电路分析基础-拉普拉斯变换
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电路的拉普拉斯变换分析法
E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
拉普拉斯变换在电路 分析中的应用
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
一般线性电路的动态分析--拉氏变换法
L [ F ( s )]
2 j c j
F ( s )e ds
注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！
例：求以下函数的象函数：冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。 解：（1） 单位阶跃函数 f(t) =ε(t)
st 0
2、拉普拉斯反变换
f (t )
1 2
j
c j
c j
F ( s )e ds
st
通常可以L [ ]符号表示对方括号里的时域函 数作拉氏变换；
L[ f (t )] f (t )e dt F ( s)
st 0
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换。 1 c j 1 st
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
1 d sin(t ) 解：（1） cos( t ) dt
L[sin(t )] 2 s 2
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 s 2 - 0 2 s s 2 s 2
常用函数的拉氏变换及反变换对应表
原函数f(t) cos(ωt)
e-atcos(ωt) t t e-at
象函数F(s)
s s2 2 sa ( s a) 2 2
1 s2 1 ( s a) 2
常用函数的拉氏变换表见教材。
§9.3 拉普拉斯反变换
一、部分分式展开法
电路响应的象函数通常可表示为两个实系 数的s的多项式之比，即s的一个有理分式
结论： 由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化 常用函数的拉普拉斯变换。
常用函数的拉氏变换及反变换对应表 原函数f(t)
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
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则：
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例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
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2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
电路第十三章拉普拉斯变换
电路第十三章拉普拉斯变换第十三章拉普拉斯变换内容提要本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。
主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理),还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。
目录§13—1拉普拉斯变换的定义§13—2拉普拉斯变换的基本性质§13—3拉普拉斯反变换的部分分式展开§13—4运算电路§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路本章作业13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、13—3(2)(4)、13—4、13—12、12—16、12—18§13—1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。
定义：F()=∫f(t)e–tdt0–∞S=σ+jω拉普拉斯正变换1σ+j∞F()etdf(t)=拉普拉斯反变换2πj∫σ–j∞拉氏正变换f(t)拉氏反变换F()=L[f(t)]原函数一一对应象函数f(t)=L–1[F()]F()简写符号例：计算下列原函数的象函数；1.f(t)=ε(t)2.f(t)=δ(t)∞0–3.f(t)=e–αtε(t)4.f(t)=tε(t)解：F()=∫f(t)e–tdt1.F()=L[ε(t)]=∫∞0–ε(t)e–tdt=∫0∞–e–tdt=0+1–t–e1=0–∞∞2.F()=L[δ(t)]=∫δ(t)e–tdt=∫δ(t)dt=10–0–∞3.F()=L[e–αtε(t)]=∫∞∞0–e–αte–tdt=1e–(α+)t–α+∞0–1=α+0–124.F()=L[tε(t)]=∫=–1[te–t0–同理：F()=L[tnε(t)]=n!n+1te–tdt–∫∞0–e–tdt]=§13—2拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质若：L[f1(t)]=F1()L[f2(t)]=F2()则：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1()+A2F2()证：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=∫[A1f1(t)+A2f2(t)]e–tdt0–∞=∫A1f1(t)e–tdt+∫0A2f2(t)e–tdt0––∞∞=A1∫0f1(t)e–tdt+A2∫f2(t)e–tdt–∞∞0–=A1F1()+A2F2()例：计算下列原函数的象函数；1、常数U解：1、L[U]=L[Uε(t)]=U2、L[A(1–e–αt)]=L[A]–L[Ae–αt]=3、L[inωt]=L[1ejωt–2j11–=2j–jωαAA–A+α=(+α)2、A(1–e–αt)3、inωt1–jωte]2jω112j+jω=2+ω2同理：L[coωt]=22+ω二、(时域)微分性质设：L[f(t)]=F()则：L[f′(t)]=F()–f(0–)证：L[f′(t)]=∫∞df(t)0–dte–tdt=∫e–tdf(t)0–∞=e–tf(t)∞0––∫f(t)(–)e–tdt∞0–0–∞=–f(0–)+∫f(t)e–tdt=F()–f(0–)导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以再减去初始值的代数运算。
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换详解
s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f
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df (t ) 如果L[ f (t )] F (s), 则f (t )的导数f ' (t ) 的拉氏变换为 dt df (t ) L[ f ' (t )] L[ ] sF (s) f (0 ) dt
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[e ]
t
0
e
( s )t
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。 由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为 1 st 1 st st F (s) L[ (t )] (t )e dt e dt e 0 0 0 s s 同理，单位冲激函数的象函数为
0
f (t )e st dt
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，记作： f (t ) L1[ F (s)] 式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。 在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。 注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律 用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
F (s) AF1 (s) BF2 (s),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求f1 (t ) sin t和f 2 (t ) cos t的象函数。
根据欧拉公式： e jt cos t j sin t可得： e jt e jt e jt e j t sin t , cos t 2j 2 1 jt 由前面例题得出L[e ] s j
st
0
s2 2
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数普拉斯变换的基本性质
学习目标： 了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数f1 (t )和f 2 (t )的象函数分别为 F1 (s)和F2 (s)， 则函数 f (t ) Af1 (t ) Bf 2 (t )的象函数为：
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的 拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L[e
t
]
此积分在s>α时收敛，有：
0
e
t
e
st
dt
0
e ( s )t dt
L[e
t
]
0
e
( s )t
1 dt s 1 dt s
L[e
- jt
1 1 1 1 s j s j 故 L[sin t ] ( ) 2 2 2 2 j s j s j 2 j s s 2
1 ] s j
1 1 1 s 同理： L[cos t ] ( ) 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F ( s)
0
f (t )e st dt
F ( s)
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域 函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st 称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的象函数。记作 F (s) L[ f (t )] 式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即： 1 j f (t ) F ( s )e s t dt 2j j
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。 拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
F (s) L[ (t )]
0
(t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
st 0
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为： F ( s ) L[sin t ] sin te st dt
e 2 s 2 ( s sin t cos t )