cos(θ) = 0，则向量A和向量B垂直。
向量的基本运算法则
向量的基本运算法则向量是代数学重要的基础概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还被应用于物理、计算机科学和工程领域。
本文将介绍向量的基本定义和运算法则。
一、向量的基本定义向量是具有大小和方向的量。
在二维空间中，向量通常表示为（a，b）；在三维空间中，向量通常表示为（a，b，c）。
向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是将两个向量相加的过程，它的计算方式是将两个向量的对应分量相加。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2）。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2. 向量的减法向量的减法是将一个向量减去另一个向量的过程，它的计算方式是将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a－b＝（a1－b1，a2－b2）。
向量的减法不满足交换律，即a－b≠b－a。
3. 向量的数量积向量的数量积是相乘得到一个实数的运算。
设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2。
向量的数量积在计算时需要注意下列性质：a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c(k·a)·b＝a·(k·b)＝k(a·b)，其中k为实数4. 向量的向量积向量的向量积是相乘得到一个向量的运算。
向量的向量积只有在三维空间中存在。
设向量a＝（a1，a2，a3），向量b＝（b1，b2，b3），则向量a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）。
向量的向量积在计算时需要注意下列性质：a×b＝－b×aa×(b＋c)＝a×b＋a×c(k·a)×b＝a×(k·b)＝k(a×b)，其中k为实数三、总结本文介绍了向量的基本定义和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件.2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b a==,，则a +b=+=。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a-+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +)=λa+λ 5)两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ。
6)平面向量的基本定理如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e aλλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
（二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性；4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析： 例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若b a b a ==则,(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a=，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A(9)已知A （3，7），B （5，2），将AB 按向量a =（1，2）平移后得到的向量B A ''的坐标为（3，－3）(10）b a =的充要条件是||||b a=且b a //；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a，c //0。
(8) 不正确, 如图≠=,A（9）不正确，∵=（1，2），∴平移公式是⎩⎨⎧+='+='21y y x x ，将A （3，7），B （5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(B A ''，故B A '=（6,4）－（4,9）=（2,－5）。
（10）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =；[点评]正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形ABCD 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设MN ON OM b a b OB a OA ,,,,,表示试用==解：()()b a OB OA BA BM BA BC BM -=-==∴==616161,6131b a BM OB OM 6561+=+=∴ . OD CD ON CD CN 3234,31==∴=()()b a OB OA OD ON +=+==∴323232 b a OM ON MN 6121-=-=∴[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示 练习: △ABC中,.,//,32N DE BC AM E AC BC DE AB AD 于边上中线交是于交=,,b AC a AB ==设 用AN AM DN DE BC AE b a ,,,,,,分别表示向量.如图 解：()()a b DN a b DE a b BC b AE -=-=-==31,32,,32()()a b AN a b AM +=+=31,21 例3、一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速．解：设AB 表示垂直于对岸的速度,BC 表示水流速度,则AC 为实际速度 航行时间为4km ÷2km/h=2h在△ABC 中3242===BC AC AB 所以, 河水的流速为h km /32[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则例4、在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，用向量的方法证明： DE 平行且等于0.5BC分析:要证明DE 平行且等于0.5BC,只要BC DE 21= 解：如图AB Ac BC AD AE DE -=-=, 又D,E 为中点AC AE AB AD 21,21==∴ 即()BC AB AC AD AE DE 2121=-=-=所以DE 平行且等于210.5BC[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了练习: 已知G 是△ABC 的重心，求证：0=++GC GB GA证明：以向量GC GB ,为邻边作平行四边形GBEC ，则GD GE GC GB 2==+，又由G 为△ABC 的重心知GD AG 2=，从而GD GA 2-=，∴022=+-=++GD GD GC GB GA 。
例5、设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值分析:使BD AB λ=解：214e e CB CD BD -=-=, 使BD AB λ=)4(22121e e e k e -=+∴λ 得84,2-=⇒-==k k λλ[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决 例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。
解：设,OA a OB b ==，则1()3OG a b =+，PQ nb ma =-11()33PG OG OP m a b =-=-+由,,P G Q 共线，得存在实数λ，使得PQ PG λ=，即11()33nb ma m a b λλ-=-+从而1()313m m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去λ得：113n m +=（四）巩固练习：1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB ==（2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=- 2． （1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果12121223,623,48AB e e BC e e CD e e =+=+=-, 求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值.（1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=- 所以121015BD e e =+ 又因为1223AB e e =+ 得5BD AB = 即//BD ABAM D CNBG •QOBPA又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+因为,,A B D 共线 所以//AB DB 设DB AB λ=所以212k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即12k =-； 四、小结：1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理5)平面向量的基本定理, 基底 五、作业：【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】。