现代控制理论第5章(续)(精)
现代控制理论（浓缩版）
现代控制理论（浓缩版）绪论1．经典控制理论与现代控制理论的比较。
经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。
经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。
它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。
在对精度要求不高的场合是完全可用的。
最大成果之一就是PID 控制规律的产生，PID 控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。
现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。
确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。
现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。
从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。
而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。
面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。
但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。
所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。
如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。
2．控制一个动态系统的几个基本步骤有四个基本步骤：建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。
现代控制理论
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
现代控制理论第5章
第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1 概述本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。
我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章5.1节为概述。
5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。
5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。
5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。
5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。
5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。
5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。
5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。
如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。
然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。
本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。
当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。
此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。
5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (5.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量x 1,x 2,…,x n 和t 的n 维向量函数。
现代控制理论第五章-01
（Book 214 )
0
X AX Bu : Y CX
R
0
x
y
F
x
仅讨论标量系统∑0 ,它的经典频域描述是：
G0 s G s y( s) M 0 (s) i.e. m n u ( s ) D0 ( s)
k 0
假定原系统是状态完全能控的，即 X
u
R
框图结
构如右：
考虑实际 D=0
uf
B
x
x
C
y
A
F
or
x
R
uf
u
0
x
y
F
x
10
Thursday, August 17, 2017
Modern Control Theory
于是，可利用框图代数推出状态反馈系统的状态空 间模型：
有, X AX BR BFX Y CX
G F s C SI A BF B
1
2
当然，也可以求得 GF s 和 G0 s 的关系：
G F s G 0 s [I F SI A B] 即：
1 1
(3)
显然，这个关系同经典理论中的结果相类似。
Thursday, August 17, 2017 Modern Control Theory 12
我们可以推导出如下状态空间模型：
H
X A BHC X BR Y CX
(1)
和传递函数矩阵：
GH s
y ( s )R ( s ) C SI A BHC B
《现代控制理论》第三版 第五章.习题答案
由于状态分量 x3 可由 y 直接提供,故只需 设计二维状态观测器。 g1 (3) 引入 G 得观测器特征多项式: g2
f ( ) det I ( A11 GA21 ) = 0 0 0 g1 0 1 det 0 1 0 g 2 g1 2 det g 2 g1 = 1 g 2
f * ( ) ( 10)( 1 j 3)( 1 j 3)
3 12 2 24 40 解之： K 4 1.2 0.1 解法 2：（1）
0 10 0 2 0 ， M b , Ab , A b 10 110 10 100 990 rankM 3满秩 可以任意极点配置
1
（2）化为能控标准 I 型
I A 3 11 2 11
0 0
2 TcI A b
1 11
1 0 Ab b 2 1 1 2
2 11
0 10 0 0 1 0 0 0 110 10 0 11 1 0 1 990 100 10 11 11 1
第五章 作业
参考答案
5-2．解法 1： （1） 0 10 0 2 0 ， M b , Ab , A b 10 110 10 100 990
rankM 3满秩 可以任意极点配置
（2）设 K k0
k1
k2
f ( ) det I ( A bk ) 3 (11 10k2 ) 2 (11 10k1 10k 2 ) 10k0
法二： (1) 检验能观性 由于系统属于能观I型， 显然能观，
现代控制理论(修改最终版)
《现代控制理论基础》课程教学大纲课程编号：课程名称：现代控制理论英文名称： Modern Control Theory课程性质: 考试学时： 42学时（讲授36学时+6学时实验）适用对象: 工业自动化先修课程：自动控制理论，线性代数，工程数学一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用现代控制理论是自动化专业的主干技术基础课，它是在经典控制理论的基础上建立和发展起来的。
本课程是以状态空间理论为核心，对动态系统进行分析和研究。
它不但可以解决单变量线性定常系统，还可以解决多变量、时变、非线性系统的问题。
通过本门课程的学习，使学生掌握线性控制系统的状态空间描述,能够对线性系统的几种模型进行互相转化; 掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化;熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则;了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论; 掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。
通过对本课程的学习，要求学生系统地获得现代控制理论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，为后继课程的学习奠定良好的理论基础.（二）教学基本要求1. 掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。
2. 掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。
3. 掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。
4.掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。
5. 对线性系统理论的新发展有所了解。
6. 为学生进一步的学习打下必要的基础。
（三）课程教学方法与手段以课堂讲授为主，辅以习题、实验等环节。
（四）实践环节通过计算机仿真，主要运用Matlab软件使学生能初步掌握MATLAB工具包，并用它在计算机环境中进行控制‘实验’，对控制系统进行分析与综合，以提高学生的系统分析和综合能力。
现代控制理论第五章2012_3
I y C 0 I
0 x ~ I x
~ K
闭环特征值
引入状态反馈
~ ~~ ~ ~~ ~ det(sI A BK ) det(sI1 ( Ac B1Kl ) det(sI 2 Ac )
5.5 状态观测器(1)
本节主要解决的问题 • 什么是状态观测器?它的作用是什么?
• 状态观测器在什么条件下是存在的?
• 如何构造状态观测器?
0 xo Bo u Ao xo Bo
xo 0 x o
G [G1
G2 ]
5.5 状态观测器（6）
A11 0 G1 A GC C1 0 A21 A22 G2 A11 0 G1C1 0 A11 G1C1 A21 A22 G2C1 0 A21 G2C1
5.5 状态观测器(13)
例题：设计全维观测器，将极点配 置在-10，-10。 0 2 2 x x u 解 步骤 1 3 0 （1）状态空间表达式 y 0 1x （2）能观性判别
（3）计算反馈阵 G
2 w( s) ( s 1)(s 2)
BK
x 0 ˆ x
A2
闭环系统的基本特性
1 闭环极点的分离性: •闭环系统的极点由直接状态反馈系统(A-BK,B,C)的极点和观测 器系统(A-GC,B,C)的极点组成,两者独立,相互分离.
det(sI A2) det[sI ( A BK )]det[sI ( A GC)]
现代控制理论完整版
现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)5.6.3 二次型最优控制问题现在我们来研究最优控制问题。
已知系统方程为(5.21)(5.22) 确定最优控制向量的矩阵K，使得性能指标达到极小。
式中Q是正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R是正定Hermite 或实或实对称矩阵。
注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。
矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。
在此，假设控制向量u(t)是不受约束的。
正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。
所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则对任意初始状态x(0)而言均是最优的。
图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。
图5.6 最优控制系统现求解最优控制问题。
将式(5.21）代入式(5.20），可得在以下推导过程中，假设是稳定矩阵，的所有特征值均具有负实部。
将式(5.21）代入（5.22），可得依照解参数最优化问题时的讨论，取《现代控制理论基础》第五章(讲义)式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。
于是比较上式两端，并注意到方程对任意x均应成立，这就要求(5.23）的正定矩阵P。
(5.23) 根据Lyapunov第二法可知，如果是稳定矩阵，则必存在一个满足式因此，该方法由式(5.23）确定P的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。
如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。
这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。
满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃）。
性能指标可计算为由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以。
因此于是，性能指标J可根据初始条件x(0)和P求得。
(5.24)为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的A是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为式中T是非奇异矩阵。
于是，式(5.23）可写为上式也可写为求J 对K的极小值，即求下式对K的极小值(见例5.21)。
由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当时，才存在极小值。
因此定义时，其最优控制律是线性的，并由 (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K。
所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22）《现代控制理论基础》第五章(讲义)给出。
式(5.25）中的矩阵P必须满足式(5.23），即满足下列退化方程式(5.26）称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下： (5.26)1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26），以求出矩阵P。
如果存在正定矩阵P（某些系统可能没有正定矩阵P），那么系统是稳定的，即矩阵是稳定矩阵。
2、将矩阵P代入式(5.25），求得的矩阵K就是最优矩阵。
例5.9 是建立在这种方法基础上的设计例子。
注意。
如果矩阵是稳定的，则此方法总能给出正确的结果。
确定最优反馈增益矩阵K还有另一种方法，其设计步骤如下：1、由作为K的函数的式(5.23）中确定矩阵P。
2、将矩阵P代入式(5.24）,于是性能指标成为K的一个函数。
3、确定K的各元素，使得性能指标为极小。
这可通过令等于零，并解出kij的最优值来实现J对K各元素kij为极小。
这种设计方法的详细说明见例5.11和5.12。
当元素kij的数目较多时，该方法很不便。
如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即则可用输出方程来修正性能指标，使得J为且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵K。
------------------------------------------------------------------[例5.9] 研究如图5.7所示的系统。
假设控制信号为试确定最优反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小式中由图5.7可看出，被控对象的状态方程为《现代控制理论基础》第五章(讲义)式中图5.7 控制系统以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。
求解(5.26），将其重写为注意到A为实矩阵，Q为实对称矩阵，P为实对称矩阵。
因此，上式可写为该方程可简化为由上式可得到下面3个方程将这3个方程联立，解出p11、p12、p22，且要求P为正定的，可得参照式(5.25）,最优反馈增益矩阵K为《现代控制理论基础》第五章(讲义)因此，最优控制信号为得出最优结果。
图5.8是该系统的方块图。
注意，由式(5.28）给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能图5.8 图5.7所示对象的最优控制------------------------------------------------------------------5.7 二次型最优控制问题的MATLAB解法在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。
该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。
在约束方程条件下达到极小的反馈控制律另一个命令也可计算相关的矩阵黎卡提方程《现代控制理论基础》第五章(讲义)的唯一正定解P。
如果为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。
利用这个命令能求闭环极点或的特征值。
对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使为稳定矩阵。
在此情况下。
这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。
对此情况，命令,B,Q,R)不能求解，详见MATLAB Prgram 5.1。
《现代控制理论基础》第五章(讲义)------------------------------------------------------------------[例5.10] 考虑由下式确定的系统证明：无论选择什么样矩阵K，该系统都不可能通过状态反馈控制来稳定（注意，该系统是状态不可控的）。
定义则因此特征方程为《现代控制理论基础》第五章(讲义)闭环极点为由于极点在s的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵K，该系统都是不稳定的。
因此，二次型最优控制方法不能用于该系统。
假设在二次型性能指标中的Q和R为并且写出MATLAB Progam 5.1。
所得的MATLAB解为其中NaN表示“不是一个数”。
每当二次型最优控制问题问题的解不存在时，MATLAB将显示矩阵K由NaN组成。
------------------------------------------------------------------[例5.11] 考虑下式定义的系统式中性能指标J为这里假设采用下列控制确定最优反馈增益矩阵K。
最优反馈增益矩阵K可通过求解下列关于正定矩阵P的黎卡提方程得到其结果为将该矩阵P代人下列方程，即可求得最可求得最优矩阵K为《现代控制理论基础》第五章(讲义)因此，最优控制信号为利用MATLAB Program 5.2也能求解该问题。
------------------------------------------------------------------ [例5.12] 考虑下列系统式中《现代控制理论基础》第五章(讲义)性能指标J为式中（）求黎卡提方程的正定矩阵R、最优反馈增益矩阵K和矩阵A-BK的特征值。
利用MATLAB Program 5.3，可求解该问题。
------------------------------------------------------------------[例5.13] 考虑与例12.7中讨论的相同的系统。
该系统的状态空间表达式为式中《现代控制理论基础》第五章(讲义)假设控制信号u为如图3.9所示。
在确定最优控制律时，假设输入为零，即r =0。
确定状态反馈增益矩阵K（），使得性能指标达到极小。
这里为了得到快速响应，q11与q22、q33和R相比必须充分大。
在该例中，选取为了利用MATLAB求解，可使用命令由MATLAB Program 5.14，可得到该例题的解。
《现代控制理论基础》第五章(讲义)采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。
所设计的系统的状态方程为1r输出方程为为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令式中MATLAB Program 5.5可求出该系统对单位阶跃的响应。
图5.10画出了输出y对时间t的响应曲线，图5.11在同一张图上画出了x1,x2和x3对t的响应曲线。
12《现代控制理论基础》第五章(讲义)%*****Note that matrices A,B,and K are given as tollows*****A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];B=[0;0;1]K=[100.0000 53.1200 11.6711];K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);%*****The state equation for the designed system is%xdot=(A-BK)x+Bk1r and the output equation is%y=Cx+Du,where matrices C and D are given by******C=[1 0 0];D=[0];%*****Define the state matrix,control matrix, output matrix, %and direct transmission matrix of the designed systems as AA, %BB,CC,and DD *****AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;%*****To obtain the unit-step response curves for the first eight %seconds,enter the following command*****t=0:0.01:8;[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD,l,t);%*****Toplot the unit-step response curve y(=xl)versus t, %enter the following command*****plot(t,y)gridtitle(‘Unit-Step Response of Quadratic Optimal Control System’) ylabel(‘Output y=xl’)《现代控制理论基础》第五章(讲义)图5.10 二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线图5.11 x1,x2和x3对t的响应曲线------------------------------------------------------------------下面总结线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。
(1) 给定任意初始条件x(t0)，最优控制问题就是找到一个容许的控制向量u(t)，使状态转移到所期望的状态空间区域上，使性能指标达到极小。