拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
K1.06-拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
则 f(at) ←→ 1 F ( s ) aa
Re[s]>a0换
例 如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
解： y(t)= 4 f(0.5t)
f(t) 1
Y(s) = 4×2 F(2s)
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
知识点K1.06
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
主要内容：
1.拉普拉斯变换的线性性质 2.拉普拉斯变换的尺度变换性质
基本要求：
1.熟练拉普拉斯变换的线性、尺度变换等性质 2.结合性质计算信号的拉氏变换
1
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
K1.06 拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
一、线性性质
若 f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1 f1(t)+a2 f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
如 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0
8 e2s 2s 2
(1 e2s
2s e2s )
0 12 t y(t) 4
2 e2s s2
(1 e2s 2s e2s )
0
24 t
3
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
信号与系统
四．s 域平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t f (t) e(αs)td t F (s α)
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
0
0
推广：
f (0) sF(s)
L
d
f 2 (t)
dt2
s
L
d
f (t)
dt
f
(0 )
ssF(s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
s0
f
(0
)
lim
s0
d f (t) estd t 0 d t
f
(0
)
lim
t
f
(t)
f (0 )
lim f (t) t
信号与系统
九．初值定理和终值定理
例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值
I(s) s 2 s(s 2)
H(s)
s2
8 10s
169
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
t0 0
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
（2） f(t)=δ(t) ） 由于 δ(t)=dε(t)/dt
冲击函数 单位阶跃函数
L[δ (t )] = L[dε (t ) / dt ]
f(0-)=0
1 =s - 0 s
=1
三、积分性质
函数f(t)的象函数与其积分 函数 的象函数与其积分 有如下关系 若 则 L[f(t)]= F(s)
∫
t
1 jωt − jωt −st = ∫ (e − e )e dt 0− 2 j 1 1 1 = s − jω − s + jω 2j
ω = 2 s +ω2
（2）f(t)=K(1-e-at) ） L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
是两个任意的时间函数， 设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 和 是两个任意的时间函数 象函数分别为F 象函数分别为 1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数， 常数， L[A1f1(t)+ A2f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s) 证明： 证明：P291
函数f(t)的象函数与其导数 函数 的象函数与其导数f ’(t)=df(t)/dt的象函 的象函数与其导数 的象函 数之间有如下关系 若 则 L[f(t)]= F(s) L[f ’(t)]=sF(s)- f(0-)
例：利用导数性质求以下函数的象函数： 利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) ） （2）f(t)=δ(t) ）
0−
f (ξ )dξ 的象函数之间
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。
式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
m,n 是正整数。
按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。
C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
1
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3
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t0
1 s t0 s2
F2
(s)
L
(t
t0
)u
(t
)
F1
(s)
1
s s2
t0
F4 (s)
L (t
t0 )u(t
t0)
1 s2
e s t0
F3(s) Ltu(t t0 ) L(t t0 )u(t t0 ) t0u(t t0 )
F4 (s)
t0 s
e s t0
s t0 1 est0 s2
dt2
ssF (s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f d
n (t) tn
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
六．时域积分定理
若
L f (t) F(s)
则
L
t
f
(τ) d
τ
F (s) s
1 s
0
f ( ) d τ
t
(t
)
f (t) 的拉普拉斯变换 2Fra bibliotekF(s)
解：F(s)
F1 (s)
F2 (s)
s
1 1
(s
1 1)(s
2)
(s
s 1 1)(s
2)
s
1
2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 L f (t) F (s)
则
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s) est0
(3)表达式
0
等0
所表示的信号不能用时移性质
t0 0。
f (t t0 )，f (t)u(t t0 )，f (t t0 )u(t)
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t) 0
0<t <t0
其余
求 F(s)
解： 因为 f (t) u(t) u(t t0 )
所以 F (s) L[ f (t)] L[u(t)] L[u(t t0)]
0
t
证明：
f ( ) d τ f ( ) d τ f ( ) d τ
0
①
②
① 0 f ( ) d τ 1 0 f ( ) d τ
s
t 因为第一项与 无关，是一个常数
②
0
t 0
f
(
)
d
τ
e st
d
t
e st s
t 0
f ( ) d τ
0
1 s
t f (t) estd t
§ 4.2 拉普拉斯变换的基本 性质
一．线性性
若
L f1(t) F1(s),
L
f2 (t)
F2
(s),
K1,
K 为常数 2
则
LK1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
例：已知
f1 (t )
F1 (s)
s
1 1
f2 (t)
F2
(s)
(s
1 1)(s
2)
求
f1
:
e t
sin(ω0t)u(t)
(s
ω0 α)2
ω02
五．时域微分定理
若 L f (t) F(s)
则
L
d
f (t) d t
sF (s)
f
(0 )
证明：
f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
00
f (0) sF(s)
推广：
L
d
f 2 (t)
1 ( s2
1 s
)es
例 已知 f (t)＝ 2 cos(t π)u(t), 求F(s)。 4
解：f (t) 2 cos t cos π 2 sin t sin π cos t sin t
4
4
F (s)
1
s s2
1
1 s
2
s 1 1 s2
三．尺度变换
若
L f (t) F(s)
则
L f (at) 1 F( s ) (a 0)
二．延时（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t) fT (t)u(t)
f1(t)u(t) f1(t T )u(t T ) f1(t 2T )u(t 2T )
F (s) F1(s) F1(s)eTs F1(s)e2Ts
1 1 eTs
F1 ( s)
0
1 t f (t) estd t F (s)
s0
s
六．时域积分定理
例：求图示信号的拉普拉斯变换
f (t) 1
解：
0
2
4
t
f (t) 1 t u(t) u(t 2) ( 1 t 2)u(t 2) u(t 4)
解：4种信号的波形如图
f1(t) t t0
f2 (t) (t t0 )u(t)
0
0
t0
t
t0
t
f3 (t) t u(t t0 )
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 )
0
0
t0
t
t0
t
二．延时（时域平移）
f4 (t) 只有信号
可以用延时性质
F1(s)
Lt
t0
1 s2
1 s
则
L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t F (s α)
0
例：求 eαt c的o拉氏s变ω换 0t
解：已知
: L cos(ω0t )u(t )
s2
s ω02
所以
e t
cos(ω0t)u(t)
(s
sα α)2
ω02
同理
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
t0 ) estd t
t0
f
(t
t0 ) estd t
令 τ t t0 f (τ) est0 esτd τ 0
F (s) est0
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
的形式的信号才能用时移性质
f (t t )u(t t ) (2)信号一定是右移
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列
(t 的拉氏变T换为 )u(t)
T
(t
)u
(t
)
1
1 eTs
1 1 eTs
二．延时（时域平移）
例 已知 f (t) t u (t 1),求 F( s)
解： F (s) L[tu(t 1)] L[(t 1)u(t 1) u(t 1)]
1 1 est0 1 (1 est0 )
ss
s
二．延时（时域平移）
例： 已知单位斜变信号
t u(t ) 的拉普拉斯变换为
1 s2
求 f1(t) t t0，f2 (t) (t t0 )u(t)，f3(t) t u(t t0 )，
f4 (t) (t t0 ) u(t t0 ) 的拉普拉斯变换
aa
： 证明 L f (at) f (at) estd t 0
令τ at
f
(τ
)
(
e
s a
)τ
d(
τ
)
0
a
时移和尺度变换都有:
1
( s )τ
f (τ)e a d τ
1 F(s)
a 0
aa
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
四．s 域平移
若 L f (t) F (s)