数形结合思想在数学教学中的意义 文档
“数形结合”思想在小学数学教学中的实践研究
“数形结合”思想在小学数学教学中的实践研究摘要：数形结合思想是小学数学解题中常用的思想，本文现探讨数形结合思想在小学数学解题中的应用，希望能为进一步提升学生的数学解题能力提供帮助。
关键词：数形结合思想小学数学解题应用随着新课改的不断推进，数形结合思想在小学数学解题中的应用越来越广泛。
现阶段，进一步研究数形结合思想，发挥其在小学数学解题中的作用，是每位小学数学教师共同的议题。
一、数形结合思想在小学数学教学中应用的重要作用和意义1.培养学生的数学学习兴趣。
由于小学生刚刚接触数学，心中肯定有一些畏惧的心理。
因此，为了激发学生的学习兴趣，教师在教学过程中可以充分地运用数形结合的思想，把一些复杂的、晦涩难懂的数学知识转化为图形，帮助学生进行理解，进而改善学生对于数学的畏惧感，激发学生的学习兴趣。
2.培养学生的相关逻辑及其创新能力。
在进行数学知识的讲解过程中，如果单纯地进行灌输式的教学，不便于学生进行思维和想象，理解起来相对困难。
通过“以形助数”和“以数解形”，达到“数形互译”，这样就能够让学生更加直观地进行观察、分析和想象，从而化解学习中的难点，对学生的数学思维进行培养，能够有效提升其创新能力。
例如在对正反比进行教学时，若能够将数量关系与坐标图进行联系，那么就能很直观地指导正反比之间的不同点、规律以及形式等，进而充分掌握正反比之间的意义。
3.提高学生的数学成绩，提高教学水平和质量。
在数学学习的过程中，重在培养学生举一反三的能力。
如果采取题海战术，不能从根本上培养学生的数学思维；通过运用数形结合的思想，则能够让学生掌握数学学习的方法，而不是浮于表面。
通过掌握数学的内涵，运用图形辅助解决数学问题，让学生能够更加容易地提高数学成绩，进而提高小学数学的教学水平和质量。
二、小学数学教学中运用数形结合思想的途径1.在小学数学概念的讲解中运用数形结合的思想。
数学中的概念大多是规律的总结，学生突然接触到公式和概念会不容易接受。
数形结合思想在小学数学教学中的应用 (4)
数形结合思想在小学数学教学中的应用小学数学教学是一项重要的任务，也是一项具有挑战性的工作。
如何让孩子们在轻松愉悦的氛围下学习数学知识，提高数学学科素养和解决问题的能力，是将数学知识应用到现实中，培养未来创造力的一个关键方面。
本论文通过数形结合思想在小学数学教学中的应用，探讨如何将数学知识贯穿于现实生活的方方面面，鼓励学生发现数学的持续性与实用性。
一、数形结合思想的概述数形结合思想是一种将数学与几何图形相结合的学习方式，包括数学知识的量化和几何图像的可视化。
数形结合思想与传统的数字运算相比，更加直观、形象化，能够让学生更轻松地理解和运用数学公式和算法。
数形结合思想与现实生活相结合，可以使得学生凭借日常生活中的各种场景和图形，更加深入地理解数学知识。
二、数形结合思想在小学数学教学中的应用1. 直观理解分数教学中经常会涉及到分数。
在为小学生讲解分数概念时，可以通过直观的几何图形来进行帮助。
假设我们将一个正方形分成了四个相等的小正方形，则每个小正方形的面积都是总面积的四分之一。
这样的一个小正方形便是四分之一了。
通过这样的几何结合，使孩子们更好地理解分数的概念。
2. 应用比例问题比例在小学数学学习中扮演着重要角色。
在讲解到比例问题时，可以运用数形结合思想。
比如一个长方形平面图，长和宽的比例是5:3，那么我们就可以画出一个较小的长方形来表示它的比例关系，这样学生就可以更加容易地理解比例的概念，通过比例的练习来提高自己的计算技能。
3. 讲解面积、体积概念在小学数学教学中，面积和体积是非常重要的概念。
通过数形结合思想，可以让学生更加直观地理解面积和体积的概念。
例如，在讲解到面积概念时，引入根据三角形面积公式S=1/2ah来进行直观理解，将三角形存在于矩形中，剩余面积就是矩形面积减去三角形面积所得到的部分。
在讲解到体积概念时，可以使用小立方体、长方体、正方体等几何图形，将它们拼接成大正方体的样子，直观地感受体积的大小。
《数形结合思想在小学数学教学中的应用研究—以高年级为例开题报告文献综述含提纲3300字》
开题报告文献综述题目：数形结合思想在小学数学教学中的应用研究—以高年级为例一、研究背景及意义数形结合思想与数学教学、数学学习都密不可分，它是学生把一些较为抽象的数学知识内化为数学思维并形成一定解题能力的过程中最为关键一个组成部分，也是学生把抽象的数学知识内化为数学思维并形成解题能力中最为关键的思想。
因此在小学阶段有效地开展数形结合的教学对学生的持续发展具有极其重要的意义。
本论文的实践意义在于首先通过分析高年级教材中蕴含“数形结合思想”的相关知识点分布情况，帮助教师特别是新老师快速准确的把握教材，找准切入点。
其次通过在某小学的实践，探究这一学校的高年级数学课堂中数形结合思想是否有效渗透进教学的实际情况，总结记录学生在应用该思想答题时产生的问题。
然后通过借鉴参考文献中问卷的调查维度，并结合该小学数形结合的教学现状制定合理的问卷。
最后对高年级师生的问卷调查结果进行分析，了解小学高年级数形结合思想教学存在的问题并提出相应的解决对策，最终达到优化教学方法，提高教学质量的目的。
二、文献综述为了搜索相关文献资料，笔者在中国知网上以“数形结合思想”为主题检索文献共9640篇，以“小学数形结合思想”为主题检索文献共2240篇，约占总论文数的23.2%，由此我们可以看到国内对数形结合思想的研究大多集中在中学阶段。
其原因是学生的认知水平和心理发展水平都与其年龄的增长呈正相关关系，学生到了中学阶段更容易理解抽象知识而且理解的程度也解越来越深入，学生能相对于在小学阶段更容易的接受并且领悟数形结合思想。
数形结合第一次在我国的正式出现与华罗庚有着密切的联系。
“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
”华罗庚先生的这首小诗流传在学界中，另外，随着改革开放的加深，高考制度的恢复，“数形结合”这个词开始受到学界的广泛重视，甚至开始出现在后来的很多知名教育教学刊物中（于珊珊，2020）。
1.关于“以形助数”“以数解形”“数形互助”的研究在现代的研究中，人们统一的将数形结合分为三个部分进行研究。
“数形结合”思想在小学数学教学中的应用
138"数形结合"思想在小学数学教学中的应用★ 高丽丽小学数学是学生刚接触应试教育下数学科目的第一个阶段，因此小学数学的学习效果好坏可以直接影响到小学生今后的数学学习生涯。
实验证明，“数形结合”的数学思想有助于帮助小学生更好的理解数学知识点，因此在小学数学的教学中，教师应当努力渗透“数形结合”的教育思想，提升小学生的数学思维及数学能力，以此来响应新课标下对于小学数学教学标准的新要求。
一、“数形结合”数学思想的重要作用及意义“数形结合”数学思想的主要含义就是在数学中将“数”与“形”相结合，以此来解决基本的数学问题。
将其应用于小学教学中，对于提升小学生的数学综合能力有着显著的效果。
1、加深小学生的数学概念记忆小学生生动活泼、头脑灵活，但对于数学这门课程还没有形成高效的学习方法，因此教师需要在教学中加深其对于数学基本概念的印象。
但是在小学数学概念的教学中，大多数学概念比较抽象，无法让小学生直观的理解其含义；而传统的、教师口述的教学方法就算令小学生记住了此类概念，也不会使学生学会灵活应用[1]。
因此，小学数学教师在讲解数学概念时应当应用“数形结合”的教学方式，其可以有效帮助小学生加深对数学概念内容的理解；通过将数学概念用画图的形式表现出来，还可以提高学生在数学题目中应用数学概念的能力。
2、帮助小学生发现数学规律在小学数学的教材课本上，其主要注重对于数学知识点的融会贯通，但是一些隐藏在这些数学知识点背后的数学规律还是需要教师引领学生去自行挖掘。
在这个过程中，数学教师可以采用数形结合的方法来教学，其不仅可以使抽象的数学内容具体化、形象化。
还可以帮助学生找出数学知识点之间的规律，以此来帮助学生构建数学知识框架，提升数学学习能力。
并且，“数形结合”的数学方法有趣味性，其也可以激发小学生学习数学的兴趣，以此来提高其数学学习的积极性。
3、有助于简化数学解题方法在数学学习中培养“数形结合”的数学思维，还可以提高小学生的数学解题能力。
浅析数形结合思想在小学数学教学中的应用
浅析数形结合思想在小学数学教学中的应用1. 引言1.1 概述数形结合思想是指在数学教学中，将抽象的数学概念与具体的形象结合起来，通过观察、比较、绘制图形等方式来帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
数形结合思想在小学数学教学中有着重要的作用，可以帮助学生从形象思维逐步转向符号思维，提高他们的数学学习兴趣和学习效果。
本文将对数形结合思想在小学数学教学中的应用进行分析和探讨，旨在为教师在教学实践中更好地运用这一思想提供参考和借鉴。
已介绍完毕，下面将继续探讨。
1.2 研究背景随着教育教学理念的不断更新和发展，人们越来越重视数学教学中数形结合思想的应用。
数形结合思想指的是将数学的抽象概念与几何图形相结合，通过具体形象的展示和实践操作，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这一思想的提出源于对传统数学教学方法的反思和挑战，认为仅仅停留在抽象符号和公式的层面，不能真正激发学生的学习兴趣和培养他们的数学思维能力。
在过去的数学教学中，往往以填鸭式的教学方式为主，学生被passively 接受知识，缺乏主动探究和实践的机会。
而数形结合思想的提出，意味着教师需要更多地关注学生的个体差异和学习方式，通过多样化的教学手段和资源，激发学生的学习兴趣和潜能。
研究数形结合思想在小学数学教学中的应用，具有重要的理论和实践意义。
通过深入探讨这一教学理念的内涵和具体实践案例，可以为小学数学教学提供更加有效和具体的教学方法，促进学生数学思维能力和创新意识的培养。
1.3 研究意义数形结合思想在小学数学教学中的应用，具有重要的研究意义。
数形结合思想可以帮助学生更加深入地理解数学概念，将抽象的数学知识与具体的图形形象结合起来，使学生易于理解和记忆。
数形结合思想可以激发学生的兴趣，提高他们学习数学的积极性和主动性，培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
数形结合思想还可以帮助学生培养观察和分析问题的能力，提高他们解决实际问题的能力，促进他们综合运用数学知识的能力。
“数形结合”思想在数学教学中的意义
“数形结合”思想在数学教学中的意义摘要数学是研究现实世界空间形式和数量關系的科学。
数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它不仅是一种解题方法，还是一种重要的数学思想，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。
“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还能开拓思路，为研究和探求数学问题开辟重要途径。
關键词数形结合思想方法数学教学在教学中，数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。
“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，能使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习中。
“数形结合”思想在小学数学中有什么重要意义?作为一线教师，要如何系统的运用数形结合思想进行数学教学?一、小学数学中常用的数学思想方法数形结合思想的实质就是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量關系，通过理想化的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量關系的问题。
另外，还可把關于几何图形的问题用数量或方程等表示，研究几何图形的性质与特征。
在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量關系转化成线段图。
然而，这并不是唯一的方式。
实际上，在不同的问题中，可将数量關系通过分析与改造，设计构造出不同类型的图形，把数量關系最清晰、最直接地显示出来，使解题过程变得更简洁、更方便。
一盒糖果平均分给3个小朋友，如果每人吃掉4块，那么3人剩下的糖果数之和恰好是原糖果数的1／3，原糖果有多少块?分析与解答：如用线段图表示数量關系，则如图1所示，其中小方框表示每人剩下的糖块数。
在这个线段图中，较难发现3条带斜线线段长的和与整条线段长之间的数量關系，因此这不是最佳的图形选择。
如图2所示，数量關系就完全明朗清晰了，答：原有糖果18块。
二、激发学生求知欲，调动学习积极性数形结合，创设与知识信息相關的情境能调动学生的学习积极性，从而产生学习热情。
数形结合思想在小学数学教学中的运用
数形结合思想在小学数学教学中的运用小学数学教学是培养学生数学思维和创新能力的重要阶段，而数形结合思想在小学数学教学中的运用，不仅可以帮助学生理解数学知识，还可以促进他们的数学思维发展和创新能力的培养。
数形结合思想是指通过与几何图形和形象化的图像结合，使学生对数学概念有更加直观的认识，增强他们的学习兴趣并提高学习效果。
本文将从数形结合思想在小学数学教学中的意义、应用方法和实际案例等方面进行阐述。
1.增强学生的学习兴趣数形结合思想可以帮助学生将抽象的数学概念转化为具体的图形，使学生能够更加直观地感受到数学的美妙。
这样一来，学生就能够更加主动地去探索数学的世界，从而增强他们的学习兴趣。
2.促进学生的数学思维发展通过数形结合思想的教学，学生在处理问题时将更加注重几何空间的思考，从而促进他们的数学思维发展。
而且，数形结合思想的运用也能够激发学生的想象力和创造力，从而培养他们的创新能力。
3.提高学生的学习效果数形结合思想能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，尤其是对于那些抽象难懂的概念，通过图像的直观表现，可以让学生更容易理解和记忆，从而提高他们的学习效果。
1.引导学生进行观察与实践在教学中，老师可以设置一些具体的问题，要求学生观察和实践，在观察实践的过程中引导他们发现数学规律，从而形成直观的数学概念。
2.组织学生进行讨论与交流在教学中，老师可以组织学生进行小组讨论和交流，让学生把所学的数学知识运用到实际生活中，并与他人分享交流，从而促进他们数学思维的发展。
3.利用多媒体教学手段在教学中，老师可以运用多媒体教学手段，通过图片、视频等形象化的图像来展示抽象的数学概念，引导学生更好地理解和掌握知识。
4.注重实际应用与解决问题在教学中，老师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生通过数形结合的思想来解决问题，从而培养他们的实际应用能力和创新思维。
1.整数加减法的教学在教学整数加减法时，可以引导学生在数轴上理解和掌握整数加减法的规律。
数形结合思想在数学教学中的意义
●． ＿ ｌ ●
游
缝
毽 攀 攀 纛
甘 肃 天 水 ７ ４ １ ０ ０ １ ） 数形结合的思想 ， 其 实 质 是 将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的图 像 结 合 起 来 ， 关 键 是 代 数 问题 与 图 形 之 间 的 相 互 转 化 ， 它 可 以使 代 数 问 题 几 何 化 ， 几 何 问题 代 数 化 ． 数 形 结 合 思 想 通过“ 以形 助 数 ， 以数解形 ” ， 使 复杂 问题简 单化 ， 抽 象 问 题 具体化能够变抽象 思维 为形象 思维 ， 有 助 于 把 握 数 学 问 题 的本 质 ， 它 是数 学 的规 律 性 与灵 活 性 的有 机 结 合 ． 二 、数 形 结 合 思 想在 中 学数 学教 学 中地 位 （ 一） 数 形 结 合 思 想 在 数 学 教学 中 的研 究 意义 及 作 用 数 形 结 合 思 想 在 数 学 教 学 中 有 着 重 要 的 研 究 意 义． 教 学 中 运用 形 象 记 忆 的特 点 ， 使 抽 象 的数 学尽 可 能 地 形 象 化 ， 这样 对学 生输 入 的 数 学 信 息 和 印象 就 更 加 深 刻 ， 在 学 生 的 脑 海 中形 成 了 数 学 的 模 型 ， 可 以形 象 地 帮 助 学 生 理 解 和 记 忆． 例如 ： 在研 究 函 数 时 ， 可 以 利 用 函 数 图 形 来 记 忆 有 关 函 数的知识点 ， 像 函数 的 定 义 域 、 值域 、 单 调性 、 奇 偶性 、 周 期 性、 有 界 性 以及 凹 凸性 等 ． 数 形 结 合 思 想 有 利 于 培 养 学 生 的 发 散 思 维 能 力． 发 散 思 维 是 从 同 一 来 源 的 材 料 或 同 一 个 问题 中探 求 不 同思 路 和 方法的思维过程 ， 其 思 维 方 向是 从 不 同 视 角 、 不 同方 面 研 究 同一 个 问题 ． （ ） 数 形 结 合 思 想解 决 的 问题 数 形 结 合 的思 想 方 法 是 数 学 教 学 内 容 的 主 线 之 一 ， 应 用 数 形 结 合 的思 想 ， 可 以解 决 以下 问题 ： （ １ ） 解 决 集合 问题 ： 在 集 合 运算 中常 常借 助 于数 轴 、 Ｖ ｅ ｎ ｎ图来 处 理 集 合 的交 、 并、 补等运算 ， 从 而 使 问 题 得 以 简 化 ， 使运算快捷明了． （ ２ ） 解 决 函数 问题 ： 借 助 于 图像 研 究 函数 的 性 质 是 一 种 常 用 的 方法 ． 函 数 图 像 的 几 何 特 征 与 数 量 特 征 紧密 结 合 ， 体 现 了数 形结 合 的特 征 与方 法 ． （ ３ ） 解决 方程 与不 等 式 的 问 题 ： 处 理方程 问题 时 ， 把 方 程的根的问题看作两 个 函数图像 的交点 问题． 处 理 不 等 式 时， 从 题 目的条 件 与 结 论 出 发 ， 联 系相关 函数 ， 着 重 分 析 其 几何意义 ， 从 图形 上 找 出解 题 的思 路 ． （ ４ ） 解 决 三角 函 数 问题 ： 有 关 三 角 函数 单 调 区 间 的 确 定 或 比较 ｉ 角 函数 值 的 大 小 等 问题 ， 一 般 借 助 于 单 位 圆 或 三 角 函数 图像 来 处 理 ， 数 形 结 合 思 想 是 处 理 三 角 函 数 问 题 的 重要方法． （ ５ ） 解 决 线 性 规 划 问题 ： 线 性 规 划 问题 是 在 约 束 条 件 下 求 目标 函数 的最 值 的 问 题 ． 从 形 上 找 思 路 恰 好 就 体 现 了 数 形 结 合 思 想 的应 用 ． （ ６ ） 解 决 数 列 问题 ： 数 列 是 一 种 特 殊 的 函数 ， 数 列 的 通 项 公 式 以及 前 ｎ项 和 公 式 可 以 看 作 关 于 正 整 数 ｎ的 函 数 ． 用 数形 结 合 的思 想 研 究 数 列 问题 是 借 助 函数 的 图 像 进 行 直 观分析 ， 从 而 把 数 列 的 有 关 问 题 转 化 为 函 数 的 有 关 问 题 来 解 决． （ ７ ） 解 决 向量 问题 ： 向量 是 沟 通 代 数 与 几 何 的 桥 梁 ． （ ８ ） 解 决 解 析 几何 问题 ： 解 析 几 何 的 基 本 思 想 就 是 数 形 结合 ， 在 解 题 中善 于 将 数 形 结 合 的 数 学 思 想 运 用 于 对 点 、 线、 曲线 的性 质 及 其 相 互 关 系 的 研 究 中． （ ９ ） 解 决 立 体 几 何 问题 ： 立 体 几 何 中用 坐 标 的方 法 将 几 何 中 的点 、 线 、 面的性 质及其 相互关 系进 行研 究 ， 可 将 抽 象 的几 何 问题 转 化 纯 粹 的 代 数 运 算． （ 三） 数 形 结 合 思想 应 用 的原 则 及 途 经 １ ． 数 形 结 合 遵 循 的 原 则 （ １ ） 等价 原 则 等价原则是指 “ 数” 的代数 性质 与 “ 形” 的 几 何 的 转 化
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数形结合思想在数学教学中的意义
一、引言
（一）问题研究的背景
数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系的，也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.
早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了.我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学.后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用.
“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法.我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”.通过．
“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又
细微、深刻.
“数形结合”的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以
数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些
图形过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图
形赋值，如边长、角度等等.“以形助数”是指把手抽象的数学
语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法.
沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在
数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或
者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题
转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化.
（二）问题研究的意义
数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯串始终的是
数学思想和数学方法.在中学数学里所接触到的一些思想方法中，数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种.数形结合是根据数
学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭
示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，. 使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
二、数形结合思想在中学数学教学中地位
（一）数形结合思想在数学教学中的研究意义及作用
数形结合思想在数学教学中有着重要的研究意义.教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，这样对学生输入的数学信息和印象就更加深刻，在学生的脑海中形成了数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆.例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等.
数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力.发散思维是从同一来源的材料或同一个问题中探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同视角、不同方面研究同一个问题.
（二）数形结合思想解决的问题
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
（1）解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运．
算快捷明了.
（2）解决函数问题：借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.
（3）解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题.处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.
（4）解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.
（5）解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.
（6）解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.
（7）解决向量问题：向量是沟通代数与几何的桥梁.
（8）解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线. 的性质及其相互关系的研究中
（9）解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算. （三）数形结合思想应用的原则及途经
1.数形结合遵循的原则
（1）等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.
例方程x3=2sinx的实根个数为（）.
A.3个
B.5个
C.7个
D.9个
错解作函数y=x13与y=2sinx的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作x≥0的部分，又因为x>8时，x13>2≥2sinx.故图形只需取[0，3π]就行了（如图1所示）.除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C.
分析当x=18时，1813=12>2×18>2sin18.因此在0，π2内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示.
图1
图2
（2）双向性原则
双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探. 索．
（3）简单性原则
简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何
形象优美又使代数计算简洁、明了.
2.数形结合的途径
数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合
的途径.
（1）由数到形的转换途径
①方程或不等式问题常可以转化为两个图像的交点位置关系
的问题，并借助函数的图像和性质解决相关的问题.
②利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性
质.
③构造几何模型.通过代数式的结构分析，构造出符合代数式
的几何图形，如将a2与正方形的面积互化，将与体abc与体积
互化，将a2-c2与勾股定理沟通等等.
④利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点
间的距离x1-x22+y1-y22，点到直线的距离，直线的斜率，直线
的截距），定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质.
（2）由形到数的转换途径
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引
进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系.
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获. 得探求结合的途径．
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题.把抽象的几何推理化为代数运算.特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循.。