电工技术第五章

RL
uo
-
t
图 5-1 半波整流电路与输出波形
常见的非正弦周期信号有方波、三角波、锯齿波、脉冲波、整流等波形（半波整流波形 和全波整流波形）。在晶体管放大电路中存在直流信号和正弦交流信号，两种信号叠加起来 也是一种非正弦交流信号，如图 5-2 所示。
f(t)
t
图 5-2正弦周期交流信号的分解 关于非正弦周期函数的傅立叶(Fourier)分解的数学问题，已经在 19 世纪初得到解决。一
第五章
1
第五章 非正弦周期交流电路
5.1 概述 非正弦周期交流电路是指含有非正弦周期信号的电路，非正弦周期信号在电工电子技
术中有着广泛的应用。例如，图 5-1 是二极管半波整流电路，输入信号是正弦波，经过二极 管整流后输出成为只有正半周的半波整流波形，这个信号就是非正弦周期信号。
f(t)
+
+
ui=sinωt -
L
20Ω −
图 5-10 例 5-3 图
解：电流源������������中包含直流分量������S0 = 10������和交流分量������(2) = 5sin(2������������ + 30°)A 在直流分量激励下电阻 R 上的电压是：���������(���0) = ������S0������ = 10 × 20V = 200V
a0

1 T
T 0
f (t)dt
������������������
=
2 ������
∫0������
������(������)cos������������0������d������
(5-2)
(5-3a) (5-3b)
������������������
=
2 ������
∫0������
������(������)sin������������0������d������

87
)
V
电容上的电压是分电路电容电压瞬时值的代数和：
uC
(t)

1 2

0.154 cos(2t

76
)

0.018 cos(6t

95
)

0.006 cos(20t

87
)
V
例 5-2 求图 5-8 电路中电阻 R 两端的电压。
1H
0.5H
R 20cos2t V 1Ω
2A
0.25F 1Ω
(5-3c)
图 5-3 是几种常见的非正弦周期信号，下面给出了它们的傅立叶级数。
f(t)
A
0 TT
t
2
-A
f(t)
A
0
T 2
T
t
-A
(a)
(b)
f(t)
A
0
T 2
T
t
f(t) A
0
T 2
T
t
(c)
(d)
图 5-3 几种常见的非正弦周期信号
图 5-3（a）是方波，其傅立叶级数是：
f
(t)

4A
(sin 0t
因为：2������������
=
1 2������������
=
100，所以在交流分量作用下
LC
串联谐振，根据电路列出在交流
分量作用下的电路方程：
5������ + ���������(���2) = 0
{���������(���2) 20
+
������
=
5sin(2������������
+
30°)
n1
利用三角函数级数的正交性，得：
7
第五章
8
F
B02


(
n1
1 2
Bmn )2


B02 Bn2
n1
(5-8)
B0 是直流分量，Bn 是各次谐波的有效值。 因此，非正弦电压电流的有效值可以表示为：

U
U
2 0

U
2 n

U
2 0
U12

U
2 2

n1
(5-9)
f (t) B0 Bm1 sin(0t 1 ) Bm2 sin(20t 2 )

B0 Bmn sin(n0t n ) n 1
(5-1)
其中0 2 T ，是角频率。第一项 B0 称为恒定分量或直流分量，是此周期函数在一
1
第五章
2
个周期内的平均值；第二项 Bm1 sin(0t 1) 称为基波或一次谐波(Fundamental Harmonic)，
线性电路在非正弦周期信号激励下的稳态响应，可以用叠加定理求解。首先将非正弦信
号用傅立叶级数分解，然后求出不同频率分量单独作用时的稳态响应，最后将各次谐波作用
的结果叠加。对于每一种频率分量单独作用时的计算，和正弦稳态响应的计算方法完全一样。
值得注意的是，各次谐波作用的结果最后进行叠加时，由于频率各不相同，所以，不能用相
V
例 5-3 如图所示交直流共存电路，已知：������������ = [10 + 5sin(2������������ + 30°)]A，������������ = 50Ω，
1 ������������
=
200Ω。求电阻
R
上的电压������R及其有效值������R。
+
i
iS 5i
C
−
R
+ uR
R
+
1Ω
2 cos 6t - 3
+
C
uC2(t)
2F -
R
+
1Ω
2 cos10t 5 -
+
C
uC3(t)
2F -
(c)考虑第三项的作用
(d)考虑第四项的作用
图 5-7
图 5-7(a)电路只有直流电源，电容开路。电容上电压：
uC 0

1 2
V
图 5-7(b)电路中（ 2 ），利用相量法求解：

1 sin 3
30t

1 5
sin 50t
)
图 5-3（b）是等腰三角波，其傅立叶级数是：
f
(t)

8A 2
(sin
0t

1 9
sin
3
0
t

1 25
sin
50t

)
图 5-3（c）是锯齿波，其傅立叶级数是：
f
(t)

A 2

A
(sin
0t

1 2
sin
20
t

1 3

I
I
2 0

I
2 n

I
2 0

I12

I
2 2

n1
5.4.2 平均功率 平均功率的定义
P 1
T pdt 1
T
uidt
T0
T0
设非正弦周期交流电压和电流如下

u U 0 U mn sin(n0t n ) n1
(5-10) (5-11) (5-12)
它的频率与非正弦周期函数的频率相同。其余各项的频率是非正弦周期函数频率的整倍数， 称为高次谐波 (Higher Harmonic Term)。
将傅立叶级数的形式稍做变换，就可以写成如下形式：


f (t) a0 amn cos n0t bmn sin n0t
n1
n1
利用三角函数级数的正交性可以求出各项的系数：
量相加，只能用瞬时值相加。
例 5-1 图 5-6 电路中，uS(t)是方波，其傅立叶级数是
us
(t)

1 2

2
cos
2t

2 3
cos
6t

2 5
cos10t

求电容 C 上的电压 uC(t)。
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5
R
+
1Ω
uS(t)
-
+ C
uC(t) 2F -
uS(t) 1
t

3T 4
T 4
图 5-8
解：此电路中含有直流电源和正弦交流电源，是一个非正弦周期交流电路。用叠加法求 解。
当 2A 的直流电源单独作用时，由于电容相当于开路，R 中的电流为０，电压也是０。 当正弦交流电源 20cos2t V 单独作用时，电路的相量模型图如下：
2j
j
R
10 2 j
1Ω

UR
-2j 1Ω
Zb
并联部分的等效复阻抗

A T
sin x
x
其中 x n0 2 。画出图 5-4 脉冲波的频谱图见图 5-5。
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4
Cn
A
T sin x
x
6
4
2 ω0
2


θ π
4
6
ω


6
4
2
ω
2
4
6



图 5-5 图 5-4 脉冲波的频谱图
与图 5-4 时域的函数曲线对应，频谱图是函数在频域(Frequency Domain)的表达形式。它形象地显示了 组成非正弦周期函数 f(t)的各个频率分量的大小和相位关系。从上图可以看出，对于非正弦周期函数而言，