点到平面的距离计算(人教A版)
高中数学人教A版 选择性必修第一册 两点间的距离公式 课件
勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问4 ：如何求 1 2 ？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问5：如果直线 与坐标轴平行，或在坐标轴上，两点间距离是否满足
经典例题
题型一
两条直线的交点问题
跟踪训练1
(1)若两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，则 k＝________；
(2)求经过点 P(1,0)和两直线 l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程.
k
k
(1)在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0，得 y＝3，将(0，3)代入 x－ky＋12＝0，解得 k＝±6.
课堂小结
已知平面内两点 , ， , ，能否说出两点间的距离
公式？
y
P2
能否描述这句话对应的几何图形？
2 −1
证明两点间距离公式的基本方法
x
O
P1
2 − 1
A
课堂小结
回归两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈一谈你的感受？
几何
代数
坐标
几何
随堂检测
1.求下列两点间的距离:
跟踪训练2
(1)已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|＝|BD|.
解：
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
思考：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.
|| =
设 = ，如何利用这些条件求点到直线的距离？
Ԧ
追问1：与有何关系？
是在直线上的投影向量，
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为？
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
追问：如何求直线与平面间的距离？
两个平行平面间的距离？
⟺点到平面的距离
α
典例精析
例题：如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段1 1 的中
(4)求距离 =
|∙|
.
||
α
归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0)，所以//1 ，即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , )，
1
2
− =0
∙ = 0
则
，即
，取 = 1，则 = (1,2,1)，
(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.4.2 第1课时 距离问题讲义
1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．知识点一点P 到直线l 的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )2 (如图)．知识点二点P 到平面α的距离设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |(如图)．思考怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 答案两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．1．空间内有三点A (2,1,3)，B (0,2,5)，C (3,7,0)，则点B 到AC 的中点P 的距离为() A.102B ．5C.3102D ．3 5 答案C2．已知直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 的距离为()A ．5B ．14C.145D.45答案C解析∵P A →＝(－2，－6,2)，P A →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5， ∴点P 到直线l 的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝145.3．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． 答案54．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________． 答案103解析点P 到平面α的距离 d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.一、点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1,0,0)， 所以直线A ′C 的方向向量A ′C ———→＝(1,2, －3)． 又BC →＝(0,2,0)，所以BC →在A ′C ———→上的投影长为|BC →·A ′C ———→||A ′C ———→|＝414.所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C ———→|A ′C ———→|2＝4－1614＝2357. 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．解以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，则EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1，0，－2)． |EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，F A →在EF →上的投影长为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d ＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 二、点到平面的距离与直线到平面的距离例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离． 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝⎛⎭⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ， x ＋y ＋z ＝1，PE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1， 所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝⎛⎭⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917. 所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，则AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离， 平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)， 所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )． (4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )， 则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)， 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y －hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ，1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．已知A (0, 0, 2) ，B (1, 0, 2) ，C (0, 2, 0) ，则点A 到直线BC 的距离为() A.223B ．1C.2D.2 2答案A解析∵A (0, 0,2)，B (1, 0,2)，C (0, 2,0)， AB →＝(1, 0,0) ，BC →＝(－1, 2，－2) ， ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223. 2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是() A.66B.63C.36D.33答案D解析分别以P A ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)， 则d ＝|P A →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为() A.36B.33C.233 D.32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0) , C 1(0,1,0) , D (0,0,1) , A (1,0,1) ，所以DA 1—→＝(1,0，－1) ，DC 1—→＝(0,1，－1) , AD →＝(－1,0,0) ，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1) ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥DA 1→，m ⊥DC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________． 答案22解析因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直， 所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，则点A 到平面EFG 的距离为________． 答案33解析建系如图，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，所以AG →＝(0,1,0)， GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)， 所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．知识清单： (1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
——夹角问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下 面我们用向量方法研究直线 与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看线线角.
1. 线线角 (异面直线所成的角)
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角
或d PQ |AP n | |AP n| . |n| |n|
P n
d
α
A
Q
4. 直线到平面的距离： 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
P•
l
n
d
α
Q A
3. 两个平行平面之间的距离：
两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
z
G
d | n BE | 2 11 .
n
11
D x
F
A
E
C
B y
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
故所求最小值为 a ,此时点 P 的坐标为(0, 6 a).
2
探究点三 求点到直线的距离
【例3】 (1)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为
(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为
.
.
(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实
数m的值为
(3)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为1.( × )
(4)已知A(4,0),B(0,4),从点P(1,0)射出的光线被直线AB反射后,再射到直线
OB上,最后经OB反射后回到P点,则光线所经过的路程是 √34 .( √ )
2.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|= (x1 -x2 )2 + (y1 -y2 )2 ?
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
的距离d=|x0-b|.
知识点3 两条平行直线间的距离
1.概念:夹在两条平行直线间的 公垂线段
的长就是两条平行直线间的
距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
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点到平面的距离计算（人教A版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.正四面体的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离为( )
A. B.
C. D.
2.在正方体中，，则点A到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
3.如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面
的距离为( )
A. B.
C. D.
4.如图，在三棱锥中，底面，，，为的中点，
，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
5.如图，在正三棱柱中，，则点C到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
6.如图，三棱锥的侧棱两两垂直，且，，则点O到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在四面体中，E为BC中点，，，则点E到平面ACD的距离为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正三棱柱中，若，D是的中点，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
9.如图，已知四边形ABCD是正方形，平面．分别是的中点，若点到平面的距离为，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.。