四边形性质探索总结及其综合习题

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形． ④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形． 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题
分割、拼接
转化
三角形或平行四边形问题，
这种思路常通过平移或旋转来实现． 6、多边形的内外角和与外角和 n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°． 7、平面图形的密铺
对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺． 8、中心对称图形
如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形．
例5 如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作
等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
例6 如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有
一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．
（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．
（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，
如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；
若不存在，也请你给出理由．
例7 阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2））．
（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1______S2，S3________S4；
（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；
（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？
例8如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作
直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角
平分线于点F．
（1）试探索OE与OF之间的数量关系．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理
过程．
（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．
1、如图2，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是_______.
2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是 .
3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形面积是
49cm 2
，则AF= ；
4、已知：如图，矩形ABCD 的长和宽分别为2和1，以D 为圆心，AD 为半径作AE 弧，再以AB 的中点F 为圆心，FB 长为半径作BE 弧，则阴影部分的面积为 ；
5、如图14，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个
条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由． 解：添加的条件：
理由：
6、如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为
1平方厘米，则这个长方形的面积为 ；
7、已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,则梯形的高是_______cm.
8、已知梯形的中位线长为6㎝，高为4㎝，则此梯形的面积为 ㎝2
. 9、正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n =_____. 10、若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形；
11、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条
A
B
C D
C ′
E
B
C
D
A
E P F
（图2） A B C D E F
G H
图14
平行四边形道路RSTK 。

若c RS LM ==，则花园中可绿化部分
的面积为（ ）
（A ）2
b a
c ab bc ++- （B ）ac bc ab a -++2
（C ）2
c ac bc ab +-- （D ）ab a bc b -+-2
2
12、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配..
A.①
B.②
C.③
D.①和②
1、如图13，四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n .
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；
（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.
2、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
D
Q P
③ ① ②
（图13）
图13—2
35、如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a ，则围成的六边形的周长为（ ） A 、30a B 、32a C 、34a D 、无法计算
38、已知：在△ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边BC 上任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ，交AB 于Q.
(1)求四边形AQMP 的周长；
(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
(3)M 位于BC 的什么位置时，四边形AQMP 为菱形？说明你的理由.
39、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图①)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）； 求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAB ·S △OCD .
证明：
(2)在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.
P C Q
D B O
C
① A C O A B
D
②
40、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）
（1）他们在△AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用.
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD= S△BPC，并说出你的理由.。