(完整版)华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案.doc
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第 11章（之1）（总第59次）
教材内容：§11. 1 多元函数
1．解下列各题：
** （ 1） . 函数 f (x, y) ln( x2 y 2 )
．
1 连续区域是
答： x2 y 2 1
函数 f (x, y) xy
y2
x2 y 2 0
** （ 2） . x 2
x 2 y 2 ，则（）
0 0
(A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续
(C) 仅在（ 0,0 ）点连续(D) 除（ 0,0 ）点外处处连续
答：（ A）
**2. 画出下列二元函数的定义域：
（1）u x y ；
解：定义域为：( x, y) y x ，见图示阴影部分：
（2）f ( x, y)ln(1 xy) ；
解： (x, y) xy 1 ，第二象限双曲线xy 1 的上方，第四象限双曲线x y 1 的下方（不包括边界，双曲线xy 1 用虚线表示）．
（3）z
x y
x ．
y
解：x
y 0 x y x y 0 x y ．x y x y 0 xy
*** 3. 求出满足 f x y,
y
x 2
y 2 的函数 f x, y .
x
s
x y
x
s
1 t
解：令
y ，
∴
st
t
x
y
1 t
∴ f s,t
s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 即 f x, y x 2 1 y ．
1 t
2 1 t
1 y
*** 4.
求极限： lim
0 ,0
1 xy 2
1 ．
x, y
x 2 y
1 xy 1 xy
1 x
2 y 2 解： 0
2
x 2
y 2
1 xy 1 x 2
y 2
1 xy 1 x 2
y 2
x 2
y 2
（ x, y
0,0 ）
2 1 xy 1
∴
lim
1 xy 1 0 ．
2
2
x, y
0,0
x y
** 5. 说明极限
lim
x 2 y 2 不存在．
x 2 y 2
x, y
0, 0
解：我们证明 x, y 沿不同的路径趋于 0,0 时，极限不同．
首先， x
0 时，极限为
lim
x 2 y 2
y 2
1，
x 2
y 2
y 2
x
x, y 0,0
其次， y 0 时，极限为
lim
x 2 y 2 x 2
1 ，
x 2
y 2
x 2
y
x, y 0,0
故极限
lim
x 2 y 2 不存在．
x, y
0, 0
x 2
y 2
** 6.
设
f ( x, y)
ysin 2x ，试问极限 lim f (x, y) 是否存在？为什么？
xy 1 1 ( x, y) ( 0,0)
解 ： 不 存 在 ， 因 为 不 符 合 极 限 存 在 的 前 提 ， 在 (0,0) 点 的 任 一 去 心 邻 域 内 函 数
ysin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f ( x, y) 就没有定义．
f ( x, y)
xy 1
1
*** 7. 试讨论函数 z
arctan
x y
的连续性．
1 xy
解：由于 arctan
x y
是初等函数，所以除
xy 1 以外的点都连续，但在
xy 1 上的点处
1 xy
不连续．
** 8. 试求函数 f ( x, y)
xy
的间断点．
sin 2 x sin 2
y
解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续．
又 f ( x, y)
xy
是初等函数．
x sin 2
sin 2 y
所以除点 (m, n) （其中 m,n
Z ）以外处处连续．
第 11 章（之 2） （总第 60 次）
教材内容： § 11.2 偏导数 [ § 11.2.1]
** 1. 解下列各题：
（1）函数 f (x, y)
x 2
3
（ ）
y 在 (0,0) 点处
（A ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都存在； （ B ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都不存在；
（C ） f x (0,0) 存在，但 f y (0,0) 不存在； （ D ） f x (0,0) 不存在，但 f y (0,0) 存在．
答：（ D ）．
（2） 设 z
x ( y 2) arcsin
x
，那么 z
（
）
y
y
(!,2 )
(A) 0 ；
(B) 1 ；
(C)
； (D)
．
2 4
答： (D) ．
（3）设 f x, y xy ，则 f x ' (0,0) ______， f y ' (0,0) __________ ．
解：由于 f ( x,0)
0 ，
f x ' (0,0) 0 ，同理 f y '( 0,0) 0 ．