16第十二章协方差分析
协方差剖析[指南]
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、发展心理学的生态系统理论生态系统理论是由美国心理学家布朗芬布伦纳提出，他承认生物因素和环境因素交互影响着人的发展，自然环境对人的发展是一个主要影响源。
环境的影响是“一组嵌套结构，每一个嵌套在下一个嵌套中，就像一套俄罗斯的嵌套娃娃一样”。
换句话说，发展的个体处在从直接环境（像家庭）到间接环境（像宽泛的文化）的几个环境系统的中心或嵌套与其中。
布朗芬布伦纳将生态环境分为四个系统，第一层系统，微系统。
这是最里层的系统，指个体活动和交往的直接环境。
对大多数婴儿来说，微系统仅限与家庭，然后随着儿童进入托儿所、学前班，以及与同伴群体和社区玩伴的交往，此系统变得越来越复杂。
儿童不仅受到微系统中人的影响，而且他们的生物和社会性特征――习惯、气质、生理特征和能力，也影响着同伴的行为。
例如，困难型婴儿可能会疏远父母，甚至导致父母出现矛盾，这足以破坏婚姻关系。
微系统中任何两个个体的交往都有可能受第三者的影响。
例如，父亲明显地影响着母－婴交往：有着亲密幸福的婚姻关系、夫妻相互支持的母亲对婴儿的反应比婚姻关系紧张、缺少配偶支持的母亲更有耐心、更敏感。
因此，微系统的确是一个动态的发展情境，生活与其中的每个人都影响着别人，同时也受别人的影响。
第二层系统，中间系统，指的是在微系统，如家庭、学校和同伴群体之间的联系或相互关系。
布朗芬布伦纳认为，如果微系统之间有较强的支持性关系，发展可能实现最优化。
例如，与父母建立安全、和谐关系的幼儿在童年和青少年时期也易于被同伴接纳和建立亲密、支持性的友谊关系。
第三层系统，外层系统。
是指哪些儿童并未直接参与但却对他们的发展产生影响的系统。
如父母的工作环境就是一个外层系统影响因素，儿童在家庭的情感关系可能会受到父母是否喜欢其工作的影响。
同样，儿童在校的经历也会受到外层系统的影响，如学校的整体计划。
第四层系统，宏系统。
宏系统是指微系统、中间系统、外层系统嵌套与其中的文化、亚文化和社会阶层背景。
宏系统实际上是一个广阔的意识形态。
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析
__ __
ˆ Y1 Y1 bc ( X X 1 ) ˆ Y2 Y 2 bc ( X X 2 ) 两修正均数之差是： ˆ ˆ （ (Y1 Y2) Y1 Y2 ) bc ( X 1 X 2 )
__ __ __ __ _ __ __
合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异
的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指
标的影响。
协方差分析概念
例如在研究饲料营养价值时，采用动物实验，若不考 虑动物进食量和初始体重的差别，直接用方差分析来比较 不同饲料组动物所增体重，以评价不同饲料的营养价值， 这样做是不恰当的。因为动物所增加的体重除与饲料的营 养价值有关外，还与动物的初始体重、进食量有关，而进 食量多少往往难以控制。若利用直线回归分析的方法找出 进食量与所增体重的数量关系，求得当进食量相等时（即 扣除进食量的影响），各饲料组动物所增体重的修正均数， 然后再用方差分析（或t检验方法）检验各修正均数间有 无差别，这样做才合理。
A N O VA 年龄 组间 组内 总数 平方和 1696.154 4500.000 6196.154 df 1 24 25 均方 1696.154 187.500 F 9.046 显著性 .006
协方差分析
估计 因变量: 胆固醇含量 对象 均值 标准误 a 壮族妇女 221.997 9.991 汉族妇女 237.003a 9.991 a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 年龄 = 46. 3846. 95% 置信区间 下限 上限 201.330 242.664 216.336 257.670
1306 154 .4 351.9692 26
V总＝n-1=26-1=25
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
总离差平方和修正值的定义和计算式如下：
kn
Tyy(adj)
(Yij(adj) Y )2
• 协方差分析可以解决这类问题。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 首先,我们看看方差分析数据结构：
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
实验前后，同一地区的交通事故量应该有某种联系！－－回归关系 销售白酒后交通事故多的地区有可能是因为其原来交通事故就比其他地区多！
直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数 据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数 据中的干扰因素从而提高精度。——我们知道，就算12个地区白酒的销售方式 是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与 白酒的销售有关而其他因素统一水平。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
总思路
Mslab @ TianjinUniv
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Y i(ja)d Y jij(X ij X ) u ti e ij
协变量修正后的 观测值
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
协方差分析
n j1
xi• x••
2 a xHale Waihona Puke 2• i1 nx•2• an
( 4 3 )
(4 4) (45)
(46) (47)
a n
TXY
xi• x••
i1 j1
yi• y••
a
xi•
yi•
i1
n
x•• y•• an
(4 8)
a n
EYY
yij yi• 2 SYY TYY
的均方做F 检验, FMeG S1 16.6443.08 MeG S2 5.403
F6,6,0.05＝4.82,F＜F0.05,可以认为各组方差具备齐 性,
⑷ 检验回归线是否平行 i＝ ：在⑵中已经计算
出 组 内 剩 余 平 方 和 SSeG 和 用 公 共 回 归 系 数 b* 计 算得到的误差平方和SSe,SSeG完全是由随机因素 造成的：三条回归线用同一b*计算出的误差平 方和SSe,包括由于随机误差及回归系数两种变差 所产生的平方和,因而回归系数平方和,
SSe＝EYY－E2XY／EXX a n－1 －1 SS’e＝SYY－S2XY／SXX an－2
MSe＝SSe／ a n －1 －1
SS’e －SSe
a－1
SS’e －SSe ／ a －1
在协方差分析表中,除列入检验假设所需要 的处理效应平方和之外,还列入了全部平方和及 交叉乘积和,协方差分析的结果,不论零假设是否
a
SXX
i1
n j1
xij x••
2
a
i1
n j1
xi2j
x•2• an
a n
SXY
xij x••
i1 j1
协方差分析
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X 17 16 18 18 21 22 19 18 18.63
A2
Y 0.97 0.90 1.00 0.95 1.03 1.06 0.99 0.94 0.98
X 22 24 20 23 25 27 30 32 25.38
A3
Y 0.89 0.91 0.83 0.95 1.00 1.02 1.05 1.10 0.97 7
F 30.96**
误 差 21 175.25
4.21
0.1238 20
0.0228 0.00114
总 计 23 720.50 10.81 0.2556 22
单向分类资料的协方差分析
不考虑初重, 对日增重的方差分析
变异 来源
平方和 自由度 均方
F
饲料
0.1318
2
0.0659 11.17**
误差
0.1238
21
0.0059
总和
0.2556
23
F0.01(2, 21) = 5.78
8
单向分类资料的协方差分析
协方差分析
1. 计算有关统计量
• 日增重（Y）的各项平方和
当试验指标（Y）的变异既受一个或几个分 类变量，也受一个或几个连续变量的影响，可 采用协方差分析
2
概述
目的
➢消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检 验功效更高，结果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致 错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低 检验功效
➢消除分类变量的影响，使回归分析的结果更 可靠
单向分类资料的协方差分析
4. 对日增重的处理平方和进行校正 校正的处理平方和：
SS*A(Y) SST*(Y)SSE *(Y) 0.09350.02280.0707
13
单向分类资料的协方差分析
5. 校正的方差分析
变异来源 饲料 误差 总计
方差分析表
自由53 30.96**
回归系数 b组内 SSP E SE((XX)Y) 14.27.2055880.0240
回归平方和 S组 S 内回 b组 归内 SE P(XY ) 0.02 440.20808.1010
离回归平方和 S组 S 内离 S回 E S(Y归 )S组 S 内回归 0.123 08.10100.022
10
单向分类资料的协方差分析
SST(Y), SSA(Y), SSE(Y)（误差I）
• 初始重（X）的各项平方和
SST(X), SSA(X), SSE(X)
• X和Y的各项乘积和
SPT(XY), SPA(XY), SPE(XY)
9
单向分类资料的协方差分析
2.对日增重组内平方和进行校正(在日增重的组 内变异中将初始体重的影响剔除)
3
概述
例
➢比较几种配合饲料对猪的增重效果
•试验控制：选用初始体重相同（近）的猪进行 分组试验 方差分析
当试验控制不能实现？
• 统计控制：利用增重对初始重的回归关系，对 初始重的影响进行校正
回归分析＋方差分析＝协方差分析
试验控制永远是第一位的！
4
协方差分析的模型和假定
模型
方差分析： Yijai ij
20
0.0228 0.00114
22
0.0935
F0.01(2, 20) = 5.85
14
单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析表
变异 来源
自由度
X和Y的平方和与乘积和
组间 k-1 SS A( X ) SPA(XY ) SS A(Y )
组内 N-k SS E( X ) SPE( XY ) SS E(Y )
SP
2 T(
XY
)
SS T ( X )
均方
MS A MS E
F
MS A MS E
单向分类资料的协方差分析
例12-1的协方差分析表
变自
异 来 源
由 度
饲 料2
X和Y的 平方和与乘积和
SSX
S PX Y
SSY
545.25 6.60 0.1318
校正 Y的
自由 校正平方
度
和
均方
2 0.0707 0.0353
➢随机误差服从正态分布 N(0,2) ，且互相
独立
6
单向分类资料的协方差分析
例12-1：3种饲料的增重效果比较试验
饲 料
初始重(X)/日增重(Y)（kg）
平均
X 15 13 11 12 12 16 14 17 13.75
A1
Y 0.85 0.83 0.65 0.76 0.80 0.91 0.84 0.90 0.82
回归分析： Yij*(XijXi)i*j
协方差分析： Y i jai(X i jX i)ei j
协变量 Co-variable
Y i j（ X i jX i)aiei j
Y i jai(X i jX i)ei 5j
协方差分析的模型和假定
假定 ➢协变量是非随机变量，没有度量误差 ➢Y 对协变量的回归是线性的，并且各处理内 的回归系数是齐性的
对回归关系的显著性检验
变异来源 回归
离回归 总计
平方和 0.1010 0.0228 0.1238
自由度 均方
1
0.1010
20 0.00114
21
F 88.60**
校正的日增重组内平方和： F0.01(1, 20) = 8.10
SSE*(Y) SS组内离回归
11
单向分类资料的协方差分析
3. 对日增重总平方和进行校正（从日增重的总 变异中将初始重的影响剔除）
第十二章 协方差分析 Analysis of covariance
(ANCOVA)
概述 协方差分析的模型与假定 单向分类资料的协方差分析 双向分类资料的协方差分析
概述
概念：将方差分析和回归分析结合起来的 一种统计分析方法
➢方差分析：一个或几个因子（分类变量）对变量Y （连续变量）的影响
➢回归分析：一个或几个变量（连续变量）对变量Y （连续变量）的影响
回归系数 bTSST PST((XX)Y) 170.28.5000750.015 回归平方和 S总 S 回归 bTST P(XY )
0.01510 .80750.1621
离回归平方和 S总 S 离回 S归 T S(Y)S总 S 回归
0.255 06.162 01.0935
校正的日增重总平方和：SST*(Y) SS总离回归 12
总计 N-1 SST ( X ) SPT (XY) SST (Y )
15
变异 校正 来源 自由度
Y的 校正平方和
组间 k-1
SS
* A(Y
)
SST* (Y
)
SS
* E
(Y
)
组内 N-k-1
总变 异
N-2
SS
* E (Y )
SS
E (Y
)
SP
2 E(
XY
)
SS E ( X )
SS
* T
(Y
)
SS T (Y )