拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的基本性质
d
f d
(t t
)
e
st
d
t
0
d
f (t) dt
lsimest
d
t
0
所以
lim
t 0
f (t)
f
(0 )
lim sF(s) s
信号与系统
九．初值定理和终值定理
终值定理证明
根据初值定理证明时得到的公式
sF(s)
f (0 )
d f (t) estd t 0 d t
lim sF(s)
ω02
信号与系统
五．时域微分定理
若 L f (t) F(s)
则
L
d
f (t) d t
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
00
f (0) sF(s)
推广：
L
d
f 2 (t)
dt2
ssF (s)
例：求图示信号的拉普拉斯变换
f (t) 1
解：
0
2
4
t
f (t) 1 t u(t) u(t 2) ( 1 t 2)u(t 2) u(t 4)
2
2
求导得
df (t) 1 u(t) u(t 2) 1 u(t 2) u(t 4)
dt 2
2
df (t) dt
F1(s)
1 1 e2s 2s
证明： L f (t) eαt
f (t) eαtestd t F(s α)
0
例：求 eαt cos ω0t 的拉氏变换
解：已知
: L cos(ω0t )u(t )
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换性质
F ( s a)
注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。
at
例5：求 L[eat t m ]
解：
已经知道：
m L t
(m 1) s m 1
根据上述位移性质可知：
(m 1) L e t ( s a)m1
•在半平面Re(s)>c上一定存在, •右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, •并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数。
§2.2 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理
*
1 线性性质
若 , 是常数， 设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
4 位移性质
设 L f t F s
,
at L e 则有： f t F s a
, (Re( s a ) 0)
证： 有如下
L[e f (t )] eat f (t ) e st d t
at 0
0
f (t ) e ( s a )t d t
F1 s F2 s
f1 t f2 t .
注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。
设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
L f1 t F1 s ,
L f1 t F1 s
则有：
,
L f2 t F2 s
拉普拉斯变换的基本性质
t0
1 s t0 s2
F2
(s)
L
(t
t0
)u
(t
)
F1
(s)
1
s s2
t0
F4 (s)
L (t
t0 )u(t
t0)
1 s2
e s t0
F3(s) Ltu(t t0 ) L(t t0 )u(t t0 ) t0u(t t0 )
F4 (s)
t0 s
e s t0
s t0 1 est0 s2
dt2
ssF (s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f d
n (t) tn
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
六．时域积分定理
若
L f (t) F(s)
则
L
t
f
(τ) d
τ
F (s) s
1 s
0
f ( ) d τ
t
(t
)
f (t) 的拉普拉斯变换 2Fra bibliotekF(s)
解：F(s)
F1 (s)
F2 (s)
s
1 1
(s
1 1)(s
2)
(s
s 1 1)(s
2)
s
1
2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 L f (t) F (s)
则
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s) est0
(3)表达式
拉普拉斯变换及其应用
拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到频率域。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括电路分析、信号处理和控制系统等。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的方法。
对于一个定义在非负实数轴上的函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞] f(t)e^(-st) dt其中，s是复数变量，称为变换域变量。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有许多有用的性质，下面列举其中几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，以及两个函数f1(t)和f2(t)，有以下公式成立：L[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)2. 移位性质：对于函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)，对t进行平移得到f(t-a)的拉普拉斯变换，可以表示为：L[f(t-a)] = e^(-as)F(s)3. 尺度变换：对函数f(t)进行尺度变换，即对t进行缩放，可以表示为：L[f(at)] = 1/a * F(s/a)三、拉普拉斯变换在电路分析中的应用拉普拉斯变换在电路分析中具有重要的应用价值。
通过将电路中的元件和信号用拉普拉斯变换表示，可以将微分方程转化为代数方程，简化分析过程。
例如，考虑一个简单的RC电路，其中电压源为V，电阻为R，电容为C。
假设电路中的电流为i(t)，则根据基尔霍夫电压定律有以下微分方程：RC di(t)/dt + i(t) = V(t)将此微分方程应用拉普拉斯变换，可以得到以下代数方程：(I(s) - i(0)) / sC + I(s) / (sRC) = V(s)通过求解这个代数方程，可以得到电路中电流I(s)的表达式。
进一步，可以将其逆变换回时间域得到实际的电流函数。
四、拉普拉斯变换在信号处理中的应用在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转换成对应的频域信号，从而方便进行频域分析和滤波等操作。
函数的拉普拉斯变换与逆变换
函数的拉普拉斯变换与逆变换定义函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：F(s)=∫e−st∞f(t)dt其中s是一个复数变量。
性质拉普拉斯变换具有以下性质：1.线性性：对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有：L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]2.时移性：对于任意常数a，有：L[f(t−a)u(t−a)]=e−as F(s)其中u(t)是单位阶跃函数。
3.微分性：对于任意可导函数f(t)，有：L[f′(t)]=sF(s)−f(0)L[f″(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)4.积分性：对于任意可积函数f(t)，有：L[∫ft0(τ)dτ]=F(s)s5.卷积定理：对于任意两个函数f(t)和g(t)，有：L[f(t)∗g(t)]=F(s)G(s)其中∗表示卷积运算。
应用拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1.微分方程的求解：拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
2.信号处理：拉普拉斯变换可以用于分析和处理信号。
3. 控制理论：拉普拉斯变换可以用于分析和设计控制系统。
4. 电路分析：拉普拉斯变换可以用于分析和设计电路。
逆拉普拉斯变换拉普拉斯变换的逆变换定义为：f (t )=12πi ∫e st γ+i∞γ−i∞F (s )ds 其中 γ 是一个大于所有 F (s ) 的奇点实部的常数。
性质逆拉普拉斯变换具有以下性质：1. 线性性：对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f (t ) 和 g (t )，有：L −1[aF (s )+bG (s )]=aL −1[F (s )]+bL −1[G (s )]2. 时移性：对于任意常数 a ，有：L −1[e as F (s )]=f (t −a )u (t −a )3. 微分性：对于任意可导函数 F (s )，有：L −1[sF (s )]=f′(t )L −1[s 2F (s )]=f″(t )4. 积分性：对于任意可积函数 F (s )，有：L −1[F (s )s ]=∫f t 0(τ)dτ 5. 卷积定理：对于任意两个函数 F (s ) 和 G (s )，有：L −1[F (s )G (s )]=f (t )∗g (t )应用逆拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1. 微分方程的求解：逆拉普拉斯变换可以将代数方程转化为微分方程，从而更容易求解。
拉普拉斯变换及其性质课件
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
《拉普拉斯变换 》课件
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
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ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
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[sin t ]
s2 2
,
根据象函数的导数性质有
[ t sin t ]
d ds
[
s2
2
]
2 s (s2 2 )2
.
P219 例9.8
16
解 t 2 cos2 t 1 t 2 (1 cos 2t ) , 2
已知 [1] 1 , s
s [ cos 2t ] s2 22 ,
,
再由象函数的导数性质有
[ t e3t sin 2t ]
d ds
(s
2 3)2
4
4(s 3) [(s 3)2 4]2
.
18
四、积分性质 P219
1. 积分的象函数 P219
性质 [ t f (t )d t ] 1 F (s) .
0
s
证明
令 g(t)
21
四、积分性质
2. 象函数的积分
性质 s F (s)d s
一般地，有
[ f (t) ].
t
ds ds F (s)d s
s s s
[
f (t) tn
].
n次
证明 (略)
22
P220 例9.10
解 已知
[sin t ]
1 s2
1
,
根据象函数的积分性质有
§9.2 Laplace 变换的性质
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
1
§9.2 Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F(s) [ f (t)], G(s) [ g(t)]. 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
2
一、线性性质与相似性质 P216
1. 线性性质 P216 性质
证明 (略)
3
解 f (t) sin 2t sin 3t 1 (cos t cos 5t), 2
[ f (t) ] 1 ( [ cos t ] [ cos 5t ]) 2
1 2
s2
s
1
s2
s
25
一般地，有 [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
其中， f (k) (0) 应理解为 lim f (k)(t ). t0 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。 （§9.4 将专门介绍 ）
F (s) d f (t)estd t [ f (t)est ]d t
ds 0
0 s
t f (t )estd t [ t f (t ) ]; 0
同理可得 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
15
解 已知
0
f1 (
)[
f2(t
)est
d t]d
D
t
t
30
六、卷积与卷积定理
2. 卷积定理
定理 [ f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s).
证明
[et sin t ]
1 (s 1)2 1
.
11
三、微分性质 P217
▲1. 导数的象函数 P217
性质 [ f (t)] sF (s) f (0) .
证明
[ f (t ) ] f (t )estd t estd f (t )
0
0
f (t )est s f (t )estd t ,
13
P218 例9.7
解 利用导数的象函数性质来求解本题 由 f (0) f (0) f (m1)(0) 0 以及 f (m)(t ) m! 有 [ f (m)(t)] [ m!] smF (s) sm1 f (0) sm2 f (0) f (m1)(0) sm [ f (t)] sm [ tm ],
[
f
(t)]
1
1
esT
T est sin t d t
0
1
1
e sT
est (s sin t cos t )
s2 2
T 0
s2 2
1 esT 1 esT
s2 2
cth s π .
2
27
六、卷积与卷积定理 P224
1. 卷积 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指
1. 积分的象函数
性质 [ t f (t )d t ] 1 F (s);
0
s
一般地，有
20
解 已知
[sin2t ]
2 s2 22
,
根据微分性质有
[ t sin 2t ]
d ds
s2
2 22
再由积分性质得
[
Байду номын сангаас
t 0
t sin 2t dt ]
1 s
4s (s2 4)2
积分性质
[ t f (t)d t ] 1 F(s).
0
s
s F (s)d s
[ f (t) ].
t
25
五、周期函数的像函数 P223
性质
证明
[ f (t)]
T f (t)estd t
0
f (t)estd t
T
记为
I1 I2,
其中，I2 令 x t T
[ sin t ] t
s
1 1 s2
ds
即 sin t est d s arccot s . 0t
在上式中，如果令 s = 0，则有
sin t d s π .
0t
2
启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值，
就可以用来求一些函数的广义积分。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
1[ es F (s) ] f (t ) u(t ) .
8
P222 例9.12
解 方法一 已知
[sin t]
s
1 2
1
,
方法一 先充零再平移
根据延迟性质有
[ sin(t
π 2
)]
s
2
1
1
e
πs
2.
sin(t π ) u(t π )
2. 卷积定理
定理 [ f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s).
证明 左边
[ f1(t) f2(t)]
[
0
f1 (t )
f2(t)]estd t
(跳过?)
[
0
t 0
f1( )
f2(t
)d ]estd t
t
D f1( ) f2(t )estd d t
2
2
方法二 先平移再充零
方法二
[ sin(t π ) ] [ cos t ] 2
1 s2
1
(s).
sin(t π ) u(t) 2
两种方法为什么会得到不同的结果？
9
例 设 F (s) 1 e2s , 求 1[ F (s) ]. P223 例9.13 修改
s1
解 由于
0
0
由 | f (t )| Mect , 有 | f (t )est | Me( Re sc)t ,
因此当 Re s c 时，有 lim f (t)est 0 , t
即得 [ f (t)] sF (s) f (0) .
12
三、微分性质
▲1. 导数的象函数 性质 [ f (t)] sF (s) f (0);
1[ 1 ] et u(t ) ,
s1
根据延迟性质有
1[ F (s) ] et2 u(t 2)
et 2
,
t 2,
0, t 2 .
10
二、延迟性质与位移性质
2. 位移性质 P223 性质 证明 (略)
例如
[et cos t ]
(s
s1 1)2
1
.
令 x at
1
f
s
(x)e a
x
dx
a0
1 a
F
s a
.
6
二、延迟性质与位移性质 P222
1. 延迟性质 P222
性质 设当 t < 0 时 f (t) 0 , 则对任一非负实数 有 [ f (t )] es F (s) .
证明
[ f (t ) ] f (t )estd t 0 f (t )estd t 令 x t f ( x)esx es d x 0 es F(s).
f ( x T )es( xT )d x
0
esT f ( x)es xd x esT [ f (t ) ], 0
即得
[
f