高中数学一轮复习函数与方程
∴(－3a＋1)· (1－a)<0，
1 解得3<a<1，
∴实数 a
1 的取值范围是3，1 .
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解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
函数零点所在区间的判定
自主演练
1.设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为 A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) √ D.(3,4)
个零点分别位于区间
A.(a，b)和(b，c)内 √
C.(b，c)和(c，＋∞)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)
解析 ∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点， 又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点. 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2) 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) ， 则 f(a)· f(b)<0.( × ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ ) (4)f(x)＝x2， g(x)＝2x， h(x)＝log2x， 当x∈(4，＋∞)时， 恒有h(x)<f(x)<g(x). ( √ )
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 Δ＝0 Δ<0
(x1，0)，(x2，0) ______________
___ 2
(x1，0) _______ ___ 1
无交点 ___ 0
【知识拓展】 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一 个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不 变号.
解析 答案
1 x－2 3.设函数y1＝x3与y2＝ 2
的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，
(1,2) n∈N，则x0所在的区间是______.
解析 令 f(x)＝x
3 1 x－2 － ， 2
则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0， ∴x0所在的区间是(1,2).
1 2 3 4 5 6 7
题组二 教材改编
2 2.[ P92A 组 T5] 函数 f(x)＝ln x－x 的零点所在的大致区间是 A.(1,2)
解析
B.(2,3) √
1 C.e，1和(3,4)
D.(4，＋∞)
2 ∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－3>0
且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
作出y＝x与y1＝ x，y2＝－ex，y3＝－ln x
的图象如图所示，可知选C.
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解析
答案
x 2 －1，x≤1， 1 个零点. 6.已知函数f(x)＝ 则函数f(x)有___ 1＋log2x，x>1，
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0， 1 解得 x＝2，
解析 ∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)· f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数， ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).
解析
答案
2.若a<b<c，则函数 f(x) ＝ (x － a)(x －b) ＋(x－b)(x－c) ＋(x－c)(x－ a) 的两
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上函数f(x)只有1个零点.
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解析
答案
7.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值 1 ， 1 3 范围是________. 解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)<0，
解析
答案
4.[P92A组T4]函数f(x)＝x
解析 作函数y1＝ x
1 1 1 2－ x 的零点个数为_____. 2
1 1 2 和y ＝ x 的图象如图所示， 2 2
由图象知函数f(x)有1个零点.
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解析
答案
题组三 易错自纠 5.已知函数f(x)＝x－ x (x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为 x1，x2，x3，则 C.x2<x3<x1 √ 解析 A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 D.x3<x1<x2
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.8 函数与方程
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)， c 也就是方程f(x)＝0的根. 使得 f(c)＝0，这个___
∴f(x)的零点在区间(2,3)内.
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解析
答案
1 3.[P88例1]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是_____.
解析 由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增， 1 又 f(－1)＝e －3<0，f(0)＝1>0，
因此函数f(x)有且只有一个零点.
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2025届高中数学一轮复习课件：第三章 第8讲函数与方程(共84张PPT)
高考一轮总复习•数学
第25页
对点练 1(1)(2024·山西临汾模拟)函数 f(x)＝log8x－31x的零点所在的区间是(
)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 2<a<3<b<4 时，函数 f(x)的零点 x0
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1(1，e)内均无零点 C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
Δ<0
__无__交__点____ ____无______
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高考一轮总复习•数学
第11页
常/用/结/论 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说， 零点有与 x 轴相切的零点． 2．f(a)f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
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理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 函数零点 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把满足___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D) 的零点．
高考数学一轮复习：函数与方程(Word版,含解析)
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
高考数学一轮复习二次函数与一元二次方程、不等式
则 a＝－12，b＝－2.所以 a＋b＝－14.
答案：－14
4．(人教A版必修①P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立， 则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有 4a2－4×18< 0，可得－3 2< a< 3 2.
答案：(－3 2，3 2)
二、易错易混小题的矫正纠偏
(2) 转 化 为 函 数 值 域 问 题 ， 即 ： 已 知 函 数 f(x) 的 值 域 为 [m ， n] ， 则 f(x)≥a 恒 成 立 ⇒ f(x)min≥a ， 即 m≥a ； f(x)≤a 恒 成 立 ⇒ f(x)max≤a ， 即 n≤a.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
[例3] (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒
意x都成立，则实数m的取值范围是
()
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当 m＝2 时，不
等 式 为 4 ＞ 0 ， 该 不 等 式 恒 成 立 ； 当 m≠2 时 ， 必 须 满 足
2－m＞0， 4－2m2－4×42－m＜0，
[答案] (1)B (2)(－2,3]
[方法技巧] 解一元二次不等式的4个步骤
角度2 解含参一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0. [解] ∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0， 令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]， 则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1. ①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2； ②当2a>a＋1，即a>1时，解得x<a＋1或x>2a； ③当2a<a＋1，即a<1时，解得x<2a或x>a＋1. 综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x<a＋1或x>2a}．
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第八节 函数与方程
点”的充分不必要条件.
3.用二分法求函数零点近似值
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零
点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0;
的零点个数为3.
研考点 精准突破
考点一
判断函数零点所在的区间
题组(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
)
D.(3,4)
(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间
(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(
(3)已知函数 f(x)=
A.1
B.2
C.3
)
D.4
1
- ,
2
≥ 0,
则函数 y=f(f(x))的零点个数为(
ln(-), < 0,
D.4
)
答案 (1)B
(2)C
(3)C
解析 (1)当 x∈[0,3π]时,由 f(x)=sin 2x-cos x=2sin xcos x-cos x=cos x(2sin x-1)
同号.
2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
常用结论
1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的零点与方程的解
§2.11函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B ，D 选项中函数无零点，A ，C 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点．2．函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是()A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y ＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y ＝－ln x 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝3x －ln x 为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x ＝2时，y ＝32－ln 2>0；当x ＝3时，y ＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是(2,3)．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案B解析由f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由题意得，f (x )＝ln x ＋2x －6，在定义域内单调递增，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f (2)f (3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，解得n ≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x 1＋12x＝0，x 2＋log 2x 2＝0,33x -－log 2x 3＝0，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0.设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，＝－12，g (1)＝1，即(1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )－log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)，由函数单调性可知，x 3>1，即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案AD解析f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e－1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－12log |x |的零点个数是()A ．5B ．4C ．3D ．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝12log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－12log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为() A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)x|，x>0，x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为() A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为()A ．(22－6,0)B ．(23－6,0)C ．(－2,0)D ．(25－6,0)答案D解析作出函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ，且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0，则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上，代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)，所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )x >0，2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a的取值范围为()A ．(－1,0)1C.0{－1}答案B解析设h (x )＝ln xx(x >0)，则h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )>0，得0<x <e ，令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点，所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 1课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4)答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0,0.5)，f (0.375)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f f (0.25)．3．函数f (x )2－2x －3，x ≤0，2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4，作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点，所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点，综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()－53，(0，＋∞)－∞，－53∪(0，＋∞)D.－53，答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，1)<0，3)≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是－53，5．已知函数f (x )－x ，x <0，＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)答案A 解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2答案C 解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈ π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________．答案f (x )＝x 2－1(答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)．11．已知函数f (x )2x ，x >0，x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )x －1|，x ≤1，－2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x－1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝f 2(x )＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案A 解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x －1|＋1x ，x ≥0，－e x ，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1＝1x －sin x ，所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()D ．(0，e －1)答案B 解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，m >e －1，m <e －1，即e －16<m <e －14.16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2ex ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e h (2)＝4e2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ，4e 2.。
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高三一轮复习教案-函数与方程
课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。
函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。
题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。
本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。
它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。
学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。
通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。
所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。
设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。
教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。
教学方法：讲练结合，师生互动。
教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。
过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。
情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。
教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。
难点：零点个数问题，含参数的零点问题。
教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。
函数与方程课件-2025届高三数学一轮复习
D.（0，2）
答案 （1）C
目录
目录
目录
变式训练
若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围
是
.
答案：（1，＋∞）
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
（
）
（
）
答案：（3）√
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.
答案：（4）×
目录
函数零点的判定
目录
函数零点的判定
目录
目录
1
（2）函数f（x）＝｜x－4｜－ 的零点的个数为（
A.0
B.1
C.2
）
D.3
1
1
解析 （2）令f（x）＝｜x－4｜－ ＝0得｜x－4｜＝ ，在同一坐标系下分
（b） ＜ 0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内 至少 有一个零点，
即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断
函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在
这个区间上存在零点的充分不必要条件.
第十节
函数与方程
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在性定理，并能简
单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
参考答案：
例11.D
： 2.B .C 2.A 3.A
学习评测：
1.D 2.A 3.C 4.B 5.（-1，）
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
高三数学一轮复习专题：函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。