复数高考考点解析(文科)

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2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件第12章复数、推理与证明、算法

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i；＝i；＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－＋i
2
3
D．－－i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略
复数的

精品解析：2023年全国高考甲卷数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析；（2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =；（2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2021高考数学复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)

zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为（A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。

高考数学(2、复数的运算)

高考数学（文科）高频考点（2、复数的运算）一、历年考点：1、复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

2、复数的实部、虚部——a+bi=c+di ⇔ a=c,且 b=d 。

3、复数代数形式的四则运算复数的加法法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的减法法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i复数的乘法法则—(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的除法法则—di ++c bi a =22d c bd ac +++22dc ad -bc +i注：虚数单位i 2=-1 i 4k =1 i 4k+1=I i 4k+2=-1 i 4k+3=-i(k ∈N) i 1=-i (1±i)2=±2i i -1i 1+=i i11+-i =-i 4、共轭复数（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

（2）复数z 的共轭复数用 z 表示，即如果z=a+bi ，那么z =a-bi ．5、复平面的概念(1)复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量 OZ ，规定相等的向量表示同一复数.(3)复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:||||0,)z a bi r r r R =+=≥∈ 练习题1、复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ A ）A.0B.1-C.3-D.32、已知复数1z i =+，则221z zz --＝（B ）A. 2B.2iC. -2D.-2i3、若将复数2i i +表示为a bi + (,,a b R i ∈是虚数单位)的形式，则ba 的值为 ( C )A ．2B ．12-C ．-2D ．124、复数512()12mi i m R i -=-∈+，则m 的值为（ A ）A ．0B ．-1C ．1D ．25、若复数(t ∈R)的实部与虚部之和为0，则t 为( C )A ．-1B ．0C ．1D ．2历年高考题1、已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（）（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i2、若a 为实数，且231aii i +=++，则a =（）A ．-4B ．-3C ．3D ．43、设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（）（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i -4、若43i z =+，则||zz =（）（A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55-5、设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（）A ．－3B ．－2C ．2D ．3。

精品解析：2023年高考全国甲卷数学(文)真题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.2.（）A. B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.3. 已知向量，则（）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,4,2,5M N ==U N M = ð{}2,3,5{}1,3,4{}1,2,4,5{}2,3,4,5{1,2,3,4,5}U ={1,4}M ={}2,3,5U M =ð{2,5}N ={2,3,5}U N M = ð()()()351i 2i 2i +=+-1-1i-1i+()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-()()3,1,2,2a b ==cos ,a b a b +-=A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5. 记为等差数列的前项和．若，则（）A. 25 B. 22C. 20D. 15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．117()(),,a b a b a b a b +-+⋅-(3,1),(2,2)a b ==()()5,3,1,1a b a b +=-=- a b b +==== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ()()cos ,a b a b a b a b a b a b+⋅-+-===+- 1613122324C 6=1122C C 4=4263=n S {}n a n 264810,45a a a a +==5S ={}n a n {}n a n【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.6. 执行下边的程序框图，则输出的（）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；{}n a d 1a 2611510a a a d a d +=+++=135a d +=()()48113745a a a d a d =++=11,2d a ==515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=264210a a a +==4845a a =45a =89a =84184a a d -==-34514a a d =-=-=53520S a ==B =1k =123A =+=325B =+=112k =+=2k =358A =+=8513B =+=213k =+=3k =81321A =+=211334B =+=314k =+=当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.7. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.8. 曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，的4k =34B =12,F F 22:15x C y +=P C 120PF PF ⋅= 12PF PF ⋅=12PF F △120PF PF ⋅= 1290FPF ∠=122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅122PF PF ⋅=120PF PF ⋅= 1290FPF ∠= 25142c c =-=⇒=22221212416PF PF F F +===122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=122PF PF ⋅=e 1=+x y x e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e 4y x =e 2y x =e e 44y x =+e 3e24y x =+e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 12y k x -=-e 1xy x =+所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C9. 已知双曲线交于A ，B 两点，则（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D10. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为（）A. 1 B.C. 2D. 3【答案】A()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++1e|4x k y ='==()e e124y x -=-e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e e 44y x =+22221(0,0)x y a b a b -=>>22(2)(3)1x y -+-=||AB =e =222222215c a b b a a a+==+=2ba=2y x =(2,3)d ==||AB ===-P ABC ABC 2,PA PB PC ===【解析】【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A11. 已知函数．记，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，，而，由二次函数性质知，的AB ⊥PEC AB E ,PE CE ABC 2PA PB ==,PE AB CE AB ∴⊥⊥,PE CE ⊂PEC PE CE E = AB ∴⊥PEC 2PE CE ===PC =222PC PE CE =+PE CE ⊥11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯=△()2(1)e x f x --=,,a f b f c f ===b c a >>b a c>>c b a>>c a b>>2()(1)g x x =--()g x 1x =4112⎛---=- ⎝22491670-=+-=>41102⎛--=-> ⎝11->g g <，而，，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，4112⎛--=- ⎝22481682)0-=+=-=-<11-<-g g >g g g <<e x y =a c b <<b c a >>()y f x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π()y f x =1122y x =-()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【解析】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：14. 若偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.为3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3n S {}n a n 6387S S ={}n a 12-1q ≠n q 1q =6387S S =118673a a ⋅=⋅10a =1q ≠1q ≠6387S S =()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--()()638171q q ⋅-=⋅-()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-()3817q ⋅+=12q =-12-()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=a【详解】，且函数为偶函数，，解得，故答案为：215. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1516. 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭20a ∴-=2a =323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+322zy x =-+A z 233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩33x y =⎧⎨=⎩(3,3)A max 332315z =⨯+⨯=1111ABCD A B C D -4,AB O =1AC OO 4R当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为综上，.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【答案】（1）（2【解析】分析】（1）根据余弦定理即可解出；【2R '1AC ==2R R ''==max R =1111,,,AA BB CC DD ,,,M H G N MNGH 4O MNGH MG MG =MNGH R R ∈ABC ,,A B C ,,a b c 2222cos b c aA+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+ABC 1（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．18. 如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.sin A 2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B aB b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC 11sin 122ABC S bc A ==⨯=△111ABC A B C -1A C ⊥,90ABC ACB ∠=︒11ACC A ⊥11BB C C 11,2AB A B AA ==111A BB C C -11A C ⊥ABC 1A C BC ⊥AC BC ⊥BC ⊥11ACC A 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥1AO 1A C AC =O 1CC 1A C AC x ==x 1AO【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,1A C ⊥ABC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥90ACB ∠= ACBC ⊥1,A C AC ⊂11ACC A 1AC AC C ⋂=BC⊥11ACC A BC ⊂11BCC B 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥O 11ACC A ⊥11BCC B 11ACC A 111BCC B CC =1A O ⊂11ACC A 1A O ⊥11BCC B 111A BB C C -1AO 1A C ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥1A C AC ⊥1A B AB =BC ABC 1A BC 1A C AC =1A C AC x ==11A C x =O 1CC 11112OC AA ==又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）1A C AC ⊥22211AC AC AA +=2222x x +=x=11A O ===111A BB C C -1m<m≥()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥k19.8（2）（i ）；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；23.4m =23.4m =1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==18.819.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, 23.223.623.223.623.42m +==m<m≥2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯95%()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭1a =()f x（2）若，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：()sin 0f x x +<a ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a ≤1a =()f x ()f x '()()sin g x f x x =+()0g x <()00g =()00g '≤0a ≤0a =a<02sin sin 0cos xx x-<0a =a<00a >0a >1a =()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==cos t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1t x =∈()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t tt t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-()2222110t t t ++=++>10t -<33cos 0x t =>()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭()()sin 0g x f x x =+<()()00sin 00g f =+=()0110g a a '=-+=≤0a ≤0a =22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<211cos x>()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<()sin 0f x x +<0a ≤a (],0-∞()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<2sin sin 0cos x x x-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.21. 已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及0a >()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x+'=-()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>π02x ∀<<()0g x '>()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()00g =()()00g x g >=()sin 0f x x +>0π02x ∃<<()00g x '<()()000g g x ''<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10g x '=()g x '()10,x ()0g x '>()g x ()10,x ()10,x ()()00g x g >=()sin 0f x x +>0a ≤0a >()00g '>()g x 'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =()0g x '>()()00g x g >=210x y -+=2:2(0)C y px p =>,A B AB =p F C ,M N C 0FM FN ⋅=MFN △2p =12-p MN x my n =+()()1122,,,,M x y N x y 0MF NF ⋅=,m n MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，()(),,,A A B B A x y B x y 22102x y y px-+=⎧⎨=⎩2420y py p -+=4,2A B A B y y p y y p +==B AB y ==-==2260p p --=0p >2p =()1,0F MN MN x my n =+()()1122,,,M x y N x y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=12124,4y y m y y n +==-22161600m n m n ∆=+>⇒+>0MF NF ⋅=()()1212110x x y y --+=()()1212110my n my n y y +-+-+=()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=12124,4y y m y y n +==-22461m n n =-+()()22410m n n +=->1n ≠2610n n -+≥3n ≥+3n ≤-F MN d d 2MN y ==-=1==-MNF ()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-3n ≥+3n ≤-当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．3n =-MNF (2min 212S =-=-,m n ()2,1P 2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩t αl l x y ,A B 4PA PB ⋅=αx l 3π4cos sin 30ραρα+-=t l l x y ,A B ππ2α<<0x =12cos t α=-0y =21sin t α=-21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====sin 21α=±π2π2k α=+π1π,42k k α=+∈Z ππ2α<<3π4α=l tan 1α=-()2,1l ()12y x -=--30x y +-=cos ,sin x y ραρα==l cos sin 30ραρα+-=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.【小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以解得,()2,0f x x a a a =-->()f x x <()y f x =a ,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭x a ≤x a >x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3ax a <≤x a >()22f x x a a x =--<3x a <3a x a <<,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩()f x ()f x ADO △ABCABC 3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||=AB a21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== a =三人行教育资源。

2020年(文科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则(A B = )A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．（5分）若312z i i =++，则||(z = ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为() A ．15B ．25C ．12D ．455．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）设3log 42a =，则4(a -= ) A ．116B ．19C ．18D ．169．（5分）执行如图的程序框图，则输出的(n = )A ．17B ．19C ．21D ．2310．（5分）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678(a a a ++= ) A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为( ) A ．72B ．3C ．52D ．212．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考文科数学复数 (答案详解)

1.（2012浙江卷）已知i 是虚数单位，则31i i+-= A ．1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i2.（2012湖北）若3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，为虚数单位），则a b +=. 3.（2012山东）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为（）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i4.（2012江苏）设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________5.（2012福建）复数2)2(i +等于（）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+6.（2012安徽）复数z 满足：()2z i i i -=+；则z =（）A.1i --B.1i -C.i -1+3D.i 1-27.（2012北京）在复平面内，复数103i i +对应的点坐标为（） A ．（1,3）B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）8.（2012广东）设i 为虚数单位，则复数34i i+=( ) A.43i -- B.43i -+ C.i 4+3 D.i 4-3 9.（2012湖南）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +10.（2012江西）若复数z=1+i (i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为A.0B.-1C.1D.-211.（2012辽宁）复数11i =+ A.1122i - B.1122i + C.1i - D.1i + 12.（2012陕西）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（2012上海）计算：ii +-13=（i 为虚数单位）. 14.（2012天津）i 是虚数单位，复数534ii +-=A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i15.（2012新课标）复数z ＝32i i-++的共轭复数是 A.2i + B.2i - C.1i -+ D.1i --答案1.【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。

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复数高考考点解析（文科）
目录
题型1：复数的乘法 (1)
题型2：复数的除法 (1)
题型3：复数的概念 (1)
题型4：复数的几何意义 (1)
题型5：复数的模 (2)
题型1：复数的乘法
【例1】【2013年高考浙江卷（文）】已知i 是虚数单位，则()()23i i ++=（）
A ．5-5i
B ．7-5i
C ．5+5i
D ．7+5i 【答案】C
【解析】()()2236555i i i i i ++=++=+。

【练习1】【2013年高考天津卷（文）】i 是虚数单位，复数()()312i i +-=______.
【答案】55i -
题型2：复数的除法
【例2】【2013年高考课标Ⅰ卷（文）】
212(1)i i +=-（） A ．112i --
B ．112i -+
C ．112i +
D ．112i - 【答案】B 【解析】
212121111(1)222
i i i i i i ++==-=-+---。

题型3：复数的概念
【例3】【2013年高考安徽（文）】设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i -
∈-是纯虚数，则a 的值为（） A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3 【答案】D 【解析】1010(3)3(3)(3)
i a a i i i +-=---+(3)a i =-+3a i =--。

因为复数10()3a a R i
-∈-是纯虚数，所以3a =。

【练习2】【2013年上海高考数学试题（文科）】设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数
单位，则m =________.
【答案】2m =-
题型4：复数的几何意义
【例4】【2013年高考湖南（文）】复数()·1z i i =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】因为()·11z i i i +=-=+，所以复数z 在复平面上对应的点位于第二象限。

【练习3】【2013年高考四川卷（文）】如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则
图中表示z 的共轭复数的点是（）
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
【答案】B
【练习4】【2013年高考北京卷（文）】在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【练习5】【2013年高考江西卷（文）】复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【练习6】【2013年高考福建卷（文）】复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【练习7】【2013年高考湖北卷（文）】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若
123i z =-，则2z =__________.
【答案】23i -+
题型5：复数的模
【例5】【2013年高考辽宁卷（文）】复数的11z i =
-模为（）
A ．12
B
C
D ．2 【答案】B
【解析】11z i =-1(1)(1)i i i +=-+12i +=-1(1)2i =-+，||2
z =。

【练习8】【2013年高考课标Ⅱ卷（文）】2||1i
=+（）
A ．
B ．2
C
D ．1 【答案】C
【练习9】【2013年高考山东卷（文）】复数，则（）
A ．25
B ．
C ．5
D ．
【答案】C
【练习10】【2013年高考广东卷（文）】若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【练习11】【2013年高考重庆卷（文）】已知复数12z i =+(i 是虚数单位)，则z =____________.。