2牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律

习题22-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。

当2st =时，求：(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。

解：由 x x f a m =，有：x a 263m /168s ==，27m /16y y f a s m -== （1）2003522m /84x x xv v a dt s =+=-+⨯=-⎰， 200772m /168y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。

于是质点在2s 时的速度：57m /s 48v i j =--（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++1317(224)()428216i j -=-⨯+⨯⨯+⨯137m 48i j =--2-2 质量为2kg 的质点在xy 平面上运动，受到外力2424=-F i t j 的作用，t =0时，它的初速度为034=+v i j ，求t =1s 时质点的速度及受到的法向力n F 。

解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

由：d v F md t =，有：24242d v i t j dt-=⋅，两边积分有： 0201(424)2v t v d v i t j dt =-⎰⎰，∴3024v v t i t j =+-， 考虑到034v i j =+，s t 1=，有15v i=由于在自然坐标系中，t v v e =，而15v i =（s t 1=时），表明在s t 1=时，切向速度方向就是i 方向，所以，此时法向的力是j 方向的，则利用2424F i t j =-，将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-，∴24n F N =-。

2-3．如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？解：分别对A ，B 进行受力分析，可知：A A A m g T m a -=2B B T m a =12B A a a =则可计算得到：45A a g =。

2-4．如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。

即：max 212222f mg f Fa m m m m m μ==<=+可得：12()F m m g μ<+解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ，列式有：max 2122F m g m am g m aμμ-==联立得：max 12()F m m g μ=+，有：12()F m m g μ<+。

2-5．如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。

为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。

解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：sin cos N N mg μθθ+= 1sin cos N N ma θμθ-= 可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 1+-=a g（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：sin cos N mg N μθθ+=2sin cos N N ma θμθ+=可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 2-+=a g ，所以：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。

解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： 'x 方向：sin cos 0mg ma f θθ-±='y 方向：cos sin 0N mg ma θθ--=考虑到f N μ=，有：sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=，解得：sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμθμθμθ±±==。

∴a 的取值范围：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。

2-6．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv=-θx 'y Nmamg又由牛顿第二定律可得：dv f m dt =，则dv kv m dt-= 分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv kdt v m=-⎰⎰，所以：t mk e v v -=0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：mdx dv k=-，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m mx dv v k k=-=⎰ 。

2-7．质量为2m 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为1m ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为θ， 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。

解：利用隔离体方法，设方形物2m 相对于劈形物1m 沿斜面下滑的加速度为2'a ，劈形物1m 水平向左的加 速度为1a ，分析受力有：方形物2m 受力：2m g ，1N ，21m a （惯性力）； 劈形物1m 受力：1m g ，1N ，2N ，如图； 对于2m ，有沿斜面平行和垂直的方程为：21222cos sin 'm a m g m a θθ+= ① 1212sin cos N m a m g θθ+= ②对于1m ，有：111sin N m a θ= ③将③代入有②：11212sin cos sin m a m a m g θθθ+=， ∴21212sin cos sin m a g m m θθθ=+，代入①，有：122212()sin 'sin m m a g m m θθ+=+ 再将2'a 在水平和竖直两方向上分解，有：2m 1m θ1122212()sin cos 'sin x m m a g m m θθθ+=+ 21222212()sin 'sin y y m m a g a m m θθ+==+ ∴122212sin cos 'sin x x m a a a g m m θθθ=-=-+ 而相互作用力：111sin m aN θ==g m m m m θθ22121sin cos +2-8．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R ，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为μ，在0=t 时，球的速率为0v ，求任一时刻球的速率和运动路程。

解：利用自然坐标系，法向：2v N m R =，而：f N μ=切向：dtdvm f =-，则：2dv v dt R μ=- 0201v t v dv dt v R μ-=⎰⎰，得：tμv R Rv v 00+=00000ln(1)t t v t dt RS vdt v R R v t R μμμ===++⎰⎰2-9．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。

解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）2-10．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为yxOBA FmAx =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d rF m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。

2-11．一质量为m 的物体，在力2()F at i bt j =+的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。

解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：2231111()()23F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰⎰ 所以功率为：P F v =⋅2232325111111()()()2323ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅+=+。

2-12．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。

（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：211.3420.522(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----=（2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：()()()B AABF x dl F x i d r F x i d r ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰()()()()0BBAAF x i d xi d y j d zk F x i d xi d y j d zk =⋅++-++=⎰⎰∴该弹力为保守力。

2-13．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。

解：求在B 点的速度：2v N G m R-=，可得：R G N mv )(21212-= 由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-2-14．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在1212ρρρ<<的条件下，求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。