拉普拉斯变换及其性质
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拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在物理、工程、数学、经济等领域均有广泛的应用。
本文将详细介绍拉普拉斯变换的定义、性质、公式表、逆变换及其应用方面的内容。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数f(t)在复数域上进行变换。
拉普拉斯变换L{f(t)}的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是复数域上的变量，f(t)是定义在[0,∞)上的函数。
式中的e^-st可以看作是一个因子，它起到了对f(t)作拉普拉斯变换的影响作用。
二、拉普拉斯变换的性质(1)线性性：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}其中，a和b为任意常数。
(2)时移性：L{f(t-k)}=e^(-ks)F(s)其中，k为任意实数。
(3)尺度变换：L{f(at)}=1/aF(s/a)其中，a为任意实数，a≠0。
(4)复合性：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则L{f(g(t))}=F(G(s))。
(5)初值定理：lim_(t→0^+)f(t)=lim_(s→∞)sF(s)(6)终值定理：lim_(t→∞)f(t)=lim_(s→0^+)sF(s)三、拉普拉斯变换表以下是一些常用的函数的拉普拉斯变换表。
f(t) F(s)t^n n!/s^(n+1)e^at 1/(s-a)sin(at) a/(s^2+a^2)cos(at) s/(s^2+a^2)1 1/st 1/s^2(t^n)e^at n!/(s-a)^(n+1)u(t-a) e^(-as)/sexp(-at)u(t) 1/(s+a)1-exp(-at)u(t) 1/(s(s+a))1/(a+t) exp(-as)δ(t-a) e^(-as)t^n u(t) n!/s^(n+1)t^n exp(-at)u(t) n!/(s+a)^(n+1)(t^n sin(bt))u(t) nb^s/(s^2+b^2)^(n+1)(t^n cos(bt))u(t) s^n/(s^2+b^2)^(n+1)其中，δ(t)表示狄拉克函数，u(t)即单位阶跃函数。
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s)的ROC： Re[ s] 1
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
拉普拉斯变换概念与性质
§9.1 Laplace变换的概念 第 二、Laplace 变换的定义 九 章 定义 设函数 f (t ) 是定义在 (0 , ) 上的实值函数，如果对于 拉 普 拉 斯 变 换
P213 定义 9.1
复参数 s j , 积分 F ( s )
或像函数，记为 F ( s )
积分性质
[
t
0
1 f (t ) d t ] F ( s) . s
s
F ( s) d s
[
f (t ) ]. t
5
§9.1 Laplace变换的概念 第 五、周期函数的像函数 九 章 性质 拉 普 拉 斯 证明 变 换
P223
[ f (t ) ] f ( t ) e
0
T
st
dt
记为 f (.
Laplace简介
t 注 f ( t ) 的 Laplace 变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。
1
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平面 Re s c , 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。
F ( s)
0
f ( t ) e s t d t 在复平面
s 的某一区域内收敛，则称 F ( s ) 为 f (t ) 的 Laplace 变换
[ f ( t )] , 即
0
[ f ( t )]
f (t ) e s t d t .
相应地，称 f (t ) 为 F ( s ) 的 Laplace 逆变换或像原函数，
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
P213 定义 9.1
复参数 s j , 积分 F ( s )
或像函数，记为 F ( s )
积分性质
[
t
0
1 f (t ) d t ] F ( s) . s
s
F ( s) d s
[
f (t ) ]. t
5
§9.1 Laplace变换的概念 第 五、周期函数的像函数 九 章 性质 拉 普 拉 斯 证明 变 换
P223
[ f (t ) ] f ( t ) e
0
T
st
dt
记为 f (.
Laplace简介
t 注 f ( t ) 的 Laplace 变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。
1
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平面 Re s c , 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。
F ( s)
0
f ( t ) e s t d t 在复平面
s 的某一区域内收敛，则称 F ( s ) 为 f (t ) 的 Laplace 变换
[ f ( t )] , 即
0
[ f ( t )]
f (t ) e s t d t .
相应地，称 f (t ) 为 F ( s ) 的 Laplace 逆变换或像原函数，
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
拉普拉斯变换及其性质课件
信号重建
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
拉普拉斯变换及其性质..
例
信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
(1)
解:
f (t ) (t )
(2) f (t ) U (t ) (4) f (t ) e atU (t ) a0
(3) f (t ) cos 0tU (t )
(1) lim (t )e σ t 0
t
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
lim f (t )e t 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛
因子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰
当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
F{ f (t )e
t
} f (t )e
t jt
e
dt f (t )e ( j ) t dt
它是 +j的函数，可以写为
F ( j )
F( +j)的傅里叶反变换为
t 1
F ( s) L f (t )
1
f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
记作
f (t ) F ( s)， f (t ) 称为原函数，F ( s) 称为象函数
t t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
拉普拉斯变换性质及反演
b p a
p f( ) a
数学物理方法
（7）卷积定理
若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )]
t
则 L[ f1 (t )* f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p) ，其中 积。 在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积： f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
a y ( p) y ( p) 2 2 p p 1
1 1 解得 y ( p ) a ( 2 4 ) p p
1 3 从而 y (t ) a (t t ) 6
数学物理方法
（三）黎曼－梅林反演公式* 在 上两种方 法都不能 求出原函 数 时 ， 原 则 上 总 是 可 以 采 用
n
数学物理方法
（4）相似性定理
1 p L[ f (at )] f ( ) a a
（5）位移定理 L[ e t f( t) f ( ] p 请大家仿照傅里叶积分变换验证。
)
计算 eat cos t ， e at sin t ， eat cht ， eat sht 的拉普拉斯变换函数。 解：略。 例 6.2.6
e ap 1 解：由于 的原函数为 H (t ) ，应用延迟定理有 p p 1 的原函数为 H (t a) ，又由位移定理有 的原函 pb bt 数为 e 。应用卷积定理，有
t e ap 1 L [ ] H ( a)e b (t ) d 0 p ( p b)
t 1 1 L [ 2 ] ( )et d t 1 et 0 p p 1 1
6.3 拉普拉斯变换的反演
数学物理方法
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Lt
t
estdt
0
1 t dest s 0
1stest
0
0estdt
1s 1s est
0
1 s2
n2
Lt22 sLt2 ss12s23
n3
Lt33 sLt23 ss23s64 LL
所以
L
t n
n! s n1
9
四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
L [sin ( 0t)u (t)]
L
1
t
(σσ0)
换
收敛轴
jω
收敛区
的
收
收敛坐标
敛
σ0 O
σ
域
6
例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
( 1 ) f( t)( t)
(2 f( t) ) U ( t)
( 3 )f( t) co 0 tU ( s t) (4 f( t) ) e a U t ( t)a 0
解: (1) lim (t)eσt 0 t
4
5.1 拉普拉斯变换
F(s)Lf(t) f(t)estdt
f(t)L1 f(t) 1 σjF(s)estds
2πj σj
正变换 反变换
记作 f(t)F(s)， f(t)称为原函数，F(s)称为象函数
考虑到实际信号都是有起因信号
所以
F() f(t)ejωtdt 0
采用 0 系统，相应的单边拉氏变换为
F { f( t) e t} f( t) e te j td t f( t) e ( j )tdt
它是 +j的函数，可以写为
F( j )f(t)e(j)tdt
F( +j)的傅里叶反变换为
f( t) e t F 1 { F ( j) } 1 F ( j) e j td 2
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 拉普拉斯变换 §5.2 拉普拉斯变换的基本性质 §5.3 拉普拉斯逆变换 §5.4 连续时间LTI系统的复频域分析 §5.5 连续时间LTI系统 §5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
2
j
( e j 0t
e -j 0t )u (t )
11
1
(
)
2 j s j 0 s j 0
0
s
2
2 0
•收敛域 Re[s]>0
L [co s( 0t)u (t)]
L
1 2
(e
j 0t
e -j 0t ) u
(
t
)
11
1
(
)
2 s j 0 s j 0
s
s2
2 0
•收敛域
Re[s]>0
F(s) L f (t)
0
f (t)estdt
f(t) L1 f(t)
1
σjF(s)estds
2πj σj
5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
三
•记为：ROC(region of convergence)
拉
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
氏 变
lim f(t)eσt 0
到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
limf(t)et 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛因 子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当 的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
10
四．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin ( 0t)u (t)]
L
1 2j
(e (
j 0 )t
e ( j 0 )t )u
(
t
)
1( 1
1
)
2 j s j 0 s j 0
(s
0 )2
02
•收敛域 Res][>-Fra bibliotekL[e t cos( 0t)u (t)]
t
t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu(t)01estdt1s
e st
0
1 s
(σ 0)
2.指数函数
Leαt0eαtestdte(α(
α
s
)t
s
)
1 s α
0
(σ α)
3.单位冲激信号
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
(2) lim U(t)eσt 0 t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(3) lt ic mo0 st)( eσt 0
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4 ) lie m a te σ t lie m (a )t 0
L
1 2
( e ( j 0 )t
e
(
j
0
)
t
)
u
(
t
)
1( 1
1)
2 s j 0 s j 0
s
(s
)2
2 0
•收敛域 Res][>-
11
5.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理 初值定理和终值定理 卷积定理
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F ( j) f( t) e j tdt
f( t) 1 F ( j) e j td 2
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。
此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样即得
12
一．线性性质
若 Lf1(t)F 1(s), Lf2(t)F 2(s),K 1,K 2为常数 则 LK 1f1(t)K 2f2(t)K 1F 1(s)K 2F 2(s)
即
f(t)21 F(j)e(j)td
F(s) f(t)estdt
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
3
5.1 拉普拉斯变换 二．拉普拉斯变换的定义
F(s) f(t)estdt
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。
以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
L(t)(t)estdt1 全 s 域平面收敛 0
L(t t0 )0 (t t0 )e std t e st0
8
四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t nu(t)
Ltn
tnestdt
0
t n e st
s
0
n s
tn1 estdt
0
n t n1 estdt
s0
所
n
以
1
Ltn ns Ltn1