向量的概念及基本运算-文档资料
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
向量的概念及基本运算
向量的基本概念及加减法以及基本定理与坐标向量
1、平面向量基本概念（1）向量概念：我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
（2）向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a,b（黑体、印刷用）表示；→a（手写体）；③用有向线段的起点与终点字母：→AB（3）向量的模：即向量→AB的大小（长度），记作：→AB。
（4）与数量、有向线段的区别：有无方向/是否可平移。
（5）零向量、单位向量：长度为零的向量称为零向量，记为：→0；长度为1的向量称为单位向量。
（6）平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；②我们规定:→0与任一向量平行，即：→→a//0。
（7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（8）共线向量与平行向量的关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）（9）共线向量定理：如果存在一个实数λ，使得→→=abλ（→→≠0a），那么→b与→a是共线向量；反之，如果→b与→a（→→≠0a）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使→→=abλ。
经典例题选讲：例1、判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？例2、下列命题说法正确的是（）A、→a与→b共线，→b与→c共线，则→a与→c也共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C、向量→a与→b不共线，则→a与→b都是非零向量D、有相同起点的两个非零向量不平行2、向量的运算（1）向量加法：三角形法则+平行四边形法则（2）向量减法：三角形法则（共起点）（3）向量数乘：→→=b aλ关注：（1）→→+ba，→→-ba分别代表的是→a，→b为邻边的平行四边形的两条对角线；（2）常见的向量不等式：→→→→→→-≥±≥+bababa例3、已知正方形ABCD的边长为1，→→=aAB，→→=bBC，→→=cAC，则→→→++cba等于________例3、已知→a，→b均为非零向量，则下列说法中，正确的有____________①⇔+=+→→→→b a b a →a 与→b 同向共线； ②⇔-=+→→→→b a b a →a 与→b 反向共线； ③⇔-=+→→→→b a b a →a 与→b 有相同的模； ④⇔-=-→→→→b a b a →a 与→b 同向共线；提高例题例1、若非零向量→a ，→b 满足→→→=-b b a ，则（ ）A 、→→→->b a b 22B 、→→→-<b a b 22C 、→→→->ba a 22 D 、→→→-<b a a 22例2、设→a ，→b 是两个非零向量（ ）A 、若→→→→-=+b a b a ，则→→⊥b aB 、若→→⊥b a ，则→→→→-=+b a b aC 、若→→→→-=+b a b a ，则存在实数λ，使得→→=b a λD 、若存在实数λ，使得→→=b a λ，则→→→→-=+b a b a例3、在ABC ∆中，已知对任意实数t ，都有→→→≥-AC BC t BA ，则ABC ∆一定为（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、与t 的取值有关3、平面向量基本定理及坐标表示平面向量的基本定理如果→1e ，→2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量→a ，有且只有唯一一对实数21λλ，，使得→→→+=2211e e aλλ（不共线向量→1e ，→2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域。
下面是关于向量的知识点和公式总结：一、向量的定义：1.向量是具有大小和方向的量，用箭头上面一点标记，如A、B等。
2. 向量可以表示为坐标形式（a1, a2, ..., an）或分量形式ai。
二、向量的运算：1.向量加法：向量A+B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的和。
2.向量减法：向量A-B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的差。
3.数乘：向量A乘以一个实数k，结果是一个新的向量B，B的坐标等于A每个坐标位置的值乘以k。
4.内积（点积）：向量A和向量B的点积是一个实数，表示为A·B，等于A和B坐标对应位置元素的乘积和，再求和。
5.外积（叉积）：向量A和向量B的叉积是一个新的向量C，C垂直于A和B所在平面，其大小等于A和B构成的平行四边形的面积，方向由右手定则确定。
三、向量的性质：1.数乘分配律：k(A+B)=kA+kB2.数乘结合律：(k1k2)A=k1(k2A)3.负向量：-A=(-1)A4.零向量：所有分量均为0的向量，用0或O表示，满足A+0=A。
5.单位向量：长度为1的向量，用u表示。
6.平行向量：方向相同或相反的向量。
7.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
四、向量的模和单位向量：1.向量的模（长度）：向量A的模表示为，A，定义为各个分量平方和的平方根。
A，= √(a1^2 + a2^2 + ... + an^22.单位向量：长度为1的向量，可将向量A除以其模得到单位向量u。
五、向量的投影：1.向量的投影是指在特定方向上的长度，用于量化向量在方向上的大小。
2.向量A在向量B上的投影等于A和B的内积除以B的模。
projB(A) = (A·B)/，B六、向量的夹角：1.向量的夹角是指两个向量之间的角度。
2.余弦公式：向量A和向量B的夹角θ满足如下关系：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3. 内积性质：若A和B的夹角为θ，则cosθ = cos(θ+2πn)，其中n为整数。
向量的基本概念与运算规则
向量的基本概念与运算规则向量是数学中的一个重要概念，常用于表示具有大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
记作➡️AB，A和B分别表示向量的起点和终点。
二、向量的表示方法向量可以用多种表示方法，常见的有坐标表示法和分量表示法。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以由起点和终点的坐标表示。
例如，向量➡️AB可以表示为(2,3)。
2. 分量表示法：向量可以由沿坐标轴的投影表示，称为向量的分量。
例如，向量➡️AB的水平分量和垂直分量分别为2和3。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘和点乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足"三角形法则"，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
例如，对于向量➡️AB和向量➡️BC，它们的和为向量➡️AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
将被减去的向量取反，即将其方向翻转180度，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 向量的数乘：将一个向量与一个标量相乘，即将向量的大小与标量相乘，同时保持向量的方向不变。
例如，向量➡️AB数乘2的结果是向量➡️AC，AC的大小为原向量AB大小的2倍。
4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量进行数量积运算，其结果为一个实数。
点乘的计算公式为AB·AC=|AB||AC|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别为向量AB和AC的大小。
四、向量的性质向量具有一些重要的性质，其中包括：1. 向量的零向量：零向量是指大小为0的向量，它的方向可以是任意方向。
零向量与任何向量的加法结果均为原向量本身。
2. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
了解向量的概念与运算
了解向量的概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它常常用来描述具有大小和方向的量。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，向量的概念和运算被广泛应用。
一、向量的概念向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量常常由两点表示，起点表示向量的起点，终点表示向量的方向和大小。
向量也可以由一组有序数表示，在坐标系中，每个坐标表示向量在该方向上的大小。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量进行相加，结果为一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，结果为一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法。
3. 数量与向量的乘法：数量与向量的乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。
数量与向量的乘法满足分配律和结合律。
4. 内积：内积也称点积或数量积，是两个向量的运算，结果为一个实数。
内积的计算公式是两个向量的对应分量相乘之后再相加。
内积可以用于计算向量的夹角和投影等问题。
5. 外积：外积也称叉积或向量积，是两个向量的运算，结果为一个新的向量。
外积的计算公式是两个向量的长度和它们之间夹角的正弦之积，再乘以一个单位向量。
外积可以用于计算向量的面积和方向等问题。
三、向量的应用向量的概念和运算在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
1. 物理学中，向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量，可以帮助分析和解决各种力学问题。
2. 工程学中，向量用于描述力、力矩、负载等工程量，可以帮助设计和优化各种结构和系统。
3. 计算机科学中，向量用于处理图形和图像，可以用于计算机图形学、计算机视觉等领域。
4. 经济学中，向量用于描述投资组合、市场供需关系等经济指标，可以帮助分析和预测经济走势。
5. 生物学中，向量用于描述基因序列、蛋白质结构等生物信息，可以帮助研究和解决生物学问题。
总之，了解向量的概念与运算对于理解数学和应用科学都具有重要意义。
向量的定义与运算
向量的定义与运算向量是数学中的一个重要概念，在许多学科中都有广泛应用。
本文将详细介绍向量的定义以及常见的向量运算。
一、向量的定义在数学中，向量是由若干个有序实数构成的有向线段。
通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，而箭头的长度和方向表示向量的大小和方向。
二、向量的表示方法1. 列向量表示法：向量可以用一个竖线列出，称为列向量。
例如，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂, ..., an]ᵀ（其中ᵀ表示转置）2. 坐标表示法：向量可以用坐标表示。
例如，在二维空间中，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂]（其中a₁和a₂分别表示向量在x轴和y轴上的分量）三、向量的运算向量之间可以进行多种运算，包括：1. 向量的相加：向量相加就是将对应位置的分量相加。
例如，向量a和向量b相加可以表示为：a +b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., an + bn]ᵀ2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的每个分量乘以一个常数。
例如，向量a乘以常数c可以表示为：c * a = [c * a₁, c * a₂, ..., c * an]ᵀ3. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积，表示对应位置的分量相乘后再相加。
例如，向量a和向量b的点乘可以表示为：a ·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + an * bn4. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积，只适用于三维空间中的向量。
叉乘的结果是一个新的向量，其方向垂直于原有两个向量所在的平面。
例如，向量a和向量b的叉乘可以表示为：a ×b = [a₂ * b₃ - a₃ * b₂, a₃ * b₁ - a₁ * b₃, a₁ * b₂ - a₂ * b₁]四、向量的性质向量具有许多重要的性质，包括：1. 向量的模长：向量的模长是指向量的大小或长度。
在二维空间中，向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)在三维空间中的向量模长的计算公式类似。
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① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
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例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/12/11
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
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1b1(ab) 1 (b a)
24
4
20
总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
(2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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3
例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
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4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
则 abx1x2,且 y1y2
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3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
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3.平面向量之间的关系
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
6
2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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向量的基本 概念与运算
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平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
平行时它们是同向还是反向?
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
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2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
a b a b cos
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例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
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2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0