回归分析
回归分析及其应用
回归分析及其应用数据分析是现代社会的重要组成部分，它可以帮助我们更好地理解问题，并提出更有针对性的解决方案。
回归分析是数据分析中最常用的一种方法之一，本文将介绍回归分析以及其在实际应用中的具体操作。
一、回归分析的概念回归分析是指利用统计方法来描述两个或多个变量之间相互关系的一种方法。
在回归分析中，通常将一个变量称为自变量，另一个变量称为因变量。
回归分析的目的是通过对自变量和因变量之间关系的研究来对未来的变量值进行预测。
二、回归分析的原理回归分析的基本原理是确定两个或多个变量之间的函数关系。
这个关系可以用一种数学函数形式来表示，如线性模型: y = a + bx （其中a和b是常数，y是因变量，x是自变量）。
通过拟合这一函数，我们可以得到自变量和因变量之间的关系，并预测未来的变量值。
三、回归分析的应用在实际应用中，回归分析具有广泛的应用领域。
以下是回归分析的几个经典案例：1.金融预测：利用回归分析，通过研究过去的数据来预测未来的股票价格波动。
2.销售预测：通过回归分析确定销售量与价格、市场份额、广告支出等自变量之间的关系，根据这个模型来预测未来的销售量。
3.人力资源管理：回归分析可以用于确定员工绩效与工资、教育水平、经验等自变量之间的关系，这有助于优化人力资源管理。
4.医疗研究：在医药领域，回归分析可以用于确定疾病与基因、年龄、性别等自变量之间的关系，从而为疾病的预防和治疗提供依据。
四、回归分析的步骤回归分析的具体步骤可以分为以下几个：1.确定研究问题在进行回归分析之前，需要明确研究问题，了解自变量与因变量之间的关系。
2.收集数据收集有关自变量和因变量之间关系的数据。
3.数据预处理对数据进行清洗、缺失值处理、异常值检测等预处理操作。
4.模型选择根据数据的特点，选择适合的回归模型。
5.模型拟合对收集到的数据进行回归分析，得到模型的系数以及相关的统计指标。
6.模型诊断对回归分析结果进行研究并进行模型诊断，确定模型是否合理。
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
数据分析中的回归分析方法
数据分析中的回归分析方法数据分析是当今社会中非常热门的研究领域之一，而回归分析是数据分析中最为常见的方法，是分析变量之间关系的一种模型。
本文将介绍回归分析的定义、类型、作用以及具体实现流程。
一、回归分析的定义回归分析是一个广泛使用的方法，它用于检测两个或多个变量之间的关系。
回归分析的一般形式为y = f(x) + ε，其中 y 是因变量，x 是自变量，f(x) 是函数关系，ε 是误差。
回归分析可以帮助人们了解和预测这些变量之间的关系。
二、回归分析的类型回归分析通常分为线性回归和非线性回归。
线性回归是一种简单的方法，它假设自变量和因变量之间具有线性关系。
非线性回归则包括各种模型，它们假设自变量和因变量之间具有不同的关系。
1. 线性回归线性回归是一种最常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间有一个线性关系。
这种关系可以用一个数学方程来表示，即 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距。
m 和 b 可以通过最小二乘法来估计，最小二乘法是一种优化方法，它寻找最小化残差平方和的参数估计值。
残差是观察值和估计值之间的差异。
2. 非线性回归非线性回归是一种更复杂的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间具有非线性关系。
非线性回归包括各种模型，例如指数模型、对数模型和多项式模型等。
这些模型通常需要通过试验和逼近来获得参数估计值。
三、回归分析的作用回归分析可以用于很多领域，例如经济学、医学、物理学和社会科学等，它可以帮助人们了解和预测变量之间的关系。
回归分析也可以用于探索变量之间的因果关系，即自变量是否会导致因变量的变化。
此外，回归分析还可以用于建立预测模型，以便预测未来数据的变化趋势。
四、回归分析的实现流程回归分析的实现流程通常包括以下步骤：1. 收集数据首先，需要收集自变量和因变量的数据。
数据可以从各种来源获得，如实验、调查和观察等。
2. 确定回归模型接下来，需要选择合适的回归模型。
如果自变量和因变量之间具有线性关系，则可以使用线性回归模型；如果具有非线性关系，则需要选择适当的非线性回归模型。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种常用的统计分析方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型，并进行预测和解释。
在许多研究领域和实际应用中，回归分析被广泛使用。
下面是对回归分析方法的全面总结。
1.简单线性回归分析：简单线性回归分析是最基本的回归分析方法之一，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
它的方程为Y=a+bX，其中Y是因变量，X是自变量，a是截距，b是斜率。
通过最小二乘法估计参数a和b，可以用于预测因变量的值。
2. 多元线性回归分析：多元线性回归分析是在简单线性回归的基础上扩展的方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
它的方程为Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中n是自变量的个数。
通过最小二乘法估计参数a和bi，可以用于预测因变量的值。
3.对数线性回归分析：对数线性回归分析是在简单线性回归或多元线性回归的基础上，将自变量或因变量取对数后建立的模型。
这种方法适用于因变量和自变量之间呈现指数关系的情况。
对数线性回归分析可以通过最小二乘法进行参数估计，并用于预测因变量的对数。
4.多项式回归分析：多项式回归分析是在多元线性回归的基础上，将自变量进行多项式变换后建立的模型。
它可以用于捕捉自变量和因变量之间的非线性关系。
多项式回归分析可以通过最小二乘法估计参数，并进行预测。
5.非线性回归分析：非线性回归分析是一种更一般的回归分析方法，用于建立自变量和因变量之间的非线性关系模型。
这种方法可以适用于任意形式的非线性关系。
非线性回归分析可以通过最小二乘法或其他拟合方法进行参数估计，用于预测因变量的值。
6.逐步回归分析：逐步回归分析是一种变量选择方法，用于确定最重要的自变量对因变量的解释程度。
它可以帮助选择最佳的自变量组合，建立最合适的回归模型。
逐步回归分析可以根据其中一种准则（如逐步回归F检验、最大似然比等）逐步添加或删除自变量，直到最佳模型被找到为止。
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
统计学中的回归分析方法解析
统计学中的回归分析方法解析统计学中的回归分析是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将对回归分析的基本概念、回归模型、模型评估以及一些常用的扩展方法进行解析。
通过深入探讨回归分析的应用方式和原理，希望读者能够更好地理解和运用这一方法。
一、回归分析概述回归分析是一种基于样本数据分析方法，用于研究因变量与自变量之间的关系。
在回归分析中，我们将自变量的取值代入回归方程中，以得出因变量的预测值。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基础的一种情形。
它假设因变量与自变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来解释数据的变化趋势。
简单线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元线性回归当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，就需要使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
二、回归模型的建立与评估在回归分析中，我们需要建立合适的回归模型，并评估模型的拟合优度和统计显著性。
2.1 模型建立模型建立是回归分析的核心部分。
在建立模型时，我们需要选择合适的自变量，并进行模型的参数估计。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计等。
2.2 模型评估为了评估回归模型的拟合优度，我们可以使用各种统计指标，如决定系数R²、调整决定系数adj R²、F统计量等。
同时，我们还需要检验模型的显著性，即回归系数是否显著不为零。
三、回归分析的扩展方法除了简单线性回归和多元线性回归之外，回归分析还有许多扩展方法，包括非线性回归、逐步回归、岭回归等。
回归分析的优缺点等
回归分析的优缺点等回归分析是一种用于探究变量之间关系的统计方法。
它在社会科学、经济学、金融学和其他领域中被广泛应用。
本文将讨论回归分析的优点和缺点。
一、回归分析的优点：1.易于理解和解释：回归分析通过建立模型和计算回归系数来分析自变量与因变量之间的关系。
这使得分析结果易于解释和理解，使得研究者能够对变量之间的关系有更深入的了解。
2.可以分析多个变量：回归分析可以同时分析多个自变量对因变量的影响，从而揭示出复杂变量之间的关系。
这对于解决多因素问题和建立实际模型非常有用。
3.可以预测结果：回归分析可以使用已知的变量值来预测未知的因变量值。
这种能力使得回归分析在市场预测、销售预测和经济预测等领域得到广泛应用。
4.可以揭示变量之间的因果关系：回归分析可以揭示变量之间的因果关系。
通过确定自变量对因变量造成的影响大小，可以帮助研究者了解变量之间的因果关系。
5.可以处理连续变量和分类变量：回归分析可以处理连续变量和分类变量。
如果自变量是分类变量，则可以使用虚拟变量将其转化为二进制变量进行回归分析。
6.可以评估变量的重要性：回归分析可以通过计算各个变量的回归系数来评估自变量对因变量的重要性。
这对于确定决策变量和筛选特征变量是非常有益的。
7.可以识别异常值和离群点：回归分析可以通过分析回归残差来识别异常值和离群点。
这对于发现数据中的异常值和异常情况有很大的实际意义。
二、回归分析的缺点：1.假设前提：回归分析基于一些假设前提，如线性关系、独立性、同方差性和正态分布等。
如果这些假设被违背，回归分析的结果可能失真。
2.可能存在共线性：当自变量之间存在高度相关性时，回归分析的结果可以变得不稳定。
这种情况称为共线性，它会影响回归系数的精确性和可信度。
3.可能存在异方差性：当因变量的方差与自变量的水平变化呈现明显变化时，回归方程的标准误差和显著性检验的结果都可能受到影响。
4.数据限制：回归分析对于数据的准确性和完整性要求较高。
什么是回归分析？
什么是回归分析？
回归分析是一种统计学方法，用于探索和建立变量之间的关系。
它主要用于预测一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以
确定这些变量之间的线性关系，并利用这些关系进行预测和解释。
在回归分析中，自变量是独立变量，可以通过实验或观察进行
测量。
因变量则是依赖于自变量的变量。
回归分析的目标是通过对
自变量和因变量之间的关系进行建模，来预测和解释因变量的变化。
回归分析可以应用于各种领域和问题，例如经济学、金融学、
社会科学等。
它可以帮助研究人员了解不同变量之间的关系，并使
用这些关系进行预测和决策。
回归分析有多种方法，如简单线性回归、多元线性回归、逻辑
回归等。
每种方法都有自己的假设和计算方法。
研究人员需要根据
具体的问题和数据选择适当的方法进行分析。
总而言之，回归分析是一种重要的统计学工具，可以探索和建
立变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和解释。
它在许多领
域中都有广泛的应用，可以帮助研究人员进行深入的数据分析和决策支持。
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，以及预测因变量的值。
回归分析有多种方法和技术，本文将对几种常用的回归分析方法进行总结和介绍。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究单个自变量与因变量之间的关系。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且通过拟合一条直线来描述这种关系。
简单线性回归分析使用最小二乘法来估计直线的参数，最小化观测值与模型预测值之间的差异。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是回归分析的一种拓展形式，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它假设各个自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来描述这种关系。
多元线性回归分析使用最小二乘法来估计模型的参数。
3. 逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于研究二分类变量与一系列自变量之间的关系。
它通过拟合一个Logistic函数来描述二分类变量与自变量之间的概率关系。
逻辑回归分析可以用于预测二分类变量的概率或进行分类。
4. 多项式回归分析多项式回归分析是回归分析的一种变体，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过引入自变量的高次项来拟合一个多项式模型，以描述非线性关系。
多项式回归分析可以帮助我们探索自变量与因变量之间的复杂关系。
5. 非线性回归分析非线性回归分析是回归分析的一种广义形式，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过拟合一个非线性模型来描述这种关系。
非线性回归分析可以用于分析复杂的现象或数据，但需要更复杂的参数估计方法。
6. 岭回归分析岭回归分析是回归分析的一种正则化方法，用于处理自变量之间存在共线性的情况。
共线性会导致参数估计不稳定或不准确，岭回归通过加入一个正则化项来缩小参数估计的方差。
岭回归分析可以帮助我们在共线性存在的情况下得到更可靠的结果。
7. 主成分回归分析主成分回归分析是回归分析的一种降维方法，用于处理高维数据或自变量之间存在相关性的情况。
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• 控制结果显示 • 无显示：选择此项将不显示任何内容。选 中的存储选项仍然适用。 • 回归方程、系数表、s、R 平方和基本的方 差分析：选中此项将显示一些基本回归输 出。
Minitab
• 此外，拟合值与残差表中的序贯平方和及 异常观测值：选择此项，除了显示上述输 出外，还将显示序贯平方和（由每个增加 的预测变量解释的增加平方和）和异常值 表。 • 此外，整个拟合值与残差表：选择此项， 除了显示上述输出外，还将显示所有观测 值的拟合值与残差表。
Minitab
• 数据子集失拟检验：如果数据不包含仿行， 而且要确定是否准确地为曲率建立了模型， 请使用此检验。 • 此方法将识别数据中的曲率以及可能影响 模型拟合度的自变量之间的交互作用。只 要数据子集的 p 值小于 a 水平，Minitab 就 会显示消息“变量 %1 中的可能曲率”。 这证明该曲率(非线性关系)没有被正确建模。
Minitab
标准化残差
• 标准化残差等于残差值 ei 除以其标准差的 估计值。通常将大于 2 和小于 -2 的标准化 残差视为较大，Minitab 在异常观测值表以 及拟合值与残差表中以 "R" 标记这些观测 值。 • 标准化残差很好地指示异常值。
• 标准化残差也称为内部 t 化残差。
Minitab
Minitab
拟合值的标准误 (SE Fit)
• 用于生成预测的置信区间（总体条件均值 的置信区间）。标准误越小，估计的平均 响应越精确。 • SE 拟合值可以与拟合值一起，用于创建此 预测变量设置组合的预测平均响应的置信 区间。例如，根据样本大小，95% 的预测 置信区间将从预测平均值向外展开大约 +/两个 SE 拟合值。总体平均值落于此范围内 的置信度为 95%。
Minitab
• • • •
3) 所有预测变量都与残差不相关。 4) 残差与残差之间不相关（序列相关）。 5) 残差具有恒定方差。 6) 任何预测变量都不与其他预测变量完全 相关 (r=1)。最好也避免不完全的高度相关 （多重共线性）。 • 7) 残差呈正态分布。
Minitab
• 由于仅当所有这些假定都满足时，OLS 回 归才会提供最佳估计值，因此检验这些假 定极为重要。 • 检查残差图是其中的一部分 • 检验假设还包括失拟检验以及使用方差膨 胀因子 (VIF) 检查预测变量之间的相关性。
Minitab
• 预测的 R2 的计算过程是从数据集中系统地 删除每个观测值，估计回归方程，然后确 定模型对已删除观测值的预测优度。 • 预测的 R2 在 0 到 100% 之间，且根据 PRESS 统计量计算得出。预测的 R2 值越 大，说明模型的预测能力越强。
Minitab
• R2（预测的）表示模型对新观测值预测响 应的好坏程度。预测的 R2 可以防止过度拟 合模型。在比较模型方面，这个统计值比 调整的 R2 更有用，因为它是用模型计算中 未包括的观测值计算得出的。较大的预测 的 R2 值说明模型的预测能力较强。
t 化删后残差 • 计算观测值的 t 化删后残差的方法是将观测 值的删后残差除以其标准差的估计值。 删后残差 di 是 yi 与其在模型中的拟合值之 差，该拟合值在计算中忽略了第 i 个观测值。 •忽略观测值是为了确定没有此潜在异常值时 模型的行为。如果观测值的 t 化删后残差较大 （如果其绝对值大于 2），则它可能是数据中 的异常值。
Minitab
预测区间和预测的置信区间
• 用于回归和其他线性模型中的预测的置信 区间类型。 • 预测区间：表示在给定预测变量的指定设 置时，单个新观测值可能落入的范围。 • 预测的置信区间：表示在给定预测变量的 指定设置时，平均响应可能落入的范围。
Minitab
(6)回归—结果对话框
Minitab
残差类型 在下列情况下选择 • 常规 使用数据的原始尺度检查残差 • 标准化 如果标准化 残差的绝对值大于 2 就将算作 大残差。Minitab 会在一个异常 观测值表（标记为 R）中显示 这些观测值。
Minitab
计算方法 响应 - 拟合值 （残差）/（残差的标准差）
残差类型
在下列情况下选择
计算方法
Minitab
• 残差与预测变量。这是残差与预测变量的图。此 图应显示残差在 0 两侧的随机模式。非随机模式 可能违反预测变量与残差无关这一假设。
Minitab
热通量 残差图
正态概率图
99 90 20 10 50 10 1 -20 -10 0 残差 10 20 200 220 240 拟 合值 260 280
Minitab
（残差）/（残差的标 准差）。在删除第 i 个观测值的情况下计 算第 i 个 t 化 残差。 标识与模型拟合不佳的 观测值。删除观测值会 响参数估计。绝对值很 大的 t 化残差表明，模 型中包括该观测值可能 会增大误差方差，或者 它对参数估计会产生很 大影响，或者两种情况 都存在。
删后 t 化
Minitab
• Minitab 提供以下残差图： • 残差的直方图。一种显示残差的一般特征（包括 典型值、展开和形状）的研究性工具。一侧的长 尾可能表示偏斜分布。如果有一个或两个条形与 其他条形距离较远，则这些点可能是异常值。 • 残差的正态概率图。如果残差呈正态分布，则此 图中的点一般应该形成一条直线。如果图中的点 不能形成一条直线，则正态性假设可能不成立。
Minitab
Durbin-Watson 统计量
• 检验残差中是否存在自相关。自相关表示 相邻观测值是相关的。 如果它们是相关的， 那么最小二乘回归低估了系数的标准误； 此时，预测变量似乎非常显著，其实可能 是不显著的。
Minitab
• Durbin-Watson 统计量以观测值的顺序（行）为 条件。Minitab 假设观测值遵循有意义的顺序（如 时间顺序）。Durbin-Watson 统计量确定相邻误 差项之间的相关性是否为零。 • 要从检验中得出结论，需要将显示的统计量与表 中的上下限进行比较。如果 D > 上限，表示不存 在相关性；如果 D < 下限，表示存在正相关性； 如果 D 在上下限之间，则无法从检验中得出结论
Minitab
• Minitab 计算两种类型的失拟检验：
• 纯误差失拟检验：如果您的数据包含仿行 （多个观测值具有相同的 x 值）而且您要 简化模型，请使用此检验。 • 仿行表示“纯误差”，因为只有随机变异 才能导致观测响应值之间出现差异。 • 如果要简化模型，而且生成的失拟 p 值小 于您选择的 a 水平，则应保留已从模型中 删除的项。
Minitab
方差膨胀因子 (VIF)
• 表示回归分析中存在多重共线性（预测变量之间 的相关）的程度。 • 方差膨胀因子 (VIF) 度量相对于预测变量不线性 相关时，估计回归系数的方差膨胀多大。使用以 下准则解释 VIF： • 方差膨胀因子预测变量为：VIF = 1不相关1< VIF < 5中等相关VIF > 5 至 10高度相关VIF 值大于 10 可能表明多重共线性过度影响了回归结果。在此 情况下，可能要通过从模型中去除不重要的预测 变量来减小多重共线性。
Minitab
• 残差与拟合值。此图应显示残差在 0 两侧 的随机模式。如果某个点远离大多数点， 则该点可能是异常值。残差图中也不应该 有任何可识别的模式。例如，如果残差值 的展开倾向于随拟合值增大，则可能违反 方差恒定这一假设。 • 残差与数据顺序。这是一个所有残差以收 集数据的顺序排列的图，有助于检查残差 序列不相关这一假设。
（5）、新观测值的预测区间
Minitab
• 在新观测值的预测区间中，执行以下几项 操作： • 输入数字预测变量值。 • 输入包含数字预测变量值的存储常量。 • 输入包含数字预测变量值的等长列。 • 在置信水平中，键入值或使用默认值，即 95%。 • 在存储项下，选中任意预测结果，以将它 们存储在工作表中。
Minitab
（3）回归—选项对话框 （i）、加权回归
Minitab
• 违反残差中恒定方差的最小二乘假设（异方差性） 时可以使用的方法
ˆ
Minitab
（ii）、拟合截距
（iii）、显示： 方差膨胀因子 Durbin—Watson统计量 PRE2 • 用于回归分析中，以表示模型对新观测值响应的 预测优度，而 R2 表示模型对数据的拟合优度。 • 预测的 R2 可以阻止过度拟合模型，并且对于比较 模型比调整的 R 2 更有用，因为计算它时使用的 是不包括在模型估计中的观测值。 • 过度拟合是指看似可以对用于模型计算的数据集 解释预测变量与响应变量之间的关系，但无法为 新观测值提供有效预测的模型。
PRESS 预测误差的平方和及预测的R2
Minitab
其中，hi是矩阵
的第i个对角线元素。
Minitab
• 例如，一家财务咨询公司在开发预测未来 市场情况的模型。确定的模型看起来很有 希望，因为其 R2 为 87%。但是，在计算预 测的 R2 时，发现它下降到 52%。 • 这可能表明模型过度拟合，且表明模型预 测新观测值将不会像拟合现有数据那么好。
与拟合值
百分比
残差
0 -10
直方图
10.0 7.5 20 10
与顺序
频率
5.0 2.5 0.0
残差
-15 -10 -5 0 5 残差 10 15 20
0 -10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 观 测 值顺 序
（2）、Minitab提供的几种残差类型： 选择残差类型
Minitab
• 失拟检验是对方程在研究区域内部拟合情况进行 分析。即使求得的回归方程高度显著，也还不能 保证方程不失拟，也不能保证是最优回归方程。 • 如果检验结果显著（p<0.05或0.01），表明求得 的回归方程是失拟的，即拟合得不好。 • 表明失拟平方和中除还有试验误差外，还含有其 他条件因素及其交互作用的影响。或者还含有x 的非线性影响，即y与x不仅存在一次或者二次关 系，可能还存在高层次的关系。