自动控制理论实验报告-根轨迹仿真分析

图 3.1
1.5, 1.32 和 1.5, 1.32 ，阶跃响应如图 3.3 所示。
图 3.2
图 3.3
' （2）使 Z ' 3 Z ， p1' 3 p1 ， p2 4 p2 ，其根轨迹如图 3.4 所示。零
点为 3, 0 ，极点为 1.5, 1.32 和 1.5, 1.32 ，阶跃响应如图 3.5 所示。
图 2.1
（3）指出该类型根轨迹图形的特点，并在进一步实验中验证。
Z ' Z ， Z ' Z ，绘出根轨迹，观察改变开
环零点位置对系统性能的影响；
图 2.2
' （3）取 Z ' Z ，改变 p1' 、 p 2 与 p1、p2 的大小关系，绘出根轨迹，观察改变
开环极点位置对系统性能的影响。 3.改变零极点个数对根轨迹的影响。 （1）输入参数 Z，观 察当增加一个开环零点时 根轨迹的变化， 零点位置变 化对根轨迹的影响， 对闭环 系统的响应的影响；
观察根据图 2.4 系统所绘制的根轨迹与一般根轨迹的区别，判断导致零度根 轨迹的原因。 观察根据图 2.5 系统所绘制的根轨迹，判断导致零度根轨迹的原因。 6.参数根轨迹。 绘制式（2-2）的根轨迹，并与计算机绘制图形比较。
s 3 K 2 s 2 K1 s K 1 0
（2-2）
其中 K1 及 K2 是可变参数，且其值都在 0 到∞之间。 7.绘制任意系统的根轨迹。
图 2.6
自由改变 a0、a1、a2、b0、b1、b2、b3 和 r 的值，观察绘制出的根轨迹图。
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根轨迹仿真分析
实验报告
三、实验结果
1. 观察二极点一零点系统的 根轨迹。 如图 3.1 所示， 根轨迹始于开 环极点 1, 1.41 和 1, 1.41 ， 终于开环零点 2, 0 及无穷远处， 有两条分支， 分离点为 3.73, 0 ， 为一段圆弧。 2.改变开环零极点位置对根轨迹的影响。 （1）使 Z=2，p1=3，p2=4，则根轨迹如图 3.2 所示。零点为 2, 0 ，极点为
图 3.29
图 3.30
图 3.31
5.零度根轨迹。 图 2.4 所示系统根轨迹如图 3.32 所示， 图 2.5 所示系统根轨迹如图 3.33 所示。 引起零度根轨迹具有两种情况： （1）非最小相位系统中包含 s 最高次幂的系 数为负的因子； （2）控制系统中包含有正反馈内回路。由于在零度根轨迹绘制法 则中， 实轴上某一区域若右边开环实数零极点个数之和为偶数，则该区域必是根 轨迹， 故根轨迹图中在实轴上有某一点至正无穷为根轨迹时， 该图为零度根轨迹。
1, 2.83 。结果表明，引入开
环零点 3, 0 与原系统开环极点 对消，则根轨迹向左移，系统稳定性增强。 4.互逆系统的根轨迹。 式（2-1）中，G1 s H1 s 的根轨迹如图 3.30 所示，G2 s H 2 s 的根轨迹如图 3.31 所示，可以看出互逆系统的根轨迹图像除零极点位置交换外，图形无变化
s 1s 2s 3 ss 2s 3 ss 2s 3 G2 s H 2 s s 1s 2s 3
G1 s H 1 s
观察如式（2-1）描述的互逆系统根轨迹的异同。 5.零度根轨迹。
（2-1）
图 2.4
图 2.5
图 3.8
图 3.9
' 再使 Z ' 2 Z ， p1' 2 p1 ， p2 2 p2 ，其根轨迹如图 3.10 所示。零点
为 2, 0 ，极点为 1, 1.41 和 1, 1.41 ，阶跃响应如图 3.11 所示。
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根轨迹仿真分析
实验报告
图 3.10
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹仿真分析
实验报告
图 3.32
图 3.33
6.参数根轨迹。 绘制式（2-2）的根轨迹。 以 K1 为参量绘制根轨迹，传递函数为
Gs H s K1 s 1 s3
K 2 0
根轨迹如图 3.34 所示。 以 K2 为参量绘制根轨迹，传递函数为
Gs H s
8, 0 ，极点为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 ， 9, 0 。
图 3.26
图 3.27
以上结果表明，增加开环偶极子前后的根轨迹几乎没有差别，开环偶极子对 系统动态性能和稳态性能的影响很小， 几乎可以略去。 （ 6 ）若引入开环极点 2, 0 与原 系统零点对消，则其根轨迹如图 3.28 所 示。零点为 2, 0 ，极点为 3, 0 ，
图 3.4
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图 3.5
根轨迹仿真分析
实验报告
' 再使 Z ' 1 Z ， p1' 3 p1 ， p2 4 p2 ，其根轨迹如图 3.6 所示。零点为
1, 0 ，极点为 1.5, 1.32 和 1.5, 1.32 ，阶跃响应如图 3.7 所示。
图 3.6
图 3.24
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根轨迹仿真分析
实验报告
1, 0 ， 1, 0 ， 极 点 为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 。
若引入重极点 1, 0 ，则其根轨 迹如图 3.25 所示，零点为 2, 0 ，极 点为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 ，
图 3.11
实验结果表明所增加的开环极点越接近原点，积分作用越强，超调量越大， 系统的相对稳定性越差。 3.改变零极点个数对根轨迹的影响。 （1）先不改变零极点个数，其根轨迹如图 3.12 所示，阶跃响应如图 3.13。
图 3.12
图 3.13
若使 a=1，b=0，Z=1，P=0，则其根轨迹如图 3.14，零点为 1, 0 ， 2, 0 ， 极点为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 ，阶跃响应如图 3.15。
图 3.18
图 3.19
若使 a=0，b=1，Z=0，P=4，则其根轨迹如图 3.20，零点为 2, 0 ，极点为
3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 ， 4, 0 ，阶跃响应如图 3.21。
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根轨迹仿真分析
实验报告
图 3.20
图 3.21
上述实验结果表明，增加开环极点相当于增加积分环节，使根轨迹向右移动 或弯曲， 从而降低了系统的相对稳定性， 并使系统阻尼减小， 过渡过程时间加长。 增加的开环极点越接近坐标原点，积分作用越强，系统的相对稳定性越差。 （3） 若使 a=1， b=1， Z=1， P=4， 即同时引入开环零点 1, 0 和极点 4, 0 ， 则其根轨迹如图 3.22，阶跃响应如图 3.23。
图 3.7
根据实验结果， 可以说明增加开环零点可以改善系统的稳定性，且所增加的 开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系统的相对稳定性越好
' （3）使 Z ' 2 Z ， p1' 4 p1 ， p2 5 p2 ，其根轨迹如图 3.8 所示。零
点为 2, 0 ，极点为 2, 2 和 2, 2 ，阶跃响应如图 3.9 所示。
根轨迹如图 3.35 所示。
K2s2 s 3 K1 s K1
图 3.34
图 3.35
7.绘制任意系统的根轨迹。 以《自动控制理论》 （夏超英编著，科学出版社，2010）第 161 页习题 4-3 （c）为例绘制根轨迹。 4-3（c） 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
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根轨迹仿真分析
实验报告
Gs
K s 5 ss 2s 3
试概略绘制出相应的 K 从 0 变化时的闭环根轨迹。 如图 3.36 所示。
图 3.36
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1, 2.83 ， 1, 2.83 ， 2, 0 。结果
图 3.28
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根轨迹仿真分析
实验报告
表明，引入开环极点 2, 0 与原系统零点对消，则根轨迹向右移，系统的稳定性 变差。 若引入开环零点 3, 0 与原 系统开环极点对消，则其根轨迹 如图 3.29 所示。零点为 2, 0 ， 极点为 3, 0 ， 3, 0 ， 1, 2.83 ，
图 3.22
图 3.23
结果表明，同时引入开环零点和极 点对根轨迹的影响是：哪一个离原点更 近，则哪一个对根轨迹的影响越大。图 3.22 为零点距离原点较近，则根轨迹向 左移，系统地相对稳定性增强。 （4）若引入重零点 1, 0 ，则其根 轨迹如图 3.24 所示，零点为 2, 0 ，
以上结果表明， 增加开环零点相当于增加微分环节，使根轨迹向左移动或弯 曲，从而提高了系统的相对稳定性，并且使系统阻尼增加，过渡过程时间缩短。 零点越靠近原点，系统稳定性越好，但动态性能较差。 （2）若使 a=0，b=1，Z=0，P=2，则其根轨迹如图 3.18，零点为 2, 0 ， 极点为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 ， 2, 0 ，阶跃响应如图 3.19。
二、实验内容
1.观察二极点一零点系统的根轨迹。 （1）指出该根轨迹的起始点与终止点， 并说明它们与开环传函零、极点的关系； （2）指出根轨迹的分支数，在图上读出 分离点坐标； 2.改变开环零极点位置对根轨迹的影响。 （1）给定一组 Z，p1，p2 的值，绘出 它的根轨迹；
' （ 2 ） 取 p1' p1 ， p 2 p2 ， 分 别 使
1, 0 ， 1, 0 。
图 3.25
（5）未增加开环偶极子时，其根轨迹如图 3.26 所示，零点为 2, 0 ，极点 为 3, 0 ， 1, 2.83 ， 1, 2.83 。 若增加一对开环偶极子